彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程-第四版習(xí)題詳解

1、彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版習(xí)題解答第一章【1-1 】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均 勻的各向同性體？【分析】 均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定， 但不滿足 各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定， 但滿足各向同性假定。【解答】 均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2 】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想 彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定： 連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】 一般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性 體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)

2、件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體?！?-3 】五個(gè)根本假定在建立彈性力學(xué)根本方程時(shí)有什么作 用？【解答】1連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定 整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿， 不留下任何空 隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以 看成是連續(xù)的。 因此， 建立彈性力學(xué)的根本方程時(shí)就可以用坐標(biāo) 的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定： 假定物體是完全彈性的， 即物體在對(duì)應(yīng)形變 的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定， 還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義， 亦即兩者之間是成 線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從 而使物

3、理方程成為線性的方程， 其彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大 小而變。均勻性假定： 假定物體是均勻的， 即整個(gè)物體是由同一材料 組成的，引用這一假定后整個(gè)物體的所有各局部才具有相同的彈 性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的， 因而物體 的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定： 假定物體是各向同性的， 即物體的彈性在所 有各個(gè)方向都相同， 引用此假定后， 物體的彈性常數(shù)不隨方向而 變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受 力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸， 而 且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于 1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程 時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來

4、代替變形以后的尺寸。 在 考察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí)， 它們的二次冪或乘積相對(duì)于其 本身都可以略去不計(jì)， 使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程?！?-4 】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo) 面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹?應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定是： 當(dāng)作用面的外法線方向指向坐 標(biāo)軸方向時(shí)即正面時(shí) ，這個(gè)面上的應(yīng)力不管是正應(yīng)力還是 切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng) 作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)即負(fù)面時(shí) ，該面上的 應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為 正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方

5、向?yàn)樨?fù)。由以下圖可以看出， 正面上應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)， 負(fù)面上 應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。正的應(yīng)力 正的面力【1-5 】試比擬彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī) 定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn) 動(dòng)的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。彈性力學(xué)中規(guī)定， 作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的 正方向?yàn)檎?，作用于?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)?正，反之為負(fù)?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，此題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起

6、軸向伸長(zhǎng)變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如下圖應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。1-7 】試畫出圖 1-4 中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。【解答】正的體力、面力 正的體力、應(yīng)力【1-8 】試畫出圖 1-5 中三角形薄板的正的面力和體力的方 向?！窘獯稹俊?-9 】在圖 1-3 的六面體上， y 面上切應(yīng)力的合力與 z 面 上切應(yīng)力的合力是否相等？【解答】 切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為，單位為。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dx xdy xdz,那么y面上切應(yīng)力的合力為：(a)z 面上切應(yīng)力的合力為：(b)由式(

7、a)(b) 可見，兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€(gè)相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等， 但對(duì)某點(diǎn)的合力矩相等， 才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。第二章平面問題的根本理論【2-1 試分析說明，在不受任何面力作用的空間體外表附近的薄 層中圖2-14其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。【解答在不受任何面力作用的空間外表附近的薄層中，可以認(rèn) 為在該薄層的上下外表都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有，只存在 平面應(yīng)力分量，且它們不沿 z方向變化，僅為x, y的函數(shù)?？梢哉J(rèn)為 此問題是平面應(yīng)力問題?！?-2 試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作 用的等厚度薄片中2-15 ,當(dāng)板邊上只

8、受x, y向的面力或約束，且 不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！窘獯鸢迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時(shí)，且不受切向面力作用，那么相應(yīng)板邊上只受x, y向的面力或約束，所以僅存在，且不沿厚度變化， 僅為x, y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！?-3 在圖2-3的微分體中，假設(shè)將對(duì)形心的力矩平很條件改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平 衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？【解答將對(duì)形心的力矩平衡條件， 改 為分別對(duì)四個(gè)角點(diǎn) A B、D E的平衡條件， 為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。(a)(b)cd 略去、b、c、d中的三階小量亦即令都趨于 0,并將 各式都除以后合并同類項(xiàng)，分別得到?！痉治觥坑纱?/p>

