根軌跡法課程設(shè)計(jì)(共15頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、根軌跡法簡(jiǎn)介1948年，W.R.Evans提出了一種求特征根的簡(jiǎn)單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用。這一方法不直接求解特征方程，用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系，當(dāng)這一參數(shù)取特定值時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征根可在上述關(guān)系圖中找到。這種方法叫根軌跡法。根軌跡法具有直觀(guān)的特點(diǎn)，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性，還可分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在設(shè)計(jì)線(xiàn)性控制系統(tǒng)時(shí)，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的位置，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析與綜合。 利用根軌跡分析和設(shè)計(jì)的圖解方法。特

2、征方程的根隨某個(gè)參數(shù)由零變到無(wú)窮大時(shí)在復(fù)數(shù)平面上形成的軌跡，稱(chēng)為根軌跡。在控制系統(tǒng)的分析中，對(duì)特征方程根的分布的研究，具有重要的意義。當(dāng)特征方程的次數(shù)不高于2時(shí),其根可用解析方法來(lái)簡(jiǎn)單地定出；但當(dāng)特征方程的次數(shù)高于 2時(shí)，求根過(guò)程將變得相當(dāng)復(fù)雜。美國(guó)學(xué)者W.R.埃文斯在1948年提出的根軌跡方法 ，為簡(jiǎn)化特征方程的求根過(guò)程提供了一種有效的手段。在把根軌跡技術(shù)應(yīng)用于控制系統(tǒng)的分析時(shí)，常取系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益為可變參數(shù),據(jù)此作出的根軌跡,表示閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)在不同開(kāi)環(huán)增益值下的分布。控制系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面上的位置與系統(tǒng)的和性能有密切的關(guān)系。根軌跡的建立，為分析控制系統(tǒng)在不同開(kāi)環(huán)增益值時(shí)的行為提供了方

3、便的途徑。對(duì)于設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的校正裝置，根軌跡法也是基本方法之一。根軌跡法和頻率響應(yīng)法被認(rèn)為是構(gòu)成的兩大支柱。 對(duì)于圖1中的控制系統(tǒng),用G(s)和H(s)分別表示系統(tǒng)前饋通道和反饋通道中部件的傳遞函數(shù)，并且當(dāng)s=0時(shí)它們的值均為1,而K表示系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，則控制系統(tǒng)的根軌跡條件可表示為： 相角條件：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)H(s)的相角值 KG(s)H(s)±1800(2k+1)(k0,1,2,) 幅值條件：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)H(s)的模KG(s)H(s)1 系統(tǒng)的根軌跡，就是當(dāng)開(kāi)環(huán)增益K由零變化到無(wú)窮大時(shí)，由滿(mǎn)足相角條件和幅值條件的 s值在復(fù)數(shù)平面上所構(gòu)成的一組軌跡。 圖-1 控制

4、系統(tǒng)根軌跡的精確化在有些情況下，有必要對(duì)按基本規(guī)則畫(huà)出的根軌跡的粗略形狀，特別是位于虛軸附近的部分，進(jìn)行修正，使之精確化。實(shí)現(xiàn)精確化的一條比較簡(jiǎn)便的途徑，是采用一種由埃文斯設(shè)計(jì)的所謂對(duì)數(shù)螺旋尺的專(zhuān)用工具。 根軌跡的計(jì)算機(jī)輔助制圖70年代以來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的普及，利用計(jì)算機(jī)對(duì)根軌跡的輔助制圖的算法和程序都已建立，這大大減輕了系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)人員的繁重工作。 根軌跡的應(yīng)用根軌跡的應(yīng)用主要有三個(gè)方面。 1、用于分析開(kāi)環(huán)增益(或其他參數(shù))值變化對(duì)系統(tǒng)行為的影響：在控制系統(tǒng)的極點(diǎn)中，離虛軸最近的一對(duì)孤立的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程行為具有主要影響，稱(chēng)為主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)。在根軌跡上，很容易看出開(kāi)環(huán)增益不同取值

5、時(shí)主導(dǎo)極點(diǎn)位置的變化情況，由此可估計(jì)出對(duì)系統(tǒng)行為的影響。 2、用于分析附加環(huán)節(jié)對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響：為了某種目的常需要在控制系統(tǒng)中引入附加環(huán)節(jié)，這就相當(dāng)于引入新的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。通過(guò)根軌跡便可估計(jì)出引入的附加環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 3、用于設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的校正裝置：校正裝置是為了改善控制系統(tǒng)性能而引入系統(tǒng)的附加環(huán)節(jié)，利用根軌跡可確定它的類(lèi)型和參數(shù)設(shè)計(jì)。2、林士諤趙訪(fǎng)熊法（劈因子法）由于解二次方程是容易的，因此在求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程f(x)=xn+a1xn1+L +an1x+an=0的復(fù)根時(shí)，如果找出f(x)的一個(gè)二次因子，就等于找到方程的一對(duì)復(fù)根.    

