根軌跡法課程設(shè)計(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、根軌跡法簡介1948年，W.R.Evans提出了一種求特征根的簡單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用。這一方法不直接求解特征方程，用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系，當(dāng)這一參數(shù)取特定值時，對應(yīng)的特征根可在上述關(guān)系圖中找到。這種方法叫根軌跡法。根軌跡法具有直觀的特點，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性，還可分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。在設(shè)計線性控制系統(tǒng)時，可以根據(jù)對系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析與綜合。 利用根軌跡分析和設(shè)計的圖解方法。特

2、征方程的根隨某個參數(shù)由零變到無窮大時在復(fù)數(shù)平面上形成的軌跡，稱為根軌跡。在控制系統(tǒng)的分析中，對特征方程根的分布的研究，具有重要的意義。當(dāng)特征方程的次數(shù)不高于2時,其根可用解析方法來簡單地定出；但當(dāng)特征方程的次數(shù)高于 2時，求根過程將變得相當(dāng)復(fù)雜。美國學(xué)者W.R.埃文斯在1948年提出的根軌跡方法 ，為簡化特征方程的求根過程提供了一種有效的手段。在把根軌跡技術(shù)應(yīng)用于控制系統(tǒng)的分析時，常取系統(tǒng)的開環(huán)增益為可變參數(shù),據(jù)此作出的根軌跡,表示閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點在不同開環(huán)增益值下的分布?？刂葡到y(tǒng)的極點在復(fù)數(shù)平面上的位置與系統(tǒng)的和性能有密切的關(guān)系。根軌跡的建立，為分析控制系統(tǒng)在不同開環(huán)增益值時的行為提供了方

3、便的途徑。對于設(shè)計控制系統(tǒng)的校正裝置，根軌跡法也是基本方法之一。根軌跡法和頻率響應(yīng)法被認(rèn)為是構(gòu)成的兩大支柱。 對于圖1中的控制系統(tǒng),用G(s)和H(s)分別表示系統(tǒng)前饋通道和反饋通道中部件的傳遞函數(shù)，并且當(dāng)s=0時它們的值均為1,而K表示系統(tǒng)的開環(huán)增益，則控制系統(tǒng)的根軌跡條件可表示為： 相角條件：開環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)H(s)的相角值 KG(s)H(s)±1800(2k+1)(k0,1,2,) 幅值條件：開環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)H(s)的模KG(s)H(s)1 系統(tǒng)的根軌跡，就是當(dāng)開環(huán)增益K由零變化到無窮大時，由滿足相角條件和幅值條件的 s值在復(fù)數(shù)平面上所構(gòu)成的一組軌跡。 圖-1 控制

4、系統(tǒng)根軌跡的精確化在有些情況下，有必要對按基本規(guī)則畫出的根軌跡的粗略形狀，特別是位于虛軸附近的部分，進(jìn)行修正，使之精確化。實現(xiàn)精確化的一條比較簡便的途徑，是采用一種由埃文斯設(shè)計的所謂對數(shù)螺旋尺的專用工具。 根軌跡的計算機(jī)輔助制圖70年代以來，隨著電子計算機(jī)的普及，利用計算機(jī)對根軌跡的輔助制圖的算法和程序都已建立，這大大減輕了系統(tǒng)分析和設(shè)計人員的繁重工作。 根軌跡的應(yīng)用根軌跡的應(yīng)用主要有三個方面。 1、用于分析開環(huán)增益(或其他參數(shù))值變化對系統(tǒng)行為的影響：在控制系統(tǒng)的極點中，離虛軸最近的一對孤立的共軛復(fù)數(shù)極點對系統(tǒng)的過渡過程行為具有主要影響，稱為主導(dǎo)極點對。在根軌跡上，很容易看出開環(huán)增益不同取值

5、時主導(dǎo)極點位置的變化情況，由此可估計出對系統(tǒng)行為的影響。 2、用于分析附加環(huán)節(jié)對控制系統(tǒng)性能的影響：為了某種目的常需要在控制系統(tǒng)中引入附加環(huán)節(jié)，這就相當(dāng)于引入新的開環(huán)極點和開環(huán)零點。通過根軌跡便可估計出引入的附加環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響。 3、用于設(shè)計控制系統(tǒng)的校正裝置：校正裝置是為了改善控制系統(tǒng)性能而引入系統(tǒng)的附加環(huán)節(jié)，利用根軌跡可確定它的類型和參數(shù)設(shè)計。2、林士諤趙訪熊法（劈因子法）由于解二次方程是容易的，因此在求實系數(shù)代數(shù)方程f(x)=xn+a1xn1+L +an1x+an=0的復(fù)根時，如果找出f(x)的一個二次因子，就等于找到方程的一對復(fù)根.    

