歐拉方程的求解

1、歐拉方程的求解1. 引言在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，我們經(jīng)常會看到以數(shù)學(xué)家名字命名的概念、公式、定 理等等，讓人敬佩跟羨慕但是，迄今為止，哪位數(shù)學(xué)家的名字出現(xiàn)得最多 呢？他就是數(shù)學(xué)史上與阿基米德、牛頓、高斯齊名的“四杰”之一，人稱“分析學(xué)的化身”的盲人數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler,1707-1783).幾乎在每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到他的名字，譬如我們熟悉的“歐拉 線”、“歐拉圓”、“歐拉公式”、“歐拉定理”、“歐拉函數(shù)”、“歐拉積分”、“歐 拉變換”、“歐拉常數(shù)” L L歐拉還是許多數(shù)學(xué)符號的發(fā)明者，例如用 表示 圓周率、e表示自然對數(shù)的底、f(x)表示函數(shù)、表示求和、i表示虛數(shù)單位L L以歐

2、拉命名的數(shù)學(xué)名詞有很多，本文主要講解以歐拉命名的方程即“歐 拉方程”.在文獻(xiàn)1中，關(guān)于歐拉方程的求解通常采用的是變量變換的方法 .變量 變換法就是將所求的歐拉方程化為常系數(shù)齊次線性微分方程， 然后再來求解 這個常系數(shù)齊次線性微分方程的解，亦即求其形如 y xK的解，進(jìn)而求得歐 拉方程的解但有些歐拉方程在用變量變換法求解時(shí)比較困難 .本文在所學(xué)的歐拉方 程的求解的基礎(chǔ)上，對歐拉方程進(jìn)行了簡單的分類，并針對不同階的歐拉方 程的求解給出了不同的定理最后在每類歐拉方程后面給出了典型的例題加 以說明.2. 幾類歐拉方程的求解定義1形狀為xny(n) ahx0 1y(n 1) L a.岡 any 0( 1

3、)的方程稱為歐拉方程.(其中 a1， a2，L ， an 1， an 為常數(shù))(2)2.1二階齊次歐拉方程的求解（求形如y xK的解） 二階齊次歐拉方程：x2y aixy ay 0.（其中ai, a2為已知常數(shù)）我們注意到，方程（2）的左邊y、y和y的系數(shù)都是幕函數(shù)（分別是x2aix和a2x0），且其次依次降低一次.所以根據(jù)幕函數(shù)求導(dǎo)的性質(zhì)，我們用幕函數(shù)y xK來嘗試，看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù) K ,使得y xK滿足方程（2）.xK求一、二階導(dǎo)數(shù)，并帶入方程（2），得消去xK，有(K2K2K2定義2以K為未知數(shù)的 的特征方程K)xK(ai(ai,KK小aiKxa?x0Ki)K a2x0,1)K a

4、20.(3)兒二次方程（3）稱為二階齊次歐拉方程（2）由此可見，只要常數(shù)K滿足特征方程（3），則幕函數(shù)y xK就是方程（2）的解（Ki K2是方程（3）的相等的實(shí)根）于是，對于方程（2）的通解，我們有如下結(jié)論: 定理i方程（2）的通解為(i)y cixKi c2xKi In x ,(ii)yc1xKic2xK2Ki K2是方程（3）的不等的實(shí)根）(iii)y gx cos( In x) c2x sin(In x). ( Ki,2i是方程（3）的一對共軛復(fù)根）（其中Ci、c2為任意常數(shù)）證明(i )若特征方程(3)有兩個相等的實(shí)根：© K2，貝Uyi xKl是方程(2)的解,且設(shè)y2

5、u(x)， yi xKlu(x) ( u(x)為待定函數(shù))也是方程(2)的解(由于里u(x)，即y，y線性無關(guān))，將其帶入方程(2)，得yK22Kkx 1( K1K1 )u 2K1xu x u a1x 1(K1u xu ) a2x 1u 0,約去xKi，并以u、u、u為準(zhǔn)合并同類項(xiàng)，得2 2x u (2K1 ajxu K1(a1 1)K1 a2u 0.由于Ki是特征方程(3)的二重根，因此Ki2 (ai i)Ki a20或2Ki (ai 1)0,于是，得2x u ux 0或xu u 0,即(xu) 0,故u(x) c11n x C2不妨取u(x) Inx，可得方程(2)的另一個特解y2 xKl

