第十章二重積分ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念及性質(zhì)二重積分的概念及性質(zhì)一、引例一、引例二、二重積分的定義二、二重積分的定義三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)引例1 曲頂柱體的體積. 若有一個(gè)柱體，它的底是Oxy平面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線，且母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，設(shè)f(x,y)0為D上的連續(xù)函數(shù).我們稱這個(gè)柱體為曲頂柱體.現(xiàn)在來求這個(gè)曲頂柱體的體積.解 也分三步解決這個(gè)問題.分割 區(qū)域D用兩組曲線任意分割成n個(gè)小塊:,21n其中任意兩小塊 和 除邊界外無公共點(diǎn).其中 既表示第i個(gè)小塊，也表示第i個(gè)小塊的面積.)( jijii近似、求和 記 為 的直徑(即 表

2、示 中任意兩點(diǎn)間距離的最大值)，在 中任取一點(diǎn) ,以 為高而底為 的平頂柱體體積為ii iii ),(ii),(iifi.),(iiif此為小曲頂柱體體積的近似值，故曲頂柱體的近似值可以取為.),(1niiiif取極限 若記 ，則定義,max21nniiiif10),(lim為所討論的曲頂柱體的體積. 一、引例解 分三步解決這個(gè)問題.引例2質(zhì)量問題.已知平面薄板D的面密度(即單位面積的質(zhì)量) 隨點(diǎn)(x,y)的變化而連續(xù)變化,求D的質(zhì)量.),(yx分割 將D用兩組曲線任意分割成n個(gè)小塊:,21n其中任意兩小塊 和 除邊界外無公共點(diǎn).與一元函數(shù)的情況類似，我們用符號 既表示第i個(gè)小塊，也表示第i個(gè)

3、小塊的面.(i=1,2,n).)( jijii故所要求的質(zhì)量m的近似值為.),(1iniiim近似、求和 若記 為 的直徑(即 表示 中任意兩點(diǎn)間距離的最大值)，將任意一點(diǎn) 處的密度 近似看作為整個(gè)小塊 的面密度.得iiiiii),(i),(ii.),(iiiimi取極限 記 ，則定義,max1n(1) ),(lim10niiii為所求薄板D的質(zhì)量m. 二、二重積分的定義定義1 設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義且有界.分割 用任意兩組曲線分割D成n個(gè)小塊 其中任意兩小塊 和 除邊界外無公共點(diǎn)， 既表示第i小塊，也表示第i小塊的面積.ii，n,21近似、求和 對任意點(diǎn) ，作和式iii),(.),

4、(1niiiif)(jij取極限 假設(shè) 為 的直徑，記 ,若極限,max21nniiiif10),(limii存在，且它不依賴于區(qū)域D的分法，也不依賴于點(diǎn) 的取法，稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分.記為),(ii. ),(limd),(10niiiDiiff(2)稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域，x，y為積分變元， 為面積微元(或面積元素).d 由這個(gè)定義可知，質(zhì)量非均勻分布的薄板D的質(zhì)量等于其面密度 在D上的二重積分.因此二重積分 的物理意義可以解釋為：二重積分的值等于面密度為f(x,y)的平面薄板D的質(zhì)量.),(yxDyxfd),(二重積分 的幾何意義：Dyxfd),( (1)

5、 若在D上f(x,y)0，那么 表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.Dyxfd),(2) 若在D上f(x,y)0，則上述曲頂柱體在Oxy面的下 方，二重積分 的值是負(fù)的，其絕對值 為該曲頂柱體的體積.Dyxfd),(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些 子區(qū)域上為負(fù)的，那么 表示在這些子區(qū)域 上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上的曲頂 柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).Dyxfd),(二重積分的存在定理 若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積). 三、二重積分的性質(zhì) 二重積分

6、有與定積分類似的性質(zhì).假設(shè)下面各性質(zhì)中所涉及的函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域 D上都是可積的. 性質(zhì)1 有限個(gè)可積函數(shù)的代數(shù)和必定可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即.d),(d),(d),(),(DDDyxgyxfyxgyxf性質(zhì)2 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即).( d),(d),(為常數(shù)kyxfkyxkfDD.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf 性質(zhì)3 若D可以分為兩個(gè)區(qū)域D1，D2，它們除邊界外無公共點(diǎn)，那么).(dDSD性質(zhì)4 若在積分區(qū)域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示區(qū)域D的面積，那么性質(zhì)5 若在D上處處有f(x,y)g

