導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用同步練習(xí)及答案

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1. 設(shè)函數(shù)y f x，當(dāng)自變量x由x0改變到x x時(shí)，函數(shù)的改變量 y為【】A. f x0 x B. f x0C. f x0x D. f x0x f x02. 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為2t2，則在一段時(shí)間1,2內(nèi)的平均速度為【A. 4B. 8C.6D.3.曲線yx2 3x 在x2處的切線的斜率為【A. 7B. 6C. 5D. 44.在曲線x21的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)1x,2 y ,則為【】xA. x丄x5.將半徑為R的球加熱，A.4 R2 R 4 R R2 B. x12 C. xx若球的半徑增加431D.2 xxR，則球體積的平均變化率為【24B.4

2、 R24 R R -32C.4 R R2D .4 R6.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是st (2t1)2，則在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為C. 7D. 13A . 1B. 37. 物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，則在4s附近的平均變化率為8. 已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是s t2 3(t秒,s米)，則物體在時(shí)刻t = 4時(shí)的速度v =9. 求yx2在xx0附近的平均變化率.10. 求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1, 2)處的切線方程.11. 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh 時(shí)，原油的溫度(單位： C )為f(x) x2 7x 15(0 x 8)，

3、計(jì)算第2h時(shí)和第5h時(shí)，原油 溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.函數(shù)y = (2x+ 1) 3在x = 0處的導(dǎo)數(shù)是 【】A. 0B. 1C. 3D.62.函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)為【 】A. y=2xcosx x2si nx! 2B. y=2xcosx+x sinxC. y=x2 cosx 2xsi nx2D. y=xcosx x snx3.已知函數(shù)f (x ) = a x 2 + c，且f (1)=2，則a的值為 【】A.1B. 2C. 1D. 04. 已知函數(shù)f (x)在x 1處的導(dǎo)數(shù)為A . (x - 1)3+3(x - 1) B . 2(x - 1)25. 若

4、函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為2x2 1,則3,則f(x)的解析式可能為C. 2(x - 1)f(x)可以等于【A. . 2x3 1B.x 1C. 4xD. -x336. 函數(shù) y sin(2x2x)導(dǎo)數(shù)是【】2A. cos(2x x)2B. 2xsi n(2x x)2C.(4x 1)cos(2xx)2D.4cos(2x x)7.設(shè)函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)為f x，且f xx2 2x f 1 ，則等于【A.0 B. 4 C. 2D.218. 若 f(x) e，則代 f(1 2t)f(1)9. 設(shè)函數(shù) f (x) 2x3. 函數(shù) f(x) 3x 4x， ax2 x， f (1)= 9，則10. 函數(shù)y a2x的

5、導(dǎo)函數(shù)是11. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(2) y = (2x2 -5x + 2)ex;(4) y In . x2 1 .(1) y = 2x1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)f (x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為【A. (2,)B.(,2)C.(,0)D. (0,2)2.A.F列結(jié)論中正確的是【 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.如果在X。附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0,那么f (x)是極大值C.如果在Xo附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值D.如果在X。附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f (x)是極大值x 0,1的最大值是【A.1C.0D.-1A. a 3B.

6、a 3C. a1D. a1335.函數(shù)f (x)2x2In x的遞增區(qū)間是【】1A. (07)2B.(11-,0)及(-,)2211)D.(,)及(0,二)224.設(shè)aR，若函數(shù)yeax 3x , x R有大于零的極值點(diǎn)，貝U【】6. 對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f (x),且f0若滿足(x- 1) f (x) 0,貝U必有【】A.f (0)+ f (2) 2f (1)B.f (0)+ f (2) 2f (1)C.f (0)+ f (2) 2f (1)D.f (0)+ f (2) 2f (1)7. 已知f(x) = x3+ ax2 + (a+ 6)x+ 1有極大值和極小值，則a的取值范圍為【】A.

7、1a2 B. 3a6 C.a2 D.a68. 已知函數(shù)y= x 2 2x+ 3在區(qū)間a, 2上的最大值為33 ,則a等于【】4A. 32B. 12C.121十 3D. 或一一2 29.函數(shù) y= f(x)x3 ax2 bx a2 在 x1時(shí)，有極值10，那么a, b的值為10.函數(shù) f (x)xInx x 0)的單調(diào)遞增區(qū)間是11. 已知f(x) x33bx2c ,若函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)落在x軸上，求b3 c2的值.12. 已知函數(shù) f (x)x33x29x a,(1) 求f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 若f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.13. 設(shè)函數(shù) f

8、(x) xekx(k 0)(1) 求曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程；(2) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(3) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.1.4生活中的優(yōu)化問題舉例1. 把總長(zhǎng)為16 m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是 m2.2. 將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成 和_.3. 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽?時(shí)，它的面積最大4有一邊長(zhǎng)分別為8與5的長(zhǎng)方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個(gè)無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？5. 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，

9、通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向 張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.如何設(shè) 計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最?。?. 當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值 S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用 材料最??？7. 某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c（x） 1200 x3（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x75足：P2 k，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少件時(shí)總利潤(rùn)最大？x8. 已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線 y = 4-x2在x軸上方的曲線 上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng).