6、    設(shè)f(x)的一個(gè)近似二次因子（任意選?。閣(x)=x2+px+q可用下述方法使它精確化：（1）用w(x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即f(x)= w(x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn2+b1xn3+L +bn3x+bn2)+(r1 x +r2)式中商式與余式的系數(shù)可用下面的遞推公式算出：bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2,L ,nb-1=0,   b0=1r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3r2=bn+pbn-1=an-qbn-2（2）用w(x)去除xQ(x)得到余式R1(x

7、)=R11xR21式中R11,R21，由下面的遞推公式算出：ck=bn-pck-1-qck-2, k=1,2,L ,n-3c-1=0,   c0=1R11=bn-2-pcn-3-qcn-4R21=-qcn-3（3）用w(x)去除Q(x)得到余式R2(x)=R12xR22式中R12,R22，由下面的公式算出：R12=bn-3-pcn-4-qcn-5R21=bn-2-qcn-4（4）解二元一次線(xiàn)性方程組得到u,.（5）修正后的二次式為w 1(x)=x2+(p+u)x+(q+)如果它還不夠精確，再重復(fù)（1）至（5）的步驟進(jìn)行修正，直到足夠精確為止.  

8、0;    林士諤趙訪(fǎng)熊法求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的復(fù)根，其優(yōu)點(diǎn)是避免了復(fù)數(shù)運(yùn)算，缺點(diǎn)是程序比較復(fù)雜.3、根軌跡的在系統(tǒng)性能分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性都與特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在s平面上的分布有密切關(guān)系。時(shí)域分析中，依靠求解輸入輸出微分方程或狀態(tài)方程，只能確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的具體分布。若要研究參數(shù)變化對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響，特別是某些參數(shù)連續(xù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，依靠求解特征方程的方法來(lái)確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置隨參數(shù)變化的情況，計(jì)算量很大，有時(shí)甚至是不可能的。現(xiàn)在，我們則可以通過(guò)一種簡(jiǎn)便的圖解方法，很方便地給出特征方程的根隨參數(shù)變化在s平面上分布位置變化的情況。我們先看

9、下面的例子。例1：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K從零到無(wú)窮大變化時(shí)，系統(tǒng)的特征根在s平面上分布情況：系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) ， 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根可見(jiàn)特征根在s平面的位置與K有關(guān)。K>0時(shí)，和都成為共軛復(fù)數(shù)。具有相同的負(fù)實(shí)部，且為常數(shù)，而虛部則隨K的增加其絕對(duì)值也增加。圖-2給出了系統(tǒng)的特征根在K從零變化到無(wú)窮大時(shí)，相應(yīng)位置的變化情況。這種放大系數(shù)K從零到無(wú)窮大變化時(shí)，特征方程的根在s平面上相應(yīng)變化的軌跡，稱(chēng)為根軌跡。根軌跡完整地反映了特征根隨參數(shù)變化的情況。根據(jù)圖1的根軌跡圖，我們可以知道，不論K怎樣變化，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。因?yàn)槿扛壽E都分

10、布在s平面左半邊。圖2和圖3分別為描點(diǎn)圖像和實(shí)際圖像。圖2 例1描點(diǎn)圖圖3 例1實(shí)際圖自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定；其動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布有關(guān)。 因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S平面上的分布，特別是從已知的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零極點(diǎn)的分布，是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先解決的問(wèn)題。根軌跡法是解決上述問(wèn)題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某一個(gè)和某些參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響的一種圖解方法。由于根軌跡圖直觀(guān)、完整地反映系統(tǒng)特征方程的根在S平面上分布的大致情況，通過(guò)一些簡(jiǎn)單的作圖和計(jì)算，就可以看到系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系