7、(x,y)，則有.d),(d),(DDyxgyxf推論.d),(d),(DDyxfyxf性質(zhì)6(估值定理) 若在D上處處有mf(x,y)M，且S(D)為區(qū)域D的面積，那么).(d),()(DMSyxfDmSD(3) 性質(zhì)7(二重積分中值定理) 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上存在一點(diǎn) ，使),().(),(d),(DSfyxfD(4)證 由f(x,y)在D上連續(xù)知，f(x,y)在D上能達(dá)到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有MyxfDSmDd),()(1成立.再由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在 ，使D),(.d),()(1),(DyxfDSf(5),(f (5)

8、式的等號右邊的式子稱為函數(shù)f(x,y)在D上平均值.因而，積分中值定理又可以這樣說：“對有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)f(x,y)，必在D上存在一個(gè)點(diǎn) 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故積分中值定理也是連續(xù)函數(shù)的平均值定理.),(例1 設(shè)D是圓域： ，證明4122yx.e3dee3422Dyx解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面積S(D)=4=3.由估值公 式(3)得22e),(yxyxf.e3dee3422Dyx第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算

9、一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分的計(jì)算主要是化為兩次定積分計(jì)算，簡稱為化為二次積分或累次積分.下面從二重積分的幾何意義來引出這種計(jì)算方法. 在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩組直線段，將區(qū)域D分割成n個(gè)小塊 從而有,21n.dd),(d),(DDyxyxfyxf由定積分的幾何應(yīng)用：設(shè)一立體滿足 ，bxa在區(qū)間a,b上任取一點(diǎn)x，過該點(diǎn)作垂直于x軸的平面與所給立體相截，若截面面積為S(x)，則所給立體體積.d)(baxxSV 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線與平行于y軸的直線至多有兩個(gè)交點(diǎn).區(qū)域D可以用不等式表示為. )()(21bxaxyyxy(1) 在a,b上取定一點(diǎn)x，過該點(diǎn)作垂直于x軸

10、的平面截曲頂柱體，截面為一曲邊梯形.將這曲邊梯形投影到Oyz坐標(biāo)面，它是區(qū)間y1 (x),y2 (x)上，以z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形(將x認(rèn)定為不變)，因此這個(gè)截面的面積可以由對變元y的定積分來表示.d),()()()(21xyxyyyxfxS.dd),(d)(dd),()()(21 baxyxybaDxyyxfxxSyxyxf故曲頂柱體的體積，也就是二重積分為(2)將二重積分化成了先對y積分，后對x積分的二次積分.為了簡便常記為.d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 需要指出，計(jì)算 時(shí)，應(yīng)將x視為常量，按定積分的計(jì)算方法解之.)()(21d),(xyxy

11、yyxf. )()(21dycyxxyx 同樣，設(shè)區(qū)域D的邊界曲線與平行于x軸的直線至多有兩個(gè)交點(diǎn).區(qū)域D可以用不等式表示為(3)，)()(21d),()(yxyxxyxfyS 在c,d上取定一點(diǎn)y，過該點(diǎn)作垂直于y軸的平面截曲頂柱體，所得截面也為一曲邊梯形.若截面面積為S(y)，那么.d)(dcyySV所給立體體積.d),(d dd ),( d)(dd),()()()()(2121 yxyxdcdcyxyxdcDxyxfyyxyxfyySyxyxf因而(4)即化成先對變元x積分，后對變元y積分的二次積分. 先對x積分時(shí)， 中的y應(yīng)視為常量，按定積分的計(jì)算方法解之.)()(21d),(yxyx

12、xyxf 在上述討論中，我們假定f(x,y)0，但是實(shí)際上，上述結(jié)論并不受此限制. 如果積分區(qū)域D的邊界曲線與平行于坐標(biāo)軸的直線相交，其交點(diǎn)多于兩個(gè)，則先將區(qū)域D劃分為幾個(gè)子區(qū)域，其中每個(gè)子區(qū)域的邊界曲線與平行于坐標(biāo)軸的直線相交時(shí)，交點(diǎn)不多于兩個(gè)，用前述方法及重積分的可加性可求區(qū)域D上的二重積分. 為了便于確定積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式，通?？梢圆捎孟率霾襟E：(1) 畫出積分區(qū)域D的圖形.(2) 若先對y積分，且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，那么確定關(guān)于y積分限的方法是： 作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，所作出的直線與區(qū)域D先相交的邊界曲線y=y1(x)，稱之為入口曲線，作為

