數(shù)學(xué)學(xué)案正態(tài)分布線性回歸

1、 本資料來自于資源最齊全的世紀(jì)教育網(wǎng)12.4 正態(tài)分布、線性回歸一、 知識梳理1正態(tài)分布的重要性 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。 2正態(tài)曲線及其性質(zhì) 正態(tài)分布函數(shù)：，x（-，+） 3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率。 4一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化 由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。只

2、要會用它求正態(tài)總體在某個(gè)特定區(qū)間的概率即可。 5“小概率事件”和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識便是進(jìn)行推斷的出發(fā)點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)我們要有以下兩個(gè)方面的認(rèn)識：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗(yàn)”來說的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有5%的犯錯(cuò)誤的可能。課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)一般分三步： 第一步，提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是這個(gè)工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布；

3、 第二步，確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍（-3，+3）； 第三步，作出推斷。如果a（-3，+3），接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)；如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè)。 6相關(guān)關(guān)系 研究兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。 函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。 函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。 7回歸分析 本節(jié)所研究的回歸分析是回歸分析中最簡單，也是最基本的一種

4、類型一元線性回歸分析。 對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面： 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。 散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。 求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。 8相關(guān)系數(shù) 有時(shí)散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程。顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒有實(shí)際意義。那么，在什么情況

5、下求得的回歸直線方程才能對相應(yīng)的一組觀測數(shù)據(jù)具有代表意義？課本中不加證明地給出了相關(guān)系數(shù)的公式。相關(guān)系數(shù)公式的作用在于，我們對一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析，而不是僅憑畫出散點(diǎn)圖，直覺地從散點(diǎn)圖的形狀粗淺地得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度。 9線性相關(guān)性檢驗(yàn) 相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的具體辦法。限于要求，中學(xué)階段只要求掌握這種檢驗(yàn)方法的操作步驟，而不要求對這種方法包含的原理進(jìn)行深入研究。其具體檢驗(yàn)的步驟如下： 在課本中的附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值。 根據(jù)公式計(jì)算r的值。 檢驗(yàn)所得結(jié)果。如

6、果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如果，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了。這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。 教學(xué)目標(biāo)1了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。2了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式及其應(yīng)用；通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。3了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點(diǎn)圖等概念，會求回歸直線方程。 4了解相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式及其意義，會用相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算

7、；了解相關(guān)性檢驗(yàn)的方法與步驟，會用相關(guān)性檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。重點(diǎn)：正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)，線性回歸的方法和簡單應(yīng)用。二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.如果隨機(jī)變量N（，2），且E=3，D=1，則P（11等于BA.2（1）1 B.（4）（2）C.（2）（4） D.（4）（2）2. 為考慮廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)用（千元）1.04.06.010.014.0銷售額（千元）19.044.040.052.053.0現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元，則需廣告費(fèi)用為_1.5萬元_.（保留兩位有效數(shù)字）三、例題剖析【例1】 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ，液體的溫度

8、（單位：）是一個(gè)隨機(jī)變量，且N（d，0.52）.（1）若d=90°，求<89的概率；（2）若要保持液體的溫度至少為80 的概率不低于0.99，問d至少是多少?（其中若N（0，1），則（2）=P（<2）=0.9772，（2.327）=P（<2.327）=0.01）.在實(shí)際生活中，常用統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的思想檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格，方法是：（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：某種指標(biāo)服從正態(tài)分布N（，2）；（2）確定一次試驗(yàn)中的取值a；（2）作出統(tǒng)計(jì)推斷：若a（3，+3），則接受假設(shè)，若a（3，+3），則拒絕假設(shè).如：某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的“抗斷強(qiáng)度”服從正態(tài)分布N（30，0.8），質(zhì)檢人員從該廠某

9、一天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)抽查一塊，測得它的抗斷強(qiáng)度為27.5 kg/cm2，你認(rèn)為該廠這天生產(chǎn)的這批磚是否合格?為什么?【例2】 1. 已知測量誤差N（2，100）（cm），必須進(jìn)行多少次測量，才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過8 cm的頻率大于0.9?2. 隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（0，1），如果P（<1）=0.8413，求P（1<<0）3. 公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N（173，72）（cm），問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高？4. 公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某