9、題可得出結(jié)論：微分體對(duì)任一點(diǎn)取力矩平衡得到的 結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。【2-4 】在圖 2-3 和微分體中， 假設(shè)考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均 勻分布的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？(b)【解答】微分單元體ABCD勺邊長(zhǎng)都是微量，因此可以假設(shè)在各面 上所受的應(yīng)力如圖 a 所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線 性分布的，如圖b所示。為計(jì)算方便，單元體在 z方向的尺寸取為 一個(gè)單位。a各點(diǎn)正應(yīng)力：各點(diǎn)切應(yīng)力：由微分單元體的平衡條件得以上二式分別展開并約簡(jiǎn)，再分別除以，就得到平面問題中的平 衡微分方程：【分析】由此題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用 于任意的應(yīng)力分布形式。

10、【2-5 】在導(dǎo)出平面問題的三套根本方程時(shí)， 分別應(yīng)用了哪些根本 假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】 (1) 在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的 根本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩 套方程的適用條件。(2) 在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的根本假定是： 連續(xù)性， 完 全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈 性體的四個(gè)假定也是物理方程的使用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套根本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假 定？【2-6 】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)接近平面應(yīng)力問題總比鋼圓筒接近平面應(yīng) 變問題的

11、變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹?體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相 同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的 物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級(jí)別的量，而泊松比取值一般在 0，0.5 ，故主要控制參數(shù)為含有彈性 模量的系數(shù)項(xiàng)，比擬兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題 的系數(shù)要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)。因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變 要大，故鋼圓環(huán)變形大?！?2-7 】在常體力， 全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下， 對(duì)于 不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同。試問其余的 應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？

12、【解答】 1 應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同，但 平面應(yīng)力問題，而平面應(yīng)變問題的。2應(yīng)變分量：應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而 兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量相同，而不相同。 3位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移 分量對(duì)于兩類平面問題也不同?！?-8 在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí) AB邊界上的之間的關(guān)系式解答 由題可得：將以上條件代入公式 2-15 ，得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。圖 2-17圖 2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件

13、，假設(shè)為小邊界 也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式2-15 ?！窘獯稹繄D2-17 :上y=o左(x=0)右 x=b0-11-100000代入公式2-15 得 在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件: 在小邊界上，能精確滿足以下應(yīng)力邊界條件： 在小邊界上，能精確滿足以下位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為:由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，那么有:圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式2-15S(S)0 -100 1-0 在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南

14、原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界 條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有 在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件 也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如下圖， 列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故2-10 】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖 2-19 所示的兩個(gè)問題中 OA邊上的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比擬兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于，0A為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：a上端面0A面上面力由于0A面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有對(duì)0A中點(diǎn)取矩b應(yīng)用圣維

15、南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主 矩符號(hào)相反，面力主矢 y 向?yàn)檎骶貫樨?fù)，那么綜上所述，在小邊界0A上,兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的?！?-11】檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什 么？【解答】1在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式 2-18 ；2在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式 2-19 ；3在上的位移邊界條件式 2-14 ；對(duì)于平面應(yīng)變問題，需將 E、卩作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)，位移分量必須滿足的條件。【 2-12 】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什 么？【解答】1在區(qū)域A內(nèi)的

16、平衡微分方程式2-2 ;2在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式2-21 或2-22 ;3在邊界上的應(yīng)力邊界條件式 2-1 5 ，其中假設(shè)只求解全部 為應(yīng)力邊界條件的問題； 4 對(duì)于多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時(shí)也是按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須 滿足的條件?！狙a(bǔ)題】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什 么？【解答】 用應(yīng)變表示的相容方程式 2-20 【 2-13】檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什 么？【解答】1在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式2-25 ； 2在邊界 S 上的應(yīng)力邊界條件式 2-1 5 ，假設(shè)全部為應(yīng)力邊 界條件； 3 假設(shè)為多連

17、體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時(shí)也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。2-14】檢驗(yàn)以下應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：圖 2-21圖 2-20(a) 圖 2-20 ,。【解答】 在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：(1)平衡微分方程 (2-2)；(2)用應(yīng)力表示的相容方程 (2-21)；(3) 應(yīng)力邊界條件( 2-15)。( 1 )將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足(2)將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式( 2-21)，有等式左 =右應(yīng)力分量不滿足相容方程。 因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。(b) 圖2-21，由材料力學(xué)公式，,(取梁的厚度b=1)，得出所示 問

