斯托克斯公式(1)

1、第1章 集 合第7節(jié) 斯托克斯公式7.1 斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推廣，這一公式給出了在曲面塊上的第二類(lèi)曲面積分與其邊界曲線上的第二類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系圖7.1有向曲面的正向邊界：一人站在側(cè)沿走時(shí)在他的左邊（圖7.1）。給了可導(dǎo)的向量函數(shù)，我們有一個(gè)新的向量函數(shù)稱(chēng)為的旋度。定理7.1設(shè)在有界曲面上有連續(xù)可導(dǎo)（沒(méi)有奇點(diǎn)），則有: (7.1)注不必要求單連通；上述公式可用行列式表示：右端行列式按第一行展開(kāi)，并把與的乘積理解為等公式(7.1)稱(chēng)為斯托克斯(Stokes)公式，特別地，當(dāng)是平面上的簡(jiǎn)單閉曲線，是在平面上所圍成的區(qū)域，則斯托克斯公式便成為格林公式，所以斯托克斯公式是格林公式的

2、推廣斯托克斯公式的意義：一般地，右邊的偏導(dǎo)函數(shù)比左邊的原函數(shù)簡(jiǎn)單。注意到：在斯托克斯公式中，固定曲線后，可以自由選擇。我們先給兩例說(shuō)明它的應(yīng)用【例7.1】利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分，其中為平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截的三角形邊界，它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手螺旋法則(如圖7.2)解由斯托克斯公式有由被積函數(shù)（都為1）與的對(duì)稱(chēng)性得其中為在面上的投影圖7.2111圖7.3【例7.2】計(jì)算，其中是圓柱面和平面的交線，方向?yàn)閺妮S正向看去為逆時(shí)針?lè)较?如圖7.3所示)解平面法向量，有（這里）*定理7.1的證明：首先證明 (7.2)證明的思路是等式兩邊化為同一個(gè)二重積分圖7.4如圖7.4，不妨設(shè)

3、與面垂直的直線與至多交于一點(diǎn)，取上側(cè)，在面上的投影為，設(shè)的方程為:, ，因?yàn)樵谏希缘姆匠炭稍O(shè)為:，的方向?qū)?yīng)從到，則的方程為:從變到，由格林公式，有= (7.3)另一方面，由第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法，有= (7.4)由(7.3)(7.4)式得(7.2)式成立若與垂直于的平面的直線的交點(diǎn)多于一個(gè)時(shí)，可通過(guò)分割的方法，將分成幾部分，使每一部分與垂直于的平面的直線的交點(diǎn)至多一個(gè)，則在每一片上，(7.2)式成立各片上的(7.2)式相加，可得在上(7.2)式仍成立用類(lèi)似的方法可證得： (7.5) (7.6)將(7.2)，(7.5)，(7.6)相加即得斯托克斯公式(7.1)成立證畢*7.2空間曲線積分

4、與路徑無(wú)關(guān)的條件與平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的相關(guān)結(jié)論類(lèi)似，有定理7.2設(shè)為空間一維單連通區(qū)域，若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：(1)對(duì)于內(nèi)任一分段光滑的封閉曲線有(2)對(duì)于內(nèi)任一分段光滑的曲線，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)(3)在內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即存在，使得在內(nèi)每一點(diǎn)成立(4)在內(nèi)每點(diǎn)成立定理的證明與平面的情形相仿，不再重復(fù)【例7.3】驗(yàn)證積分圖7.5與路徑無(wú)關(guān)，并求被積函數(shù)的原函數(shù)解，所以積分與路徑無(wú)關(guān)取積分路徑如圖7.5所示，有習(xí)題117A類(lèi)1利用斯托克斯公式，計(jì)算下列曲線積分：(1)，其中為圓周，若從軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较颍?(2)，其中為與三坐標(biāo)面的交線，它的方向與法向量符合右手螺旋法則；(3)，其中為以為頂點(diǎn)的三角形沿ABCA的方向*2利用斯托克斯公式把曲面積分化為曲線積分，