10、9. 一書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊(cè)書存放一年要耗庫(kù)費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場(chǎng)，問此書店分幾次進(jìn)貨、每 次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？10. 請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱， 上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）.試問當(dāng) 帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心。1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最【注:V柱體S底 h, V錐體大？11. 某單位用2160萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方 米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x 10層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x

11、（單位: 元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用二平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用二 購(gòu)地總費(fèi)用）建筑總面積1.5定積分的概念A(yù) . 0，e2B. 0, 2C. 1, 2D. 0, 12.已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率vgt，則落體運(yùn)動(dòng)從t0到tto所走的路程為【】A.莖b . gt。2C.曲D.曲3263.曲線 y cosx(0 x知與坐標(biāo)軸圍成的面積是【】A.4B. 5-C.3D.2124. o (ex e x)dx=【】A. e -B.2eC.-D. e -1.求由y ex, x 2, y 1圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)

12、【】eee5曲線y ex在點(diǎn)(2, e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為【A. 9e2B. 2e2C. e2D.-426. 如果1N力能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為將彈簧拉長(zhǎng)6cm,所耗費(fèi)的功是【】A . 0.18B . 0.26C . 0.12D . 0.287. 將邊長(zhǎng)為1米的正方形薄片垂直放于比彼一時(shí)為的液體中，使其上距液面距離為 2米，則該正方形薄片所受液壓力為【】3A . x dx2B .2x 2 dx11C . x dx03D .x 1 dx28 .將和式/ 111lim (n 2)表示為疋積分12n9.曲線y2小x ,x 0, y1，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為10. 設(shè)物體的速

13、度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為v=v(t)，那么它在時(shí)間段a, b內(nèi)的位移s用定 積分表示為 .11. 計(jì)算定積分J；x 1)dx.12. 一物體按規(guī)律x= bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于 速度的平方.試求物體由X= 0運(yùn)動(dòng)到x= a時(shí)，阻力所作的功.1.6微積分基本定理1.下列各式中，正確的是【b / / /A. f (x)dx f (b) f (a) ab /C. f /(x)dx f (b) f (a)a】b / / /B. f (x)dx f (a) f (b)ab /D. f (x)dx f (a) f (b)aA.2gB.gD.2ga3.若 1 (2xdx

14、x3 ln2,則 a的值是【】A.6B.4C.3D.24.1x2dx等于【0】A.丄B.1C. 1D.242311175. f(x)是次函數(shù),且 o f(x)dx5, 0xf(x)dx17，那么f(x)的解析式是【】A.4x 3B.3x 4C. 4x 2D. 3x 42.已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度vgt(g為常數(shù))，則當(dāng)t1,2時(shí)，物體下落的距離是【6.計(jì)算定積分:(x sin x)dx =7. 計(jì)算下列定積分:(1)/4x x2)dx; (2)2 cos2 xdx.28. 計(jì)算 -dx .2 x19. 計(jì)算e2xdx.010. 求曲線yx3 x2 2x與x軸所圍成的圖形的面積.1.7定積分的簡(jiǎn)單

15、應(yīng)用1.由y1,x軸及x 1, x 2圍成的圖形的面積為【x1A.2 B. C. 2 D2.由曲線 y f(x)(f(x)0),x【 】bA. f (x)dxaB.f (x)dxabC. f (x) a dxabD. f(x) b dxaa,b ,x a.,x b(a b)和x軸圍成的曲邊梯形的面積S =3. 如果10N的力能使彈簧壓縮10cm,為在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置6cm處，則克服彈力所做的功為【】A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18Jb24. 給出以下命題：若f(x)dx 0,則f(x)0;sinxdx 4 :f(x)的原函數(shù)為a0aa T

16、F(x)，且F(x)是以T為周期的函數(shù)，則f(x)dx 丁 f (x)dx ;其中正確命題的個(gè)數(shù)為【】A. 1B. 2C. 3D. 05. 質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，由始點(diǎn)起經(jīng)過 t s后的距離為s =114- 4t3 + 16,貝U速度為零的時(shí)4刻是【】A.4s末B.8s末C.0s與 8s末D.Os，4s，8s 末6. 物體在力F(x) 4x 1(單位:N)的的作用下，沿著與力F相同的方向，從x=1m處運(yùn)動(dòng)到x=3m處，則力F(x)所作的功為【】A. 10J B. 12JC. 14JD. 16J17. 已知 f(x)為一次函數(shù)，且 f (x) x 2 o f(t)dt，貝U f(x) =8. 質(zhì)點(diǎn)在直

17、線上從時(shí)刻t=0秒以速度v(t) t2 4t 3 (米/秒)運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=3秒時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程為9. 一物體沿直線以速度v(t) 2t 3 (t的單位為：秒，v的單位為:米/秒)的速度作變速直 線運(yùn)動(dòng)，求該物體從時(shí)刻t=0秒至?xí)r刻t=5秒間運(yùn)動(dòng)的路程?10. 求曲線y丄和y x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積.x11. 求拋物線y x2與直線y x, y 2x所圍圖形的面積.參考答案1.D2.D 3. A4.C9. y(x0x)所以yx2在x10. y |x第一章1.15.B 6.B7.x0附近的平均變化率為x)21 (12 1)x所以，所求切線的斜率為2,因此,導(dǎo)數(shù)及其