18、題的解答 : ， 。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出： 。試導(dǎo)出上述公 式，并檢驗(yàn)解答的正確性?！窘獯稹?( 1)推導(dǎo)公式 在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為 h 的矩形，其對(duì)中性軸( Z 軸)的慣性矩，應(yīng)用截面法可求出任意 截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：得：根據(jù)邊界條件得故 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程 2-2 第一式：滿足第二式 自然滿足 將應(yīng)力分量代入相容方程 2-23 應(yīng)力分量不滿足相容方程。 故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15 】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù) 值都等于兩個(gè)主應(yīng)力的平均值?！窘獯稹?/p>

19、 1確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為，用關(guān)系式消去 m得由上式可見當(dāng)時(shí)，即時(shí)，為最大或最小，為。因此，切應(yīng)力的最 大，最小值發(fā)生在與 x 軸及 y 軸即應(yīng)力主向成 45°的斜面上。2求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力的值 任一斜面上的正應(yīng)力為最大、最小切應(yīng)力作用面上，帶入上式，得證畢?！?-16】設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求【解答】由公式(2-6)及，得(a)(b)(c)(d)【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力 可以不計(jì)，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有 均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方 程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而 就是正確的

20、解答。【解答】(1)將應(yīng)力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程a)b)顯然滿足( a)(b)(2)對(duì)于微小的三角板 A dx, dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式( 2-15) ，且，那么有所以。對(duì)于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。( 3)對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。 該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程( 2-12)， 得形變分量，( d ) 將(d)式中形變分量代入幾何方程(2-8)，得( e )前兩式積分得到(f )其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式(f)代入式(e)的第三式，得等式左邊

21、只是 y 的函數(shù)，而等式右邊只是 x 的函數(shù)。因此，只可 能兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)，于是有積分后得代入式f得位移分量(g)其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式g可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)， 滿足位移單值條件。 因而，應(yīng)力分量是正確的解答?！?-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F 圖2-22，體力可以不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明 這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達(dá)式是否就 表示正確的解答。h/2f；xOh/2"*f卄IfiyF【解答】1 矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變 形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對(duì) 中性軸的慣性矩為，根據(jù)材

22、料力學(xué)公式彎應(yīng)力;該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力2將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)第一式：第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。3 將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程滿足相容方程4考察邊界條件 在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件2-150-1000100代入公式 2-15 ，得 在次要邊界 x=0 上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件 在次要邊界上， 首先求出固定邊面力約束反力， 按正方向假設(shè)， 即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力 主矢與主矩等效：滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。【 2

23、 - 1 9 】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即 體力分量可以表示為，其中 V 是勢(shì)函數(shù)，那么應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù) 表示成為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。【解答】 1 將帶入平衡微分方程 2-2a將a式變換為b為了滿足式b,可以取即 2 對(duì)體力、應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，得 c 將c式代入公式2-21 得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相 容方程 2-21 整理得： d 即平面應(yīng)力問題中的相容方程為將c式代入公式2-22 或?qū)式中的替換為，的平面應(yīng) 變情況下的相容方程： e 即。證畢。平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1 】為什么在主要邊界大邊界上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件 式 2-15 ，而在小

24、邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件即主矢量、主矩的條件來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng) 力邊界條件代替式 2-15 ，將會(huì)發(fā)生什么問題？【解答】 彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界 條件完全得到滿足，往往比擬困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界 上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小局部邊界上的面力換成分 布不同， 但靜力等效的面力 主矢、 主矩均相同，只影響近處的應(yīng)力分布， 對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大局部的主要邊界上用 三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件 公式 2-15 ，就會(huì)影 響大局部區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問題

25、的解答精度缺乏?！?-2 】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分 方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三 個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核。【解答】 區(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì) 上是邊界上微分體的平衡條件，即外力面力與內(nèi)力應(yīng)力的平衡條 件。研究對(duì)象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足， 那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的 , 因 而可以不必校核。【3-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個(gè)主要邊界和n個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，