6、 ln x ,所以，方程(2)的通解為（其中Ci , C2為任意常數(shù)）（ii ）若特征方程（3）有兩個不等的實(shí)根：Ki K2，則y xKi， y2 xK2是方程（2）的解.K2又里 L x（K2Ki）不是常數(shù)，即yi，y是線性無關(guān)的yi x1所以，方程（2）的通解為y CixKi C2XK2.（其中Ci，C2為任意常數(shù)）（iii ）若特征方程（3）有一對共軛復(fù)根：Ki,2i（0 ），則yi x（ i）， y2 x（ i）是方程（2）的兩個解，利用歐拉公式，有(i)yixxi In x ex (COS( Iln x)i sin(In x)，(i)y2xxi In x ex (COS(In x)i

7、 sin(In x)顯然，x cos(In x) yy22和x sin(In x) yy22i是方程（2）的兩個線性無關(guān)的實(shí)函數(shù)解所以，方程（2）的通解為y gxCos(In x) C2xsin(In x).（其中Ci，C2為任意常數(shù)）例1求方程x2yxy y 0的通解.解該歐拉方程的特征方程為即其根為：所以原方程的通解為K(K 1) K 10,2(K 1)0,Ki K21,y (c1c2 In x)x .（其中C1 , C2為任意常數(shù)）例2求方程x2y xy 8y 0的通解.解該歐拉方程的特征方程為K2 (1 1)K80，即K22K80,其根為：K12，K24，所以原方程的通解為yC1 x2

8、qx4.（其中C1，C2為任意常數(shù)）例3求方程的通解x2y3xy5y0 .解 該歐拉方程的特征方程為K(K1)3K50，即K22K50,其根為：心,21 2i ,所以原方程的通解為1yg cos（2In x） c2 sin（2ln x）.x（其中ci, c為任意常數(shù)）2.2二階非齊次歐拉方程的求解（初等積分法）(4)二階非齊次歐拉方程：x2y aixy a2y f（x）.（其中ai，a2為已知實(shí)常數(shù)，f （x）為已知實(shí)函數(shù)）為了使方程（4）降階為一階線性微分方程，不妨設(shè)ai1 K1 K2，a2KK,(5)則方程(4)變?yōu)閤2y(1 K1 Oxy ©©azyf (x)，即x(

9、xy ©y) K/xy Qy) f (x),(6)根據(jù)韋達(dá)定理，由（5）式可知，K1，K2是一元二次代數(shù)方程(3)K2 1）K a20的兩個根.具體求解方法：的通解為（7）定理2若K1，K2為方程（2）的兩個特征根，則方程（4）y xK2 xK1 K2 1 x K1 1f （x）dxdx.證明 因?yàn)镵1， K2為方程（2）的兩個特征根,于是方程（4）等價(jià)于方程（6）,P,xy代入方程（6）并整理，得解之，得方程（4）的通解為K2y xxK10pxK2一 yxK21 xf (x)xK1 1f (x)dxdx.由定理2知，即可求得方程（4）只需要通過兩個不定積分（當(dāng)（7）式中的積分可積時(shí)

10、） 的通解為了方便計(jì)算，給出如下更直接的結(jié)論定理3若Ki，K2為方程（2）的兩個特征根，則（i ）當(dāng)Ki K2是方程（2）的相等的實(shí)特征根時(shí)，方程（4）的通解為K1K1 1y x 1ln x x 1Ki1f (x)dx lnxx K1 'f(x)dx,（ii ）當(dāng)K1 K2是方程（2）的互不相等的實(shí)特征根時(shí)，方程（4）的通解y K1K2x K1 1f (x)dx x xKjf(x)dx,(iii )當(dāng) K1,2 i是方程（2）的共軛復(fù)特征根時(shí)，方程（4）的通解為1y x sin( In x) x1 cos(1ln x) f (x)dx cos( ln x) x sin(In x) f