18、應(yīng)用變化率與導(dǎo)數(shù)25 3 t 8.x)2x。2x2x0x.ILm0x2所求的切線方程為125162 2 2X。2X0 x x x、“2x0xxy 22(x 1)即 2x y0.11. 在第2h時(shí)和第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f(2)和 f(5)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,f f(2 x) f(x)xx所以 f (2) lim -x 0 xlim ( x 3)3x 02 2(2 x) 7(2 x) 15 (27 2 15) x 3原油溫度大2ax Ina（或y=（占）y同理可得：f （6）3.3和3,說明在2h附近,在第2h時(shí)和第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為約以3C/h的速率下降，在第5h附近，原

19、油溫度大約以3 C/h的速率上升.1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算21.D2.A 3.A 4.A 5.D6.C 7.B8. (或 2e 1)9.6 10. ye11.【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.(1) y = x - , y =2- -1 = _2x 43 =芻x2-孚)=-x -=二.xxx=x2 -5x + 2) ex 3 + (2x2 -5x + 2) (ex)(4x -5) e + (2x2 - 5x + 2) e (2X2 -x -3) eX y y = b 4)(2)、X+x -)(4)可看成 y In u,u . v , v : x2 + 1復(fù)合而成.yx(2x)yu1Uv Vx :

20、u11) 2 2xxx.廠.廠廠.1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.D2.B3.A 4.B5.C6.C7. D8.D9.b或10.11b 3f (x)3x23b，設(shè)f(x)的極值點(diǎn)為(m,0)，則 f(m)0,f (m)0所以3 m3b0 2c0m2,所以 bm 3bm2c0,2bm 2c0,所以(bm)2c ,e)11.b2( b) c2,所以 b3 c2 0.12. (1) f (x) 3x2 6x 9.令f (x)0 x 1 或 x 3,所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，(3,).8 12 18 a 22 a,(2)因?yàn)?f( 2)8 12 18 a 2 a, f所以f(2)f(

21、 2).因?yàn)樵?1, 3)上f (x)0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增,又由于f (x)在2,1上單調(diào)遞減， 因此f (2)和f( 1)分別是f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值和最小值，于是有 22 a 20 a 2.故f(x)x3 3x2 9x 2,因此f( 1) 1 3 9 27，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2, 2上的最小值為7.13. ( 1)f x 1 kx ekx, f 01,f 00,曲線 y f (x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為y x.(2)由 f xkxkx e0，得x0,則當(dāng)x時(shí),函數(shù)f x單調(diào)遞減,1,時(shí),k函數(shù)fx單調(diào)遞增,0，則當(dāng)x時(shí),0，函數(shù)f X單調(diào)遞增,函數(shù)f

22、x單調(diào)遞減,(3)(2)知，若即0k1時(shí)，函數(shù)f x1 1,1,1內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)且僅當(dāng)若k 0，則當(dāng)且僅當(dāng)+1時(shí)，函數(shù)f x1,1內(nèi)單調(diào)遞增,綜上可知，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是 1,0 U 0,1 .1.4生活中的優(yōu)化問題舉例aa31. 16 2.3.R2224. (1)正方形邊長(zhǎng)為 x,則 V= (8- 2x) (-2x)x=2(2x3 13x2+20x)(0x|)V =4x3- 13x+10)(0vx 2), V =得 x=1根據(jù)實(shí)際情況，小盒容積最大是存在的, 當(dāng)x=1時(shí)，容積V取最大值為18.5. 設(shè)版心的高為xdm,則版心的寬為128dm,x5128,xx此時(shí)

23、四周空白面積為128S(x) (x 4)(2)xS(x) 2 罟.令 S(x)x128 2x0.求導(dǎo)數(shù)，得16(x16舍去)于是寬為空空8.x 16當(dāng) x (0,16)時(shí)，S(x)0.因此，x 16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)所以，當(dāng)版心高為 時(shí)，能使四周空白面積最小.答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小.16dm，寬為 8dm26. S=2 Rh + 2 RV(R)=S 2 R22 R212r=2(s 2R)R-SR R322V(R)=0 S 6 R2 26 R 2 Rh 2 R h 2R.7.258. 設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x, y）,且x 0,

24、y 0, 則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（一x, y）,在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（一x, 0）、（x, 0）,其中0v x V 2.設(shè)矩形的面積為S,貝U S = 2 x （4-x2）, 0v x V2.由 S （x）= 8 6 x2= 0,得 x = 0, x-15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一，-15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為150 初 i “，y-所以當(dāng)x150由于該書均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即-10 （次）.15即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊(cè)書，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少.10. 設(shè)正六棱錐的高為x m,則正六棱錐底面邊長(zhǎng)為 32 x2 （單位：m）于是底面正六邊形的面積為(單位：m2): S 6迥&9 x2)2 3也(9 x2).4 2帳篷的體積為(單位：m3)：V(x) 工(9