淺談數(shù)理方程中線性邊界條件的分類

1、淺談數(shù)理方程中線性邊界條件的分類摘要： 數(shù)學(xué)物理方程中有定解離不開初始條件和邊界條件，其反映了具體問題所處的環(huán)境和背景。本文針對線性邊界條件的分類進(jìn)行歸納。關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)物理方程 線性邊界條件 分類一、 引言物理課程中所研究論述的物理規(guī)律是物理量在空間和時間中變化的規(guī)律。物理規(guī)律用數(shù)學(xué)表達(dá)是：物理量u 在各個地點(diǎn)和各個時刻所取值之間的聯(lián)系。通過這種聯(lián)系，我們就可以由邊界條件和初始條件推算出物理量在任意地點(diǎn)和任意時刻的u(x,y,z,t)。同時它也是解決問題的依據(jù)。為了解算具體問題，應(yīng)該考慮到所研究的區(qū)域所處的環(huán)境。邊界條件和初始條件就是反映具體問題所處的環(huán)境和背景。二、 線性邊界條件的分類物理

2、規(guī)律反映的是物理量在時間和空間上的聯(lián)系，與特定的周圍環(huán)境和歷史有關(guān)。物理中的聯(lián)系總是要通過中介，周圍環(huán)境的影響是通過邊界傳給其研究對象，所以，周圍環(huán)境的影響體現(xiàn)于邊界所處的物理狀況，即邊界條件。而不同的物理過程，因其具體的條件不同，結(jié)果也不一樣。下面，將對線性邊界條件進(jìn)行簡單的歸納。1、第一類邊界條件這類邊界條件直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值。，又稱狄利克雷邊界條件。首先以弦振動為例：取一根長為L的弦，把它的兩端和固定起來，然后讓它振動。邊界條件和既然是固定的，那位移U當(dāng)然始終為零。對于細(xì)桿導(dǎo)熱問題，如果桿的某一端點(diǎn)x=a的溫度U按已知的規(guī)律f (t)變化，則該點(diǎn)的邊界條件是：特別是如

3、果該端點(diǎn)恒溫u0 ,則邊界條件成為再如，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝的“恒定表面濃度擴(kuò)散”中，硅片周圍環(huán)境是攜帶著充足雜質(zhì)的氮?dú)?，雜質(zhì)通過硅片表面向內(nèi)部擴(kuò)散，而硅片表面的雜質(zhì)濃度保持一定。硅片的邊界就是它的表面和，邊界上的物理則是雜質(zhì)濃度U保持為常數(shù)N0，例1：設(shè)有一半徑為a高為h的圓柱體，其底面和側(cè)面保持恒溫u0,而頂端溫度按已知規(guī)律變化，試寫出其導(dǎo)熱問題的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為，則其邊界條件為例2:考慮長為L的均勻桿的導(dǎo)熱問題若（1）桿的兩端溫度保持零度 （2）桿的兩端均絕熱 （3）桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；試寫出該導(dǎo)熱問題在以上三種情況下的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為，則（1）（2）因?yàn)楫?dāng)沿桿

4、長方向有熱量流動時，有其中，q為熱流強(qiáng)度，而桿的兩端絕熱，就意味著桿的兩端與外界沒有熱交換，亦即沒有熱量的流動（q=0）故有（3），此時有2 第二類邊界條件這類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上的導(dǎo)數(shù)的值又稱諾伊曼（Neumamm）邊界條件。例如作縱振動的桿的某個端點(diǎn)x=a受有沿端點(diǎn)外法線方向的外力f(t)，根據(jù)胡克定律，該端點(diǎn)的張應(yīng)力與外力的關(guān)系為 其中S為桿的橫截面積。如該端點(diǎn)是自由的，f(t)=0,則。當(dāng)f(t)0時，對x=L端點(diǎn)，對x=0端點(diǎn)，。 又如細(xì)桿導(dǎo)熱問題，若桿的某個端點(diǎn)x=a有熱流f(t)沿該端點(diǎn)外法線方向流出，則根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，邊界條件為；如熱流f(t)是流入，

