研究性課題楊輝三角

1、研究性課題：楊輝三角【 教學目標 】1 進一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律，形成知識網(wǎng)絡(luò)；2 培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力；3 了解我國古今數(shù)學的偉大成就，增強愛國情感【 教學重難點 】 培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力?！?教學方式 】 計算機輔助教學，探究式【 教學過程 】引言 : 為什么要研究楊輝三角？（教師給學生介紹研究楊輝三角的意義）1什么是楊輝三角？（師生一起復(fù)習楊輝三角）二項式（ a+b）n 展開式的二項式系數(shù)，當 n 依次取 1，2，3時，列出的一張表， 叫做二項式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我

2、們又稱它為楊輝三角.（P .71圖）2 介紹楊輝一一古代數(shù)學家的杰出代表（ 教師介紹楊輝的杰出事跡，使學生了解數(shù)學家楊輝及其成就 , 增強民族自豪感。 ） 楊輝，杭州錢塘人。中國南宋末年數(shù)學家，數(shù)學教育家著作甚多，他編著的數(shù)學書 共五種二十一卷，著有詳解九章算法十二卷（ 1261 年）、日用算法二卷、 乘除通 變本末三卷、 田畝比類乘除算法二卷、 續(xù)古摘奇算法二卷其中后三種合稱楊 輝算法，朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界?！皸钶x三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書中，此書還說明表內(nèi)除“一” 以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國 北宋數(shù)學家賈憲（約公元

3、11 世紀）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于 11 世紀在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家物理學家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（ Blaise Pascal, 1623 年1662 年） ,他們把這個表叫做帕斯卡三角這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的3 寫出楊輝三角的若干行（ 讓學生自己動手寫出，為后面的探究做準備。 ）（用 Excel 制作楊輝三角，用到第 15 行，學生自己寫出楊輝三角到第 15行）0行B拓i2fr12JL135114t>41i5101051疏ii1520156tTh-i7213&35217151行i&#

4、163;85670562881勺行號3&84126849Ilofri104呂12021025221G12045101nfi1115516533046246233016555111空行i126622049S79292449522012iisfri1378郵17 ISlYlb71b；TH131nfrjia911Q012Q0X3畑3003200Z1QQL36491id1lfifj15105455136530035&05 J64356455005旳0$1365455105154. 楊輝三角基本性質(zhì)（和學生一起回顧楊輝三角蘊含的基本規(guī)律）（1） 表中每個數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)

5、是C：.（2） 三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加,就是c； cni C；!.（3） 楊輝三角具有對稱性（對稱美），即C； C； r .奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和 =2； 1若n為偶數(shù)，則中間項的二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，則中間項兩項的二項式系數(shù)最大。（6）楊輝三角的第n行是二項式（a+b） n展開式的二項式系數(shù)，即(a b)n C0an Cnan1b1C；an rbrC：bn課后思考：利用數(shù)學歸納法證明第六點性質(zhì)。下面，師生一起繼續(xù)探究楊輝三角蘊含的數(shù)量關(guān)系（全班分成若干個小組進行探討， 老師巡回檢查，稍后師生一起檢查探究結(jié)果，教師要適時給予

6、鼓勵）。5. 楊輝三角有趣的數(shù)字排列規(guī)律（培養(yǎng)學生觀察力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角 度觀察）（橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同?。?） 計算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：第1行 1 + 1 = 2第 2 行1 + 2+ 1 = 4 = 22第3行1 + 3+ 3+ 1 = 8= 23第4行41 + 4+ 6+ 4 + 1 = 16= 2_第5行51 + 5+ 10+ 10+ 5 + 1 = 32 = 2第n行Cn C1 C2cn分析：第n行數(shù)字的和為2 n.前n行（含第0行）所有數(shù)的和為2 n - 1，Cn 1n它恰好比第n行的和2 n小1.（2）從楊輝三

7、角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個數(shù).（再引導(dǎo)學生“斜”向看）例如：10= 1 + 2+ 3+ 4,20= 1 + 3 + 6+ 10，.（引導(dǎo)學生得出一般性的結(jié)論）一般地，在第 m條斜線上（從右上到左下）前 個數(shù)字的和，等于第 m+1條斜線上的第n個數(shù).根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前n項和：1 + 1 + 1+ .+ 1= c：（第1條斜線）1 + 2 + 3+ . .+ C n 1 =（第2條斜線）1 + 3 + 6+ . .+ C2 1 =c3（第3條斜線）31 + 4 + 10+ .+ Cn 1 = C（第4條斜

8、線）結(jié)論：C； C； 1 C； 2Cnr1 cn1(n r) (第r+1條斜線）（可用組合數(shù)性質(zhì)簡單證明）（3）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，（繼續(xù)換一角度“斜”向看）1，1，2，3，5，8，13，21，34，.此數(shù)列a n滿足,a 1=1,a 2=1,且 an=a“1 +a“2 （n > 3） 這就是著名的斐波那契數(shù)列.（以下介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強趣味性） 中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法有什么規(guī)律?20156"r 2135 3521中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一 對小兔子，并且以后每個月都生

9、一對小兔子設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均 無死亡.問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？兔子繁殖問題可以從楊輝三角得到答案：右側(cè)從上而下的一列數(shù)1, 1, 2, 3,5, 8, 13,，正好是剛生的兔子，第一個月后的兔子第二個月后的兔子，第三 個月后的兔子，n個月后的兔子的對數(shù).“兔子繁殖問題”的答案就是第12行右下側(cè)的數(shù)(第13 個),即233.(4) 楊輝三角的第1, 3, 7, 15,.行，即第2K-1(k是正整數(shù))行的各個數(shù) 字有什么特點？結(jié)論：觀察可知，它們均為奇數(shù).第2K行除兩端的1之外都是偶數(shù).(5) 楊輝三角第5行中，除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)5整除其余所有的數(shù).你能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時的行數(shù)P是什么數(shù)？(繼續(xù)“橫”看)結(jié)論：如2, 3, 7, 11等行.行數(shù)P是質(zhì)數(shù).6. 楊輝三角的運用一一“縱橫路線圖”“縱橫路線圖”是數(shù)學中的一類有趣的問題.圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從 A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？ 我們把圖順時針轉(zhuǎn) 45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點標上相應(yīng)的楊輝三角數(shù).有趣的是，B處所對應(yīng)的數(shù) 70，正好是答案4(C870).一般地，每個交點上的楊輝三角數(shù)，就是A到達該點的方法數(shù).由此看來，楊輝三角與