26、各有幾個(gè)條件？【解答】在m個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有 2個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件， 公式2-15，共2m個(gè)；在n個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，那么有2n個(gè)；如果不能滿足公式2-15 的精確應(yīng)力邊界條件，那么可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替2個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共 3n個(gè)【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖3-8所示和坐標(biāo)系中能解決什么問題體力不計(jì)? |Ofnxh的矩形板【解答】相容條件:lyr圖3-8不管系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式2-25.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式 2-24，得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力左右邊界

27、上；當(dāng)a>0時(shí)，考察分布情況，注意到，故 y向無面力左端:右端:應(yīng)力分布如下圖，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即此題情況下，可解決各種偏心拉伸問 題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為 b集中荷載p的偏心距e：同理可知，當(dāng)0時(shí)，可以解決偏心壓縮問題。函數(shù)為:力，畫出 布，并在 主矩?！窘獯稹?由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式2-15 主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為 x向主矢：y向主矢：主矩： 次要邊界，右邊界 x=l 上，面力的主矢，主矩為 x 向主矢

28、： y 向主矢：主矩： 彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如下圖 將應(yīng)力函數(shù)代入公式 2-24 ，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界 , 由公式 2-15 得 在主要邊界，上邊界上，面力為 在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按 2-15 計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過 三個(gè)積分邊界條件求得：在左邊界x=0,面力分布為面力的主矢、主矩為x 向主矢：y 向主矢：主矩；在右邊界 x=l 上，面力分布為面力的主矢、主矩為x 向主矢：y 向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如下圖3將應(yīng)力函數(shù)代入公式 2-24 ，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，

29、在主要邊界上應(yīng)精確滿足式 2-15 次要邊界上，分布面力可按 2-15 計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過 三個(gè)積分邊界求得： 左邊界 x=0 上，面力分布為 右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x 向主矢y 向主矢：主矩：如下圖彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，容方出圖小邊【3-6 試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相 程，并求出應(yīng)力分量不計(jì)體力，畫 3-9所示矩形體邊界上的面力分布在 界上畫出面力的主矢量和主矩，指出 力函數(shù)能解決的問題。【解答1將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程2-25 ，顯然滿足2將代入式2-24 ,得應(yīng)力分量表達(dá)式3由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力： 在主要邊界上上下邊界

30、上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式 2-15 , 應(yīng)力因此，在主要邊界上，無任何面力，即 在x=0, x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如下圖: 在x=0, x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式:x=0 上x=l 上因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩， 如圖：(a) (b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F 作用的問題?！?-7 】試證能滿足相容方程，并考察它在圖3-9 所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題設(shè)矩形板的長(zhǎng)度為I，深度為h,體力不計(jì)?！窘獯稹?1 將應(yīng)力函數(shù)代入式 2-25 代入 2-25 ，可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。 2

31、將代入公式 2-24 ，求應(yīng)力分量表達(dá)式 :3 考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力： 在主要邊界上面，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件2-15應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 : 在次要邊界上，分布面力為應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 :綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩， 如圖(b)(a)因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。x邊側(cè)面【3-8】設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱， 密度為p 上受均布剪力q 圖3-10 ，試求應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娣ㄇ蠼?。由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。1假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，

32、彎曲應(yīng)力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力主要與截面 的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力主要與橫向荷載有關(guān)，此題橫向荷載為零，那么2推求應(yīng)力函數(shù)的形式將，體力，代入公式2-24 有對(duì)y積分，得ab 其中都是x的待定函數(shù)。3由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將b式代入相容方程2-25，得c 在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，c式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它，可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即兩個(gè)方程要求d 中的常數(shù)項(xiàng)，中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式 中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。將 d式代入b式， 得應(yīng)力函數(shù) e 4由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量f gh5 考察邊界條