11、(x)dx證明（ii ）當(dāng)K1 K2是方程（2）的互不相等的的實(shí)特征根時(shí),將方程（1）的通解（7）進(jìn)行分部積分，得K?Ki K? 12 1 I i Iy x 2 x 1 2 x K1 f(x)dxdxxK2 xKi1f(x)dxdxKi k2K1 K2K2 Kx 2xKi K2Kix i xKi K2K2x Ki if (x)dxxKi K2d x Ki i f (x)dxKiKiif (x)dxxK2K2 if (x)dx(iii)當(dāng) Ki,2是方程(2)的共軛復(fù)特征根時(shí),Ki K2再由歐拉公式有Kixlnxx cos( In x)i sin(In x),K2xIn xx cos( In x

12、)i sin(In x),將其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解為iiy x sin(In x) x cos(In x) f (x)dx cos(lnx)In x)f (x)dx(i)的證明和(ii)類似.例i求方程x2y 3xy 4y x2 In x x2的通解.解 該歐拉方程所對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 K2 4K 4特征根為Ki K22,所以由定理3,原方程的通解為2322322y x In x x (x Inx x )dx In x x (x Inx x )dx2i2i3 i2x In x (In x) In x ci (In x) (In x)c2232222 i3 i2Gx I

13、n x c2xx (In x) (In x)6 2(其中g(shù)，C2為任意常數(shù))例2求方程x2y 2xy 2y x3ex的通解.例3求方程x2yxy 2y的通解.cos(ln x)解該歐拉方程所對應(yīng)的齊次方程的特征方程為K2 3K 20，特征根為K12，K21，所以由定理3,原方程的通解為y x23 3 x 1x x e dx xx 2x3exdx2 xx (eG)x(xexex C2)c1x2 c2x xex（其中Ci , C2為任意常數(shù)）解該歐拉方程所對應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為k2 2k 20，Ki,21 i ,所以由定理3,原方程的通解為2xsin(Inx) x cos(lnx)xc

14、os(l nx)dx cos(l nx) x 2s in (I n x)xcos(l nx)dxxsin(ln x) dx cos(lnx) 1 sin(lnx) dxxx cos(ln x)xsin (I n x)(l nx g) cos(l nx)l n( cos(l n x) g)xGsin(lnx) c2cos(lnx) xsin(In x)ln x cos(lnx)ln(cos(ln x)（其中ci，c2為任意常數(shù)）在定理3中，若令f （x） 0，則得到二階齊次歐拉方程（2）的通解.推論方程(2)的通解為(i) ygxKiqxKlln x,(心心是方程(2)的相等的實(shí)特征根)(ii)

15、 yCiXKl C2XK2 ,( QK2是方程(2)的不等的實(shí)特征根)(iii) y gx cos( In x) c?x sin( In x).(心上 i 是方程(2)的共軛復(fù)特征根)(其中Ci , C2為任意常數(shù))2.3三階非齊次歐拉方程的求解(常數(shù)變易法)三階非齊次歐拉方程：x3yaiX2ya2xy asy f(x).(9)(其中ai，a2， as為常數(shù))(9)對應(yīng)的齊次方程為x3yaiX2y a2xy asy 0.(10)特征方程為 K3 (ai 3)K2 (2 ai a2)K as 0.(11)定理4設(shè)Ki是方程(ii)的根，K2是方程K2(3K2 ai i)K 3K2(K2 i) 2

16、aiKi a?0的根，貝U( 9)的通解為yxKixK2x(2K23Kiaiix(K22Kiai2) f (x)dxdxdx .(i2)證明根據(jù)條件y cxKi ( c為任意常數(shù))是方程(io)的解.設(shè)y c(x)xKi是方程(9)的解(其中c(x)是待定的未知數(shù))，將其代入方程(9),整理得c (X)(3Kiai)xic(x)3Ki(Ki i)2aiKi a2x2c(x)(佝Ki3(q3)Ki2 (2ai a?)©ax3c(x) x (Ki 3)f (x)因?yàn)镵i是(11)的根，貝UKi3 (ai 3)Ki2(2 ai a?)© a30,于是(i3)式化為c (x) (3

