一元三次方程的求根公式及其推導(dǎo)

1、一元三次方程的求根公式及其推導(dǎo)(2).若 p 0,則方程 FZ(x)0 有一實(shí)根， F(x)有唯一零點(diǎn)F(x)0有唯實(shí)數(shù)根。若 p 0,則方程F(x)0 有兩實(shí)根，為rprpXix23V-o當(dāng) F()?F()81(81q2123、p )0 時(shí)，F(xiàn) (x)有唯一零點(diǎn)F(x)0有唯實(shí)數(shù)根。當(dāng) F()?F()812(81q12p )0 時(shí)，F(xiàn) (x)有兩個(gè)零點(diǎn)F(x)0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng) F()?F()81(81q212p )0 時(shí)，F(xiàn) (x)有三個(gè)零點(diǎn)F(x)0(1).若 p 0,則方程 F(x)0沒有實(shí)根,有唯一實(shí)數(shù)根。有三個(gè)實(shí)數(shù)根由于任一個(gè)一般的一元次方程 Ax3Bx2Cx D0 均可經(jīng)過移軸公

2、式化為 A(x )33A即(3Ax B)3(9AC23B2B2B3BC(C )(x) (2D) 03A3A27 A3A323AB )(3Ax B) (2B9ABC 27 A D )0,x3px q 0 的特殊形式，因此，只需研究此類方程即可1 .實(shí)數(shù)根的判定：設(shè) F(x) x3px q,則 F (x)0 即方程 x3px點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程x3px q 0 實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。F (x)有唯一零點(diǎn)F(x) 0為研究方便，不妨設(shè) p.q 不同時(shí)為 O(p.q 同時(shí)為 0 時(shí)方程很容易求解)，則當(dāng) p 0 時(shí),定有181(81q212p3) 令81q212p3，則有以下結(jié)論:81q212p30 時(shí)，方程 x3

3、pxq0 有唯一實(shí)數(shù)根。81q212p30 時(shí)，方程 x3pxq0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。81q212p30 時(shí)，方程 x3pxq0 有三個(gè)實(shí)數(shù)根。2求根公式的推導(dǎo):(1).實(shí)根式的推導(dǎo):元三次方程的求根公 式由演繹推理是很難解 出的，通常由歸納思維 得到。通過對(duì)元一次，一元二次以及特殊一元高次方程求根公式的歸納，我得到 了一元三次方程的求根公式應(yīng)為 x A B 的形式。其中，A，B 為兩個(gè)待定的代數(shù)式。下面的工作就是設(shè)法求出 A，B由于 x故 x3A B，(A B)3A3B33AB(AB)A3B33ABx，即有 x33ABx(A3B3)0。對(duì)比 x31px q0,可令3AB33p即ABp3A31B3

4、3p27。(A B)qA33A BqA3B3q易知，A3，B3為一元.次方程 aqa3p0 的兩根。3I若判別式 q24(P)1(81q212p3)0,27819q 81q212p318_:239q . 81q12p18A3a11 3108q12 81q212p36 ,B3a21 3108q 12 81q212p364x3108q 12 81q212p33108q 12 81q212 p36 6ai則有a2如果不考慮 A，B 順序，則有若判別式 q234(27)但卻又無法直接解出(811(81q2 12p3)0雖然我們清楚方程有二或三個(gè)實(shí)數(shù)根,等于零時(shí)只能解出一個(gè)，小于零時(shí)會(huì)出現(xiàn)虛數(shù))。故由以

5、上方法只能導(dǎo)出有一個(gè)實(shí)數(shù)根的方程的求根公式，為:當(dāng)方程有二或三實(shí)數(shù)根 時(shí)，我們需另辟一條求 根路徑。考慮到角函數(shù) 三倍角 公式與一元三次方程有 很大的相似性，故我們 可由角函數(shù)三倍角公式 作線性 變換，從而得到一元三 次方程的求根公式。研 究之初，我選擇的是余 弦三倍 角公式。余弦三倍角公式：cos34cos33cos ,若將 cos3 看作已知量，cos 看作未知量 x，則上述等式可化為方程 4x33x cos30。可令 X Ac，另設(shè)有非零實(shí)數(shù) B，使得 B 1,9qp 0上式成立的條件為9q ，解得 81q212p3也正是當(dāng)方程有二或三個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)上式成立。 因此，得到方程有二或 三個(gè)實(shí)數(shù)