10、地成年男子的身高N（173，72）（cm），問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高？5. 一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤x（萬元）分別服從正態(tài)分布N（8，32）和N（6，22），投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個(gè)方案?【例3】設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，xR。 求，；求及的值?！纠?】公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高N（173，7）（單位：cm），問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高（精確到1cm）？【例5】已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851

11、986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0 年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0 求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。四、同步練習(xí) g3.1100 正態(tài)分布、線性回歸1已知從某批材料中任取一件時(shí)，取得的這件材料的強(qiáng)度N（

12、200，18），則取得的這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率為（ ） A0.9973 B0.8665 C0.8413 D0.81592已知連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)是 其中常數(shù)A>0，則A的值為（ ）A1 Bb C Db-a3某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量x（千件）與單位成本y（元）滿足回歸直線方程，則以下說法中正確的是（ ）A產(chǎn)量每增加1000件，單位成本下降1.82元 B產(chǎn)量每減少1000件，單位成本上升1.82元C產(chǎn)量每增加1000件，單位成本上升1.82元 D產(chǎn)量每減少1000件，單位成本下降1.82元4工人月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為，下列判斷正確的是（ ）A勞動(dòng)生產(chǎn)率為

13、1000元時(shí)，工資為150元 B勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高150元C勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高90元 D勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為90元5若隨機(jī)變量N（5，2），且P(<a)=0.9，則a=_。6已知連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為： 則a=_，_。7設(shè)隨機(jī)變量服從N（0，1），求下列各式的值： （1）P(2.55)； （2）P(<-1.44)； （3）P(|<1.52)。8某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外徑N（4，0.25）。質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查一件，測得它的外徑為5.7cm。試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？9現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生

14、在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績（x）與入學(xué)后的第一次考試中的數(shù)學(xué)成績（y），數(shù)據(jù)如下： 學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771試問這10個(gè)學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績是否具有顯著性線性相關(guān)關(guān)系？10某工業(yè)部門進(jìn)行一項(xiàng)研究，分析該部門的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的關(guān)系，從這個(gè)工業(yè)部門內(nèi)隨機(jī)抽取選了10個(gè)企業(yè)作樣本，有如下資料： 產(chǎn)量（千件）40424855657988100120140生產(chǎn)費(fèi)用（千元）150140160170150162185165190185 完成下列要求： （1）計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)； （2）對這兩個(gè)變量之

15、間是否線性相關(guān)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；（3）設(shè)回歸直線方程為，求系數(shù)a，b。同步練習(xí)（參考答案）：1B 2C 3A 4C 56.52 6， 提示： 5因?yàn)镹（5，2），查表知，解得a=6.52。 6由解得，即為圖中陰影部分的面積。 7分析 一個(gè)隨機(jī)變量若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，查出其值。但在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了，即的情形，對于其它情形一般用公式：(-x)=1-(x)；p(a<x<b)= (b)- (a)及等來轉(zhuǎn)化。 解 （1） （2） ； （3） 說明 從本例可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只要給出了的概率，就可以利用上述三個(gè)公式求出其它情形下的概率。 8分析 欲判定這批零

16、件是否合格，由假設(shè)檢驗(yàn)基本思想可知，關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一件產(chǎn)品的尺寸是在（-3，+3）內(nèi)，還是在（-3，+3）之外。 解 由于圓柱形零件的外徑N（4，0.25），由正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布N（4，0.25）在區(qū)間(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而，這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據(jù)統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，認(rèn)為該廠這批產(chǎn)品是不合格的。說明 判斷某批產(chǎn)品是否合格，主要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。如記住課本P33表格中三種區(qū)間內(nèi)取值的概率，對我們的解題可以帶來很大的幫助。9易得，68，。則相關(guān)系數(shù)為 。 查表得自由度為10-2=8相應(yīng)的相關(guān)關(guān)系臨界值，由知，兩次數(shù)學(xué)考試成績有顯著性的線性相關(guān)關(guān)系。 10（1）制表如下： i123456