33、件 利用邊界條件確定待定系數(shù) A、 B、 C、 D、E。 主要邊界上左 ：將f, h代入，自然滿足i 主要邊界上，自然滿足，將h式代入，得j)在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：(k)(l)(m)由式(i ), (j) , (k), (l),(m聯(lián)立求得代入公式( g)， (h) 得應(yīng)力分量【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h，寬度為b,在兩側(cè)面上受到均 布剪力 q 的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。【解答】 按半逆解法求解。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程2-25顯然滿足。由公式2-24 求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式 2-15第一式自

34、然滿足，第二式為a 在主要邊界 x=b/2 上，精確滿足式 2-15第一式自然滿足，第二式為b 在次要邊界 y=0 上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件:滿足滿足c)聯(lián)立a c得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得受到集中3-12 ，試【3-10】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端 力和力矩作用，體力可以不計(jì)，圖 用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程2-25，顯然滿足2 由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式2-24a3考察邊界條件 主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件， 滿足得b 在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件C聯(lián)立方程b c得最后一個(gè)次要邊

35、界上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條 件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式a,得應(yīng)力分量【3-11 】設(shè)圖 3-13 中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為， 試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解?！窘獯稹?采用半逆解法求解1檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程 2-25 設(shè)應(yīng)力函數(shù)，不管上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程 2-25 2由式 2-24 求應(yīng)力分量 由體力分量，將應(yīng)力函數(shù)代入公式 2-24 得應(yīng)力分量： a b c 3考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。 對(duì)于主要邊界，其應(yīng)力邊界條件為：， d將式d代入式b， c，可得 e 對(duì)于主要

36、邊界斜面上，應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為， . 由公式(2-15 ),得應(yīng)力邊界條件(f)將式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(f),可解得(g)將式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得應(yīng)力分量表達(dá)式：【分析】此題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實(shí)上，也可通過 量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力 與有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是，而的量綱是，的量綱是，又是量綱一的 數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是的純一項(xiàng)式，即應(yīng)力分量的表達(dá) 式只可能是這兩種項(xiàng)的結(jié)合，其中 A， B是量綱一的量，只與有關(guān)

37、。應(yīng)力函 數(shù)又比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，即為和的純?nèi)问剑士杉僭O(shè)應(yīng)力函 數(shù)的形式為。【3-12】設(shè)圖3-5中簡(jiǎn)支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用§3-4中的應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量，并 上的應(yīng)力分布圖?！痉治觥颗c§ 3-4節(jié)例題相比，本 力分量。去除了上邊界的面力。依據(jù)§ 分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假設(shè)的【解答】按半逆解法求解。pk <)1 h/2h/2題多了體|_ / _一 f 一 |11y3-4，應(yīng)力畫出截面1由§ 3-4 可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為，由§ 3-4 可知，必然滿足相容方程 2-25 。2應(yīng)力分量的表達(dá)式：ab

38、c 【注】項(xiàng)多了 - 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適 中選擇常數(shù) ，使所有的邊界條件都被滿足，那么應(yīng)力分量式 a、 b、 c 就是正確的解答。3考慮對(duì)稱性 因?yàn)槊媸橇汉秃奢d的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于面。這樣是的 偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式a和式c可見 d 4考察邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件2-15 ,將應(yīng)力分量式b、c代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個(gè)方程，得：e)將式d、e代入式a、b、cfgh考察次要邊界條件 由于問題的對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上， ，不管 取任何值，都有。由 f 式可見，這是不可能的，除非均為零。因

39、此，只 能用應(yīng)力的主矢、主矩為零，即ij 將f式代入式i 得積分后得 K=0 k將式f代入式i，得積分后得l 將 k、 l 代入式 f ，得 m 考察右邊界上切應(yīng)力分量的邊界條件：右邊界上，那么的主矢為可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式g, h, m略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答:(n)5應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖梁截面的寬度取為1個(gè)單位，那么慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程 和剪力方程分別為那么式n可寫成：【分析】比擬彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力完全 相同，正應(yīng)力中的第一項(xiàng)與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項(xiàng)為彈性力學(xué)提出的 修正項(xiàng)；表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)