13、積分下限.該直線離開區(qū)域D的邊界線y=y2(x),稱之為出口曲線，作為積分上限. 而后對x積分時(shí)，其積分區(qū)間為區(qū)域D在Ox軸上投影區(qū)間a,b，a是下限，b是上限，即.d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 如果所作出的平行于y軸的直線與區(qū)域D相交時(shí)，在不同的范圍內(nèi)，入口曲線或出口曲線不同，則應(yīng)該將積分區(qū)域D分為幾個(gè)部分，在每個(gè)部分區(qū)域上，所作出的直線與區(qū)域D的入口曲線與出口曲線唯一確定.例1 用二重積分計(jì)算由平面2x+3y+z=6和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積.例2 計(jì)算積分 ，其中D是正方形區(qū)域：Dyxxydd2. 10 , 21yx例3 計(jì)算積分 ，其中D是

14、由y=x，y=0和 所圍成的三角形區(qū)域.Dyxyxddcossin2x 例4 計(jì)算積分 ，其中D由 y0確定.Dyxydd, 122 yx例5 計(jì)算積分 ，其中D是由不等式： 所確定的長方形區(qū)域.Dyxxyxydd)cos(220 ,20yx例6 計(jì)算積分 ，其中區(qū)域D由直線y=x，y=0與x=1圍成的區(qū)域.Dyxxxddsin例7 計(jì)算二次積分.dsind010yxxxy例8 交換二次積分 的積分次序.2120010),(d),(dyydxyxfdyxyxfyIxxyyxfxyyxfxI2021010d),(dd),(d2例9 交換二次積分的積分次序.例1 用二重積分計(jì)算由平面2x+3y+z

15、=6和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積.解 即求以z=62x3y為頂，以ABC圍成區(qū)域D為底的柱體體積.也就是計(jì)算二重積分.d)326(Dyx解法1 先對y積分.)31 (2030d)326(dd)326(xDyyxxyx作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，入口曲線為y=0，作為積分下限.出口曲線為 ，作為積分上限.312xy30)31 (202d23)26(xyyxx3022d3163112xxx. 6d316302xx解法2 也可先對x積分，作平行于x軸的直線與區(qū)域D 相交，沿x軸正向看，入口曲線為x=0，作為積 分下限，出口曲線為 ，作為積分上 限.積分區(qū)域D在y軸上投影區(qū)間為0,2，213

16、yx)21 (3020d)326(dd)326(yDxyxyyxyyxxxyd36)21(3 0 202，6d)41 (920yyy這個(gè)結(jié)果與我們熟知的四面體的體積是一致的.6632213131高底V例2 計(jì)算積分 ，其中D是正方形區(qū)域：Dyxxydd2. 10 , 21yx解 像這樣的正方形區(qū)域可以不必畫，即得102212ddddyxyxyxxyD.41d21212xx211022d21xyx例3 計(jì)算積分 ，其中D是由y=x，y=0和 所圍成的三角形區(qū)域.Dyxyxddcossin2x解法1 先對y積分. 作平行于y軸的直線與積分 區(qū)域D相交，沿著y的正方向看，入口曲線為y=0，出口曲線為

17、y=x，D在x 軸上的投影區(qū)間為 .2, 0 xDyyxxyxyx020dcossindddcossin.4dsindsinsin202200 xxyyxx解法2 先對x積分. 作平行于x軸的直線與積分區(qū)域D相交，沿x軸的正方向看，入口曲線為x=y，出口曲線為 .D在y軸上的投影區(qū)間為 .故2, 02xxDxyxyyxyx020dcossindddcossin.4dcosdcoscos202202yyyxyy 例4 計(jì)算積分 ，其中D由 y0確定.Dyxydd, 122 yx解法1 先對y積分， 作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿著y軸正方向看，入口曲線y=0；出口曲線為 ，因而21xy.10

18、2xy21011ddddxDyyxyxy.32d)1 (21112xx11102d212xyx 解法2 先對x積分. 作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交，沿著y軸正方向看，入口曲線為 ，出口曲線為 ，因而21yx21yx2211yxyyyxxyyyxyyyyyDddddd222211101110.32)1 (32d1210232102yyyy 比較兩種解法可知，解法1比解法2簡便些.說明將二重積分化為二次積分時(shí)，應(yīng)注意選擇積分次序.例5 計(jì)算積分 ，其中D是由不等式： 所確定的長方形區(qū)域.Dyxxyxydd)cos(220 ,20yx解 這題可以不必畫積區(qū)域.分析被積函數(shù)可知，如先對x積分，需用分