6、根時(shí)的求根公 式:xi3p cos - arccos9q2k , k 0,1,2, i k 1BBB即 A?X3出？x q 。BBB對(duì)比 4x33x cos3 0,A34A 2 3pA3-3p可令 B令PA，得3 ，飛一或3B2邛B32 p3pB993則上述方程可化為型 g 1,不妨取第一組解（當(dāng)然，取第二組也未嘗不可），因此，Xarccos3 2kcos 1cos -39qarccos-2p、 3p2kx AX2 - 13p cos arccos339q2p. 3p2k,k 0,1,2由于 cos3 cos(3 2k )，故 x對(duì)于方程 x3px q 0,3 2kcos3arccos3 2k

7、cos3，(k 0,1,2)。2p、 3p則 cos30!332p、 3p作進(jìn)一步研究可知，2 卡丹公式的推導(dǎo): 由前面的論證可知，若 x33ABx (A3B3) 由韋達(dá)定理可知，0時(shí),X2X3。設(shè)方程的一根為0 的形式。XiA B，則方程可化為XiX2X3X1X2X2X3X3X1A33AB,將X13X1X2X3A BA B 代回上式,得:X2X2X3易知，X3(A B)。A AB Bx2， x3為方程 t2ABB20 的兩個(gè)根。判別式為 A B24 A故 t 亠上3A2AB B2即 x2t1X3t2AB 3i A B2AB .3i A B2，為 1 的虛立方根。上3i21, 3i221 3i

8、 BAB。2其中，將 A，B 的值代回，即可得卡丹A B1 36公式:Xi108q12、81q212p31 3108q 12.81q212 p36B 3, 108q1281q26 12p33108q 1281q212p36 B3108q12.81q212p363求根公式的推廣:由于對(duì)任一個(gè)一元三次方程 Ax3Bx2Cx33X33108q12 81q212p363Ax B 9AC 3AB 3Ax B 2B 9ABC 設(shè) t 3Ax B，p 9AC3AB，q 2B33ABC 方程一般式的判別式和 求根公式，結(jié)果如下：0 均可化為27A2D 0 的形式，故可27A2D,則可得到一元三次判別式：81A

9、4D254 A3BCD 12A3C312A2B3D 3A2B2C2,實(shí)數(shù)根求根公式：1 - i -Bx 3108A2D 36ABC 8B312 廠 3108A2D 36ABC 8B312.6A 6A3A0 寸，后記：對(duì)于一元三次方程的研究，先人們歷經(jīng)了漫長的探索之路。我對(duì)此類方程的研究，是源于角函數(shù)的求值問題（如已知3030角的角函數(shù)值，利用三倍角公式來反求 1010角的角函數(shù)值），大約開始于 20062006 年 1010 月 份。但最終的結(jié)果證明了這樣一個(gè)事實(shí)： 對(duì)于這樣一類整數(shù)角， 如果不 可以表示為a=3n=3n（n n為整數(shù)）的形式，是不可能用有限個(gè)代數(shù)式來表示 其角函數(shù)值的。這反而激起了我對(duì)一元三次方程求根公式的研究?？ǖす讲⒉皇怯煽ǖけ救税l(fā)現(xiàn)的，而是由他第一次發(fā)表在數(shù)學(xué)著 作大術(shù)上的，后人為了紀(jì)念他對(duì)這一成果的公布，稱之為卡丹公式。 上述實(shí)根式由本人發(fā)現(xiàn)，并第一次在此提出，希望廣大數(shù)學(xué)愛好者給予 點(diǎn)評(píng)。20092009 年 1111 月 2525 日Xi232 J127A D 9ABC 2BVB 3AC cos arccos- -3A36AC 2B3一 B23AC2k3A0,1,2, iX1 36A、108A2D3