5、則邊界條件為。如果端點(diǎn)絕熱。則。該端點(diǎn)的熱流強(qiáng)度為零，而沿x方向的熱流強(qiáng)度等于熱傳導(dǎo)系數(shù) K溫度UX的乘積變號因此：再如，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝的“限定源擴(kuò)散”中沒有外來的雜質(zhì)通過硅片表面進(jìn)入硅片，只是硅片表層已有的雜質(zhì)向硅片深部擴(kuò)散。從“限度源”這個條件并不能推斷在硅片表面的濃度u 的值。但是，限定源意味著通過硅片表面x=0和x=L的擴(kuò)散流強(qiáng)度為零，而沿x方向的擴(kuò)散流強(qiáng)度對于擴(kuò)散系數(shù)D與濃度梯度的乘積變號，因此 。例3:分別寫出以下關(guān)于桿的縱振動問題的定解條件。（1） 均勻細(xì)桿長為L，在x=0端固定，而在另一端受著一個沿桿長方向的力Q，如果在開始一瞬間，突然停止這個力的作用，求桿的縱向振動

6、。（2） 長為L而固定于x=0一端的均勻細(xì)桿，處于靜止?fàn)顟B(tài)中，在x=0時，一個沿著桿長方向的力Q加在桿的另一端上，求在t>0時桿上各點(diǎn)的位移。解： 設(shè)桿作縱振動的位移u(x,t)，則（1） 其邊界條件為 因?yàn)樵趚=L端雖然受到一個力Q，但這個力在開始的一瞬間已停止，所以對于整個振動過程而言x=L端并不受力，力Q只是引起了初始位移。設(shè)桿的橫截面積為S，則又Hooke定律有所以 顯然 （2） 其邊界條件為 因?yàn)榱自t=0時作用在x=L端后，就沒有停止和撤消過。故Q導(dǎo)致的是邊界條件而不是初始條件。由于開始時桿是處于靜止?fàn)顟B(tài)中所以初始條件為 3、第三類邊界條件 這類邊界條件規(guī)定了所研究的物理量

7、及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。 例如，細(xì)桿導(dǎo)熱問題，如果桿的某一端點(diǎn)x=a自由冷卻，即桿端和周圍介質(zhì)按照牛頓冷卻交換熱量，從“自由冷卻”這個條件既不能推斷在該端點(diǎn)的溫度u的值，也不能推斷在該端點(diǎn)的溫度梯度的值。但是，自由冷卻規(guī)定了從桿端流出的熱流強(qiáng)度與溫度差之間的關(guān)系 即 。對于兩端x=0和x=L都是自由冷卻的桿，在x=L的一端，外法向n就是x方向，所以自由冷卻條件可表為 ；在x=0的一端，外法向n是一x方向，所以自由冷卻條件可表為 。值得注意的是，如果桿端跟在周圍介質(zhì)的熱傳導(dǎo)交換系數(shù)h遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)k，則，上述邊界條件就退化為第一類邊界條件 和。例4 導(dǎo)出長為L的桿的縱向振

8、動問題下列情況下的邊界條件：一端固定，另一端為彈性連接（即通過某彈性體而連接與定點(diǎn)）解： 設(shè)桿的x=0端固定，另一端為彈性連接，而該特性體的倔強(qiáng)系數(shù)為K。顯然對于x=L端，可以直接利用 注意到為彈性力，所以有 其中>0。以上邊界條件都是線性的，有些邊界條件甚至是非線性的。例如，在熱傳導(dǎo)問題中，如果物體表面按斯蒂芬定律向周圍輻射熱量，那就是出現(xiàn)非線性邊界條件。對于非線性邊界條件，就不加以說明了。三、 結(jié)束語 邊界條件在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。對于旋轉(zhuǎn)對稱的三維問題，只要給出體系的邊界條件，我們就可以求解常微分方程。在導(dǎo)體靜電學(xué)中也用到了邊界條件來解體。在重力場粒子的運(yùn)動的研究中就，邊界條件更是發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。參考文獻(xiàn)1. 姚端正 數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)（M） 北京科學(xué)出版社 20012. 谷超豪等 數(shù)學(xué)物理方程（M） 高等教育出版社 20023. 胡嗣柱 徐建軍 數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)（M） 高等教育出版社 19974. 梁昆淼 數(shù)學(xué)物理方法(M) 人民教育出版社 19795.