多面體與球的內(nèi)切和外接常見類型歸納

1、1多面體與球的內(nèi)切和外接常見類型歸納在平常教學(xué)中，立體幾何的多面體與球的位置關(guān)系， 是培養(yǎng)學(xué)生的立體感， 空間想象能力的好教材。可是學(xué)生在兩個(gè)幾何 體的組合后，往往感到無從下手。針對(duì)這種情況，筆者把日常教 學(xué)中有關(guān)這方面的習(xí)題加以總結(jié)和歸類如下:一正四面體與球如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為 a, r 為內(nèi)切球 的半徑，R為外接球的半徑。則高 SE=2a,斜 3高 SD= ,3a , OE=r=SE-SO ,又 V4SD=BD,BD=SE-0E,貝 U 在直角OEBK OE2EB2二BD2二(SE- OE)2raoR=SO=OBa124特征分析:1 .由于正四面體是一個(gè)中心對(duì)成圖形，所以它的內(nèi)切球

2、與外接球的球心為同一個(gè)。2.R=3r. r=aR=a。此結(jié)論可以記憶。124例題一。1、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球2DC面上，則此球的表面積為()分析：借助結(jié)論，R= 6a=6. 2=3,所以 S=4 二R2=3 二。44232、球的內(nèi)接正四面體又有一個(gè)內(nèi)切球，則大球與小球的表面積 之比是()分析：借助 R=3r，答案為 9: 1。二、特殊三棱錐與球四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐。SA_面ABC,ABC為直角三角形，BC_ABS-因?yàn)?SA 丄 AC，SB 丄 BC，球心落在 SC力CA _ zB即正方體的 8 個(gè)定點(diǎn)都在球面上。關(guān)鍵找出截面圖:ABCD 為正方體 的體對(duì)角的中

3、點(diǎn)處。所以 R=C。2三正方體與球。1.正方體的外接球2. 正方體的內(nèi)切球。(1)與正方體的各面相 切。如圖：ABCD 為正方 體的平行側(cè)面的正方形。則 AB= . 2 a, BD=2R , AD=a ,4DC面。設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為 a,5R=AB=CD=a ,R= a。23. 在正方體以一個(gè)頂點(diǎn)為交點(diǎn)的三條棱組成的三棱錐，特征 是：三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且相等，它的外接球可把 三棱錐補(bǔ)形成正方體的外接球，再求解。例題：1。正方體的全面積是 24,它的頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是_解析：顯然，球是正方體的外接球，a=2,則R=I23，S=12 二。22 .一個(gè)球與棱長(zhǎng)為 1 的正方體的

4、 12 條棱都相切，則球的體積_ 解析：如果明確了上面的結(jié)論， 問題很容易解決。R=，仁二2 2V血V=-33.將棱長(zhǎng)為 1 的正方體削成體積最大的球，則球的體積為_解析：削成體積最大，即要求球是正方體的內(nèi)切球，與正方體的(2)與正方體的各棱相切。如圖：大圓是正方形 ABCD 的外接圓6DC俄各面都相切。R=V=4二。234._P、A、B、C、是球 0 面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC 兩兩垂 直，且 PA=PB=PC=1，貝 V 球的體積是_解析：同過條件分析，可采用把三棱錐補(bǔ)形成正方體，則球是正7方體的外接球，所以R=F，V=f 二四、正棱柱與球1.正三棱柱外接球。如圖所示：過 A 點(diǎn)作 A

5、D 垂直 BC,D 為三角形 ABC 的中心，Di同樣得 到。則球心 0 必落在 DD1的中點(diǎn)上。利用三角形 OAD 為直角三角形，OA=R,可求出 R.2正四棱柱外接球。道理與上面相似。主要是找截面，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定 理求得。例題：1。已知一個(gè)半徑為21的球中有一個(gè)各條棱長(zhǎng)都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_解析：如上圖，0A=,21,0D=-，AD=3a，23可求 a= 6, V=543.2.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 R 的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最_值，為_解析：截面如圖：ABCD 為正四棱柱的體對(duì) 角面 OD=R，設(shè) AD=a，底面正方形的邊長(zhǎng)為 b，則有 DC=,2b ,貝UR2= ( a/2)2+ (2b/2)2,8S=4ba 2 a22b2=4、2R2。五、長(zhǎng)方體與球1.長(zhǎng)方體的外接球。截面圖如右圖：實(shí)質(zhì)構(gòu)造直角三角形，聯(lián)系半徑與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高。半徑為體對(duì)角線的一半。棱組成的三棱錐，特征是：三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體 的外接球，再求解。例題：一個(gè)三棱錐三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)分別是