40、力，而材料力學(xué)假設(shè)為零。對(duì)于l>>h的淺梁，修正項(xiàng)很小，可忽略不計(jì)?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長(zhǎng)度為，高度為，在上邊界受均布荷 載，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量?！窘獯稹坑冒肽娼夥ㄇ蠼狻?相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式2-25，得要使?jié)M足相容方程，應(yīng)使(a)2求應(yīng)力分量，代入式2-24b3考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件cde 聯(lián)立式a、c、d、e,可得：f 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積 分的應(yīng)力邊界條件：滿足條件 g滿足將 A 的值帶入 g ，得C= h將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式b，得【3-

41、14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力F 和力矩 M 的作用圖3-15 ，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹?采用半逆解法求解。1 相容條件： 將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程 2-25 ，顯然滿足。2求應(yīng)力分量：將代入2-24 (a)3考察邊界條件。 在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件滿足b 在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件cde聯(lián)立b、 c、 d、 e式得，f將各系數(shù)據(jù)f代入式a，得應(yīng)力分量解答【分析】此題題目中原教材給出的坐標(biāo)軸有誤，無法計(jì)算。x，y坐標(biāo)互換后可以計(jì)算，但計(jì)算結(jié)果與題目提示解答幾乎完全不同，又將y軸調(diào)為水平向左為正方向，才得到提示結(jié)果?？梢?，

42、在求解問題時(shí)，坐標(biāo)軸的 方向及原點(diǎn)的位置與解答關(guān)系密切，坐標(biāo)軸不同可得到完全不同的結(jié)果。水的密在邊界【3-15】擋水墻的密度為，厚度為 b圖3-16，度為，試求應(yīng)力分量?！窘獯稹?假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因?yàn)樯?，；邊界上，所以可以假設(shè)在區(qū)域內(nèi)為2推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推求的形式3由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代入，得要使上式在任意的 x 處都成立，必須代入即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已經(jīng)略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次項(xiàng)，得應(yīng)力 函數(shù)為：4由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將代入公式2-24 ，注意體力，求得應(yīng)力分量表達(dá)式5考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件由上式得到求解各系數(shù)，得(a)在次要邊界上，列出三個(gè)積

43、分的應(yīng)力邊界條件(b) 由式 (a) 、(b) 解出 將各系數(shù)代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得【3-16 】試分析簡(jiǎn)支梁受均布荷載時(shí)，平截面假設(shè)是否成立？【解答】 彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差異是由于各自的解法不同 簡(jiǎn)言之，彈性力學(xué)的解法是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和 物理方程。以及在邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答較精確。 而在材料力學(xué)的解法中，沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似的解 答。例如，材料力學(xué)引用了平面截面假設(shè)而簡(jiǎn)化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè) 對(duì)于一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格地說，平截面假設(shè)不成立?！?-17 】試證明剛體位移和實(shí)際上表示彈性體中原點(diǎn)的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)分 量

44、，并應(yīng)用§ 3-3 的解答加以驗(yàn)證(注：微分體的轉(zhuǎn)動(dòng)分量)【解答】 為了區(qū)分原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)分量與任意點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)分量，定義原點(diǎn) 的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為，任意點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為。由§ 3-3 可知，任意點(diǎn)處的平動(dòng)分量為：那么任意點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)分量為因此，原點(diǎn)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)分量，即 x=y=0 時(shí) 得證。第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答典型例題講解例 4-1 如下圖，矩形薄板在四邊受純剪切力作用，切應(yīng)力大小為 q 如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔， 試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。例 4-1 圖 【解】1根據(jù)材料力學(xué)公式，求極值應(yīng)力和量大正應(yīng)力的方位角 其中得。最大正應(yīng)力所在截面的方位角為假設(shè)在該純剪切的矩形薄板中，沿與板邊成方向截取矩形ABCD那么在其邊界上便承受集度為 q 的拉力和壓力，如下圖。這樣就把受純剪切作用 的板看作與一對(duì)邊受拉，另一對(duì)邊受壓的板等效。2取極坐標(biāo)系如圖。由得矩形薄板ABCD內(nèi)的應(yīng)力分量為其中為小孔的半徑，而孔邊最大與最小正應(yīng)力由式b,在處得到當(dāng)時(shí)，孔邊最小正應(yīng)力為， 當(dāng)時(shí)，孔邊最大