17、Ki ai)x ic (x) 3心(心 i) 2aK a?x2c(x) x(Ki3)f(x) (i4) 這是以c(x)為未知函數(shù)的二階歐拉方程.設(shè)K2為(i4)對應(yīng)的齊次方程的特征方程K2 (3Ki ai i)K 3Ki(Ki i) 2aiKi a20,( i5)的根，則c(x) xK2 x (2K2 3Ki ai) x(K2 Ki 2) f (x)dxdx .從而 c(x)xK2 x (2K2 3Ki ai) x(K2 2Ki ai 2)f(x)dxdxdx.故方程(i )的通解為yxKixK2x (2K23Kiaii)x(K22Kia2)f(x)dxdxdx.定理5設(shè)Ki是方程（ii）的根

18、，K2是方程（i5）的根，則（i ）當(dāng)Ki是方程（ii）的單實(shí)根,K2是方程（i5）的單實(shí)根，貝U（ 9）的2通解為xKiyx& x (Ki K2(3K1 2K2 q) 12)f(x)dx x1 (3K1 Kai) x(2Ki K2 ai)f(x)dxdx（ii ）當(dāng)Ki是方程（11）的單實(shí)根,K2是方程（15）的單虛根，貝9（ 9）的通解為yxKi sin( Inx) x(Ki 2) cos( In x) f (x)dx cos( In x)x ( Ki 2) sin( In x)f (x)dx dx（其中1 3K12 6K1 2a1K1 4a2 (a1 1)2 )2、（iii ）當(dāng)

19、Ki是方程（11）的單實(shí)根，K2是方程（15）的重實(shí)根，則（9）的通解為yxK1 xK2I nxx(K1K22)f(x)dx In x x (K1 K2 2)f (x)dx dx.0，有K21，則（9）的通解為Ki(Ki 1)y xK1 x 1Inx x(K11)f(x)dxIn x x (K1 1 f (x)dx dx.（iv ）當(dāng)K1是方程（11）的三重實(shí)根，方程（15）變?yōu)镵2 2K 1證明（i ）因?yàn)镵2是方程（15）的單實(shí)根，得（14）的通解為c(x)K2 x(K1 K2 2) x(3K1 2K2 a1) 11 (3K1 K2a,)x(2K1 K2zv町 3 f (x)dx則（9）的

20、通解為xK1y (3K1 2K2 q) 1 x xK2 (K1 K2 2)f(x)dx x1 (3K1 K2 a1)x(2K1 K2 aj3f (x)dxdx有一對共軛虛根（ii ）因?yàn)镵2是方程（14）的單虛根，此時(shí)方程（15）(1 q 3K1) /3K12 6K1 2a1K1 4a2 (a1 1)22得（14）的通解為c (x) sin( In x)x(K12) cos( In x) f (x)dx cos( In x) x ( K1 2) sin( In x) f (x)dx則（9）的通解為yxK1 sin( In x)x(2) cos( In x) f (x)dx cos( In x)

21、 x (sin( ln x)f(x)dxdx（其中1 3K3Kj 6K1 2a1K1 4a2 (a1 1)2 )2（iii ）因?yàn)镵2是方程（15）的重實(shí)根，得（9）的通解為yxK1 xK2In x x (K1 K2 2) f(x)dx In x x (K1 K2 2) f(x)dxdx.(iv )當(dāng)Ki是方程(10)的三重實(shí)根(a, 3 3Ki ),方程(15)變?yōu)?K2 2K210，有 K21，將 ai 3 3Ki , K21 代入(12)式得y xK1 x 1x 1 x (K11)f (x)dxdxdx,對上式分部積分得(9)的通解為y xK1 x1l n x x(K11)f(x)dx