19、部積分法. 如先對y積分則不必，計(jì)算會簡單些.因而，我們選擇先對y積分，即202202d)cos(ddd)cos(yxyxyxyxxyxyD20202d)sin(21xxy201sin4 d0.2x x例7 計(jì)算積分 ，其中區(qū)域D由直線y=x，y=0與x=1圍成的區(qū)域.Dyxxxddsin 解 由不定積分可知 不能用初等函數(shù)表示出來，因而，所給積分不能化為先對x積分后對y積分的積分次序.xxxdsin 欲化為先對y積分后對x積分的二次積分.作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為y=0，出口曲線為y=x，因而.0 xy 將積分區(qū)域D投影到x軸上，投影區(qū)間為0,1.故xDyxx

20、xyxxx010dsindddsin. 1cos1dsin10 xx100dsinxyxxx例8 計(jì)算二次積分.dsind110yxxxy解 由不定積分可知 其被積函數(shù) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此依題中所給積分次序不能計(jì)算出此二重積分.對此類問題?？紤]采用交換積分次序的方法來解決.其一般步驟為：xxxdsinxxsin(1) 先依給定的二次積分限，定出積分區(qū)域D的范圍，并依此作出D的圖形. (2) 再依區(qū)域D的圖形，依前述確定積分限的方法，確定出另一種積分次序的積分限.例8 計(jì)算二次積分.dsind110yxxxy由給定的積分限可知積分區(qū)域D的范圍為).( 1),( 10內(nèi)層積分限所確定

21、外層積分限所確定xyy 依上述不等式組可作出區(qū)域D的圖形，再化為先對y積分后對x積分的二次積分.xyyxxxxxxy010110dsinddsind例8通常又稱為交換二重積分次序問題. 1cos1例9 交換二次積分 的符號分次序.2120010d),(dyydxdyxyxfyI解 所給積分由兩部分組成，設(shè)它們的積分區(qū)域分別為D1與D2.先依給定的積分限將積分區(qū)域Di用不等式表示：.20, 21: ,0, 10:21yxyDyxyD 如果轉(zhuǎn)換為先對y積分，后對x積分，只需作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿y軸正方向看，入口曲線為y=x，出口曲線為y=2x，因而在D中 ，xyx210 x.d),(

22、d210 xxyyxfxIxxyyxfxyyxfxI2021010d),(dd),(d2例10 交換二次積分的積分次序.解 所給積分由兩部分組成，設(shè)它們的積分區(qū)域分別為D1與D2.20, 21: ,0, 10:221xyxDxyxD12xxy而 的解為(1,1),12xxy如果換為先對x積分，后對y積分，作平行于x軸的直線與D相交，沿x軸正方向看，入口曲線線 ，出口曲線為x=2y，因而 .在區(qū)域D中 ,于是yx 10 yyxy2.d),(d210yyxyxfyI由于 的解為(1,1)， 二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算 若點(diǎn)M在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(x,y)，在極坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 ，則有如下關(guān)系：),

23、(r.sin,cosryrx 在極坐標(biāo)系中，我們用r=常數(shù)和 =常數(shù)來分割區(qū)域D.設(shè) 是由半徑為r和 的兩個(gè)圓弧與極角等于 和 的兩條射線所圍成的小區(qū)域.這個(gè)小區(qū)域近似地看作是邊長為 和 的小矩形，所以它的面積rrrr ，rr因而，在極坐標(biāo)系中.dddrr于是得到二重積分在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為,dd)sin,cos(d),(DDrrrrfyxf這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式.也可以寫成.dd)sin,cos(dd),(DDrrrrfyxyxf(6) 公式(6)區(qū)域D左端的邊界的曲線方程應(yīng)利用直角坐標(biāo)表示，右端的邊界曲線方程應(yīng)用極坐標(biāo)表示.現(xiàn)在分三種情形討論：(1)若極點(diǎn)在

24、區(qū)域D之外. 為了確定的變化范圍，過原點(diǎn)作兩射線：=和=，使D恰好被夾在 此二射線之間，且. 那么，便知取值范圍是 ；再確定r的取值范圍.則D可以記為),()(,21rrr從而有.d)sin,cos(ddd)sin,cos()()(21rrDrrrrfrrrrf (2) 極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界線上，D的邊界曲線為 , 又設(shè)射線 剛好夾住區(qū)域D，且 , 則D可以表記為)(rr 與).(0 rr ，.d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0rDrrrrfrrrrf則有(3) 若極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，D的邊界曲線為 .則D可以記為)(rr ).(0 , 20rr .d)sin,cos(d dd)