6、    設(shè)f(x)的一個近似二次因子（任意選取）為w(x)=x2+px+q可用下述方法使它精確化：（1）用w(x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即f(x)= w(x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn2+b1xn3+L +bn3x+bn2)+(r1 x +r2)式中商式與余式的系數(shù)可用下面的遞推公式算出：bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2,L ,nb-1=0,   b0=1r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3r2=bn+pbn-1=an-qbn-2（2）用w(x)去除xQ(x)得到余式R1(x

7、)=R11xR21式中R11,R21，由下面的遞推公式算出：ck=bn-pck-1-qck-2, k=1,2,L ,n-3c-1=0,   c0=1R11=bn-2-pcn-3-qcn-4R21=-qcn-3（3）用w(x)去除Q(x)得到余式R2(x)=R12xR22式中R12,R22，由下面的公式算出：R12=bn-3-pcn-4-qcn-5R21=bn-2-qcn-4（4）解二元一次線性方程組得到u,.（5）修正后的二次式為w 1(x)=x2+(p+u)x+(q+)如果它還不夠精確，再重復(fù)（1）至（5）的步驟進(jìn)行修正，直到足夠精確為止.  

8、0;    林士諤趙訪熊法求實系數(shù)代數(shù)方程的復(fù)根，其優(yōu)點是避免了復(fù)數(shù)運算，缺點是程序比較復(fù)雜.3、根軌跡的在系統(tǒng)性能分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性都與特征方程的根（即閉環(huán)極點）在s平面上的分布有密切關(guān)系。時域分析中，依靠求解輸入輸出微分方程或狀態(tài)方程，只能確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點的具體分布。若要研究參數(shù)變化對控制系統(tǒng)性能的影響，特別是某些參數(shù)連續(xù)變化對系統(tǒng)性能的影響，依靠求解特征方程的方法來確定閉環(huán)極點的位置隨參數(shù)變化的情況，計算量很大，有時甚至是不可能的?，F(xiàn)在，我們則可以通過一種簡便的圖解方法，很方便地給出特征方程的根隨參數(shù)變化在s平面上分布位置變化的情況。我們先看

9、下面的例子。例1：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)K從零到無窮大變化時，系統(tǒng)的特征根在s平面上分布情況：系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點 ， 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根可見特征根在s平面的位置與K有關(guān)。K>0時，和都成為共軛復(fù)數(shù)。具有相同的負(fù)實部，且為常數(shù)，而虛部則隨K的增加其絕對值也增加。圖-2給出了系統(tǒng)的特征根在K從零變化到無窮大時，相應(yīng)位置的變化情況。這種放大系數(shù)K從零到無窮大變化時，特征方程的根在s平面上相應(yīng)變化的軌跡，稱為根軌跡。根軌跡完整地反映了特征根隨參數(shù)變化的情況。根據(jù)圖1的根軌跡圖，我們可以知道，不論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。因為全部根軌跡都分

10、布在s平面左半邊。圖2和圖3分別為描點圖像和實際圖像。圖2 例1描點圖圖3 例1實際圖自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點唯一確定；其動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點在S平面上的分布有關(guān)。 因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點和零點在S平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零極點的分布確定閉環(huán)零極點的分布，是對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先解決的問題。根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零極點分布的基礎(chǔ)上，研究某一個和某些參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過一些簡單的作圖和計算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對系