22、In x x (K1 1) f (x)dxdx .例1求三階歐拉方程x3y3x2y 6xy 6y x的通解.解原方程對應(yīng)的齊次方程為x3y 3x2y 6xy 6y 0,其特征方程為K3 6K2 11K60，解得其特征根為1， 2， 3，取K11，將K1 1，旦 3，32 6，代入方程（15），得K2K20,解得K21或0，利用定理5（ i ）的通解公式有r3 2 1132y xx x dx xdxdxxl nx - c1x c2x c3x2 2（其中&， C2，C3為任意常數(shù)）例2求三階歐拉方程x3y4x2y 13xy 13y x的通解.解原方程對應(yīng)的齊次方程為32x y 4x y 1

23、3xy 13y0,其特征方程為(K 1)(K2 6K 13)0,從而解得特征單實(shí)根為心1，將心1，B 4，3213代入方程(15)，得到K22 2K250，解得K21,2 1 2i .令 K21 2i，貝U 1，2，利用定理5 (ii )的通解公式有x33y x Jsin(2ln x) x cos(2ln x)dx cos(2ln x) x sin(2ln x)dxdx11xlnx C2 sin(2ln x) g cos(2ln x) c3x816(其中& , c , C3為任意常數(shù))2.4 n階齊次歐拉方程的求解（求形如y xK的解）令y xK是方程（1）的解，將其求導(dǎo)（需要求出y、

24、y L y（n 1、y（n）代入方程（1）,并消去xK，得K(K 1)L (K n 1) a1K(K 1)L (K n 2) L a(n 1)K an 0. (16 )定義3以K為未知數(shù)的一元n次方程（16）稱為n階齊次歐拉方程（1） 的特征方程由此可見，如果選取k是特征方程（16）的根，那么幕函數(shù)y xk就是 方程（1）的解.于是，對于方程（1）的通解，我們有如下結(jié)論：定理6方程（1）的通解為y C1 cy L Cn°n1 Cnyn（其中C1，C2L Cn 1，Cn為任意常數(shù)），且通解中的每一項(xiàng)都有特征方程（16） 的一個根所對應(yīng)，其對應(yīng)情況如下表：方程（16）的根方程（1）通解中

25、的對應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根：K給出一項(xiàng)：cxk一對單共軛復(fù)根：心,2i給出兩項(xiàng)：Gx cos( In x) c2x sin( In x)k重實(shí)根：K給出 k項(xiàng)：xkg C2Inx L Ck(Inx)K一對k重共軛復(fù)根：心,2i給出2k項(xiàng)：kx g c2 Inx Lck(ln x) cos( In x)x d1 d21 nx L dk (I nx)ksi n( In x)例1求方程x4y8x3y15x2y5xy 0的通解.解該歐拉方程的特征方程為K(K1)(K2)( K 3) 8K(K 1)(K2) 15K(K1) 5K 0 ,整理，得K(K2 2K 2)0，其根為K1K20，心4所以原方程的通解為y c1

26、 c21nx -3 cos(lnx) sin(In x).xx(其中G , - , C3 , C4為任意常數(shù))例2求方程x4y6x3y(3) 7x2yxy y 0的通解.解該歐拉方程的特征方程為K(K 1)(K 2)(K 3) 6K(K 1)(K 2) 7K(K 1) K 10，整理，得K410，其根為K1,2 i，K3,4 i (即一對二重共軛復(fù)根)，所以原方程的通解為y cos(l nx) c2s in (I n x) q In x cos(l n x) c4lnxsin (I n x).(其中C1， c2，c3，C4為任意常數(shù))3. 結(jié)束語從前面的討論過程來看，和教材中的變量變換法相比，本文中的解決辦法更直接、更簡單.但需要說明的是，本文中的定理和例題都是在 x 0范圍 內(nèi)對齊次歐拉方程求解的，如果要在 x 0范圍內(nèi)對其求解，則文中的所有In x都將變?yōu)閘n( x)，所得的結(jié)果和