25、sin,cos()(020rDrrrrfrrrrf則有 如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被積函數(shù)f(x2+y2)形式，利用極坐標(biāo)常能簡化計(jì)算.通常出現(xiàn)下面兩類問題：1.將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分，需依下列步驟進(jìn)行：(1) 將 代入被積函數(shù).sin,cosryrx(2) 將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限.(3) 將面積元dxdy換為 .ddrr2.將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的二重積分步驟與1相似，只需依反方向進(jìn)行.例11 計(jì)算二重積分 區(qū)域D為由x2+y2=2y及x=0圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.，Dyxyxdd22解 區(qū)域

26、D為第一象限內(nèi)的圓心為(0,1)，半徑為1的右半圓，極點(diǎn)在D的邊界線上. D的邊界曲線為x2+y2=2y，用 代換，可得極坐標(biāo)表達(dá)式 .此時(shí)D可以表示為sin,cosryrxsin2r，sin20 ,20rsin202022ddddrrryxyxD20320sin203dsin38d31r.916coscos3138203202cosd)cos1 (38例12 計(jì)算二重積分Dyxxyyxdd)(22其中D為. 122 yx解 區(qū)域D為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓內(nèi)區(qū)域，即極點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi).區(qū)域D的邊界曲線為 ，將 代換，得極坐標(biāo)系下的表達(dá)式r=1.因此D可以表示為122 yx,cosrx sinry

27、 . 10 , 20r1022022d)sincos(ddd)(rrrryxxyyxD20201043dsincos4131dsincos4131rr.32sin8131202例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域.Dyxyxdd)1 (22區(qū)域D可以表示為. 10 ,40r將區(qū)域D的邊界曲線x2+y2=1化為極坐標(biāo)下表達(dá)式r=1.解1024022d)1 (ddd)1 (rrryxyxD201042d4121rr.16d4140例14 計(jì)算二重積分 ，其中D是單位圓域：Dyxyxdd)1ln(22. 122 yx解 原點(diǎn)在D內(nèi)部，D表示為：. 10 , 20

28、rDyxyxdd)1ln(22102202d)1ln(ddd)1ln(rrrrrrD).12ln2(d211)1ln()1 (10221022rrrrrr1022)d(1)1ln(rr例15 計(jì)算積分.ddsin2222422yxyxyx解 積分域是圓環(huán)，D可以表示為： .2,20r220422dsindddsin2222rrryxyxyx.6dcoscos2222rrrr例16 用極坐標(biāo)計(jì)算例4中的二重積分.積分區(qū)域同例4中的D.解 顯然D可以表示為：有 故, 10, 0r而1020d sindddrryxyD.32d sin3100103d sin3 r例17 計(jì)算二重積分 ，其中D是由不

29、等式 所確定的區(qū)域.Dyxxdd22xxyx解 積分區(qū)域D由y=x和x2+y2=2x所圍的弓形區(qū) 域 . 半圓的極坐標(biāo)方程是 ，故 24cos2rcos20 r2 4 cos2 0 2dcosdddrryxxD.dcos382 4 4 2 d22cos1cos2181ttt.83321ddDyxx 2 2d)cos1 (81tt2 4 22 4 4d)2cos1 (41 dcos 而,8332124381例18 計(jì)算積分 ，其中D是由不等式 所確定的區(qū)域.Dyd0, 0222xyxyx及, 422 yx解 極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界曲線上，但是過極點(diǎn)引出的射線與區(qū)域D的邊界曲線有三個(gè)交點(diǎn). 過極點(diǎn)O引

30、射線與積分區(qū)域D相交，沿射線方向看，入口曲線為 在極坐標(biāo)中其方程為 ；出口曲線為 ，方程為r=2.因而 ,222xyxcos2r422 yx，2cos2 r,20又202cos22dsinddrryD. 2 d)cos1 (sin38203例19 設(shè)f(x)為區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意 ，總有),(bax.d)(d)(dbaxabaxxbxfyyfx解 將二重積分交換積分次序,由于f(y)為抽象函數(shù)，因而 不能積出來，需考慮交換積分次序.由于區(qū)域D可以表示為xayyfd)(,xyabxa 作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交，沿x軸正方向看，入口曲線為x=y，出口曲線為x=b.因而 區(qū)域D上有 .可得知. bxybxybybaxabaxyfyyyfxd)(dd)(dbababyyybyfyxyfd)(d)(故原命題成立.,d)(baxxbxf第三節(jié)第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用一、求平面圖形的面積一、求平面圖形的面積二、求空間立體的體積二、求空間立體的體積三、求平面薄片的質(zhì)量三、求平面薄片的質(zhì)量由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面z=f(x,y)為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.dd),(DyxyxfV特別當(dāng)