11、統(tǒng)閉環(huán)極點的影響趨勢。這對分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。  例2：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并進(jìn)行結(jié)果分析。根軌跡與虛軸相交時， K=10。所以，當(dāng)開環(huán)放大系數(shù)K的范圍為0<Kr<10系統(tǒng)是穩(wěn)定的。描點根軌跡圖像如圖4所示，實際根軌跡圖像如圖5所示。圖4 例2描點圖圖5 例2實際圖4、心的體會通過本次針對基于劈因子法的根軌跡分析與仿真開展課程設(shè)計，我深刻理解根軌跡的在系統(tǒng)性能分析中的意義和作用，掌握劈因子方法的思想和算法實現(xiàn)。而且對于MATLAB知識有了進(jìn)一步的了解。附錄1算法的程序流程圖開始輸入

12、G(s)和H(s)劈因子求根繪圖描點結(jié)束添加標(biāo)注K<1000K=0是否畫點K=K+1YNYN開始輸入a為f(x)系數(shù)，擬定w(x)滿足精度F(x)=Q(x)w(x)+R(x)w(x)除以xQ(x)的余數(shù)R1(x)w(x)除以Q(x)的余數(shù)R2(x)N求解u,vw1(x)=x2+(p+u)x+(q+v)求二次因子根；a=QY結(jié)束求根，輸出存在二次因子YN附錄 2主函數(shù)p=1;q=1,1,0;s=1;t=1; %輸入fz=cheng(p,s);fm=cheng(q,t);fz=buzero(fz,length(fm);zl=zeros(1,length(fm)-1);for k=0:0.01

13、:1000 z=pyz(k.*fz+fm); %劈因子求根 n=length(z); for j=1:n shi=sqrt(real(z(j)-real(zl(j)2); xu=sqrt(imag(z(j)-imag(zl(j)2); switch (shi>=0.01|xu>=1) case 0 break; case 1 plot(real(z(j),imag(z(j)%繪制根軌跡 hold on zl(j)=z(j); continue; end endendaxis(-2 1 -100 100)title('根軌跡')xlabel('sigma

14、9;)ylabel('jw')jd=pyz(0+fm);plot(real(jd),imag(jd),'r*')text(-0.5,0,'leftarrow k=1/4')figure(2)rlocus(p,q)調(diào)用函數(shù)劈因子：function x=pyz(a) %輸入w=1,1,1; %任取一個二次因子while length(a)>3 %判斷存在二次因子n=length(a);u=1;b=0;Q=0; %設(shè)定初值while (u>=0.1)|(u<=-0.1) %設(shè)定精度p=w(2);q=w(3);b(1)=1;b(2)=a

15、(2)-p*b(1); %求商的系數(shù)for i=3:n b(i)=a(i)-p*b(i-1)-q*b(i-2);endfor i=1:n-2 Q(i)=b(i); %商，為下次求因子準(zhǔn)備endr1=b(n-1); %余式r2=b(n)+p*b(n-1);c(1)=0;c(2)=1;if n>=6for i=3:n-3 c(i)=b(n)-p*c(i-1)-q*c(i-2);endendif n>=4 r=b(n-2),b(n-3);0,b(n-2); r(2,1)=-q*c(n-3); r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3);endif n>=5 r(1,1)=b(n-

16、2)-p*c(n-3)-q*c(n-4); r(2,2)=b(n-2)-q*c(n-4); r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4);endif n>=6 r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4)-q*c(n-5);endu=(r1-r2*r(1,2)/r(2,2)/(r(1,1)-r(2,1)*r(1,2)/r(2,2); %求偏差v=(r1-r(1,1)*u)/r(1,2);w=1,p+u,q+v; %矯正后的二次因子enda=Q;x(n)=(-w(2)-sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1); %求二次因子的根x(n-1)=(-w(2)+sqr

17、t(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1);endif length(a)=3 x(2)=(-a(2)-sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1); %求前兩個根 x(1)=(-a(2)+sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1);elseif length(a)=2 x(1)=-a(2);endend多項式的乘：function c=cheng(a,b);a=quzero(a);b=quzero(b);c=zeros(1,length(a)+length(b)-1);for i=1:length(a) for j=1:length(b) c(i+j-1)=c(i+j-1)+a(i)*b(j); endend對多項式補(bǔ)零：function b=buzero(a,n)m=length(a);for i=1:n if i<=n-m b(i)=0;else b(i)=a(m-n+i); endend去掉多項式前置零：function b=quzero(