11、統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響趨勢(shì)。這對(duì)分析研究控制系統(tǒng)的性能和提出改善系統(tǒng)性能的合理途徑都具有重要意義。  例2：已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并進(jìn)行結(jié)果分析。根軌跡與虛軸相交時(shí)， K=10。所以，當(dāng)開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K的范圍為0<Kr<10系統(tǒng)是穩(wěn)定的。描點(diǎn)根軌跡圖像如圖4所示，實(shí)際根軌跡圖像如圖5所示。圖4 例2描點(diǎn)圖圖5 例2實(shí)際圖4、心的體會(huì)通過(guò)本次針對(duì)基于劈因子法的根軌跡分析與仿真開(kāi)展課程設(shè)計(jì)，我深刻理解根軌跡的在系統(tǒng)性能分析中的意義和作用，掌握劈因子方法的思想和算法實(shí)現(xiàn)。而且對(duì)于MATLAB知識(shí)有了進(jìn)一步的了解。附錄1算法的程序流程圖開(kāi)始輸入

12、G(s)和H(s)劈因子求根繪圖描點(diǎn)結(jié)束添加標(biāo)注K<1000K=0是否畫(huà)點(diǎn)K=K+1YNYN開(kāi)始輸入a為f(x)系數(shù)，擬定w(x)滿(mǎn)足精度F(x)=Q(x)w(x)+R(x)w(x)除以xQ(x)的余數(shù)R1(x)w(x)除以Q(x)的余數(shù)R2(x)N求解u,vw1(x)=x2+(p+u)x+(q+v)求二次因子根；a=QY結(jié)束求根，輸出存在二次因子YN附錄 2主函數(shù)p=1;q=1,1,0;s=1;t=1; %輸入fz=cheng(p,s);fm=cheng(q,t);fz=buzero(fz,length(fm);zl=zeros(1,length(fm)-1);for k=0:0.01

13、:1000 z=pyz(k.*fz+fm); %劈因子求根 n=length(z); for j=1:n shi=sqrt(real(z(j)-real(zl(j)2); xu=sqrt(imag(z(j)-imag(zl(j)2); switch (shi>=0.01|xu>=1) case 0 break; case 1 plot(real(z(j),imag(z(j)%繪制根軌跡 hold on zl(j)=z(j); continue; end endendaxis(-2 1 -100 100)title('根軌跡')xlabel('sigma

14、9;)ylabel('jw')jd=pyz(0+fm);plot(real(jd),imag(jd),'r*')text(-0.5,0,'leftarrow k=1/4')figure(2)rlocus(p,q)調(diào)用函數(shù)劈因子：function x=pyz(a) %輸入w=1,1,1; %任取一個(gè)二次因子while length(a)>3 %判斷存在二次因子n=length(a);u=1;b=0;Q=0; %設(shè)定初值while (u>=0.1)|(u<=-0.1) %設(shè)定精度p=w(2);q=w(3);b(1)=1;b(2)=a

15、(2)-p*b(1); %求商的系數(shù)for i=3:n b(i)=a(i)-p*b(i-1)-q*b(i-2);endfor i=1:n-2 Q(i)=b(i); %商，為下次求因子準(zhǔn)備endr1=b(n-1); %余式r2=b(n)+p*b(n-1);c(1)=0;c(2)=1;if n>=6for i=3:n-3 c(i)=b(n)-p*c(i-1)-q*c(i-2);endendif n>=4 r=b(n-2),b(n-3);0,b(n-2); r(2,1)=-q*c(n-3); r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3);endif n>=5 r(1,1)=b(n-

16、2)-p*c(n-3)-q*c(n-4); r(2,2)=b(n-2)-q*c(n-4); r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4);endif n>=6 r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4)-q*c(n-5);endu=(r1-r2*r(1,2)/r(2,2)/(r(1,1)-r(2,1)*r(1,2)/r(2,2); %求偏差v=(r1-r(1,1)*u)/r(1,2);w=1,p+u,q+v; %矯正后的二次因子enda=Q;x(n)=(-w(2)-sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1); %求二次因子的根x(n-1)=(-w(2)+sqr

17、t(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)/(2*w(1);endif length(a)=3 x(2)=(-a(2)-sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1); %求前兩個(gè)根 x(1)=(-a(2)+sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)/(2*a(1);elseif length(a)=2 x(1)=-a(2);endend多項(xiàng)式的乘：function c=cheng(a,b);a=quzero(a);b=quzero(b);c=zeros(1,length(a)+length(b)-1);for i=1:length(a) for j=1:length(b) c(i+j-1)=c(i+j-1)+a(i)*b(j); endend對(duì)多項(xiàng)式補(bǔ)零：function b=buzero(a,n)m=length(a);for i=1:n if i<=n-m b(i)=0;else b(i)=a(m-n+i); endend去掉多項(xiàng)式前置零：function b=quzero(