Ch8解線性方程組的迭代法_第1頁(yè)
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1、Ch8、解線性方程組的迭代法§1、基本概念1、迭代法對(duì)線性方程組，給定初始向量，按某種方法生成向量序列 ，且，使。2、迭代法的一般格式設(shè)，其中可逆，則。令，則，故可建立迭代公式。若收斂，即，則，即為的解。3、誤差向量令 (誤差向量)，顯然，即，迭代收斂，即。§2、Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代設(shè)的主對(duì)角元均不為零，將分解為，其中為對(duì)角陣，和分別為的除主對(duì)角元以外的下三角和上三角部分，即，1、Jacobi迭代由，即，得迭代公式，或。2、Gauss-Seidel迭代由，即，得迭代公式, 或 §3、迭代法的收斂性例1、取，分別用Jacobi迭代與Gaus

2、s-Seidel迭代解下列方程組。； ； ； 解：方程精確解為，Jacobi和G-S迭代均發(fā)散。方程精確解為，Jacobi迭代和G-S迭代均收斂，但收斂到同樣精度，Jacobi迭代用了125次而G-S迭代僅用了9次。方程精確解為，Jacobi迭代發(fā)散，而G-S迭代僅用7次即收斂。方程精確解為， G-S迭代迭代發(fā)散，而Jacobi僅用4次即收斂。1、矩陣序列的收斂性定義：對(duì)矩陣序列及，若，則稱收斂于A，記為。定理1：2、迭代法收斂定理定理2：迭代法收斂的充要條件為。3、收斂的充分條件若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即，則Jacobi迭代和G-S迭代收斂；若A對(duì)稱正定，則G-S迭代收斂。§4、逐次超松弛（SOR）迭代法1、基本思想計(jì)算表明，當(dāng)階數(shù)較高時(shí)，G-S迭代收斂速度仍然較慢，可在G-S迭代基礎(chǔ)上對(duì)其加速收斂超松弛法。從G-S迭代公式求得的結(jié)果不作為第次近似解，而僅作為中間結(jié)果，然后再將與進(jìn)行加權(quán)平均后作為第次近似解，即。時(shí)，即為G-S迭代，時(shí)稱為超（低）松弛法。2、具體計(jì)算公式由G-S迭代公式得，再令，代入得改成矩陣形式為 故 記為3、SOR法收斂條件定理3：SOR法收斂。定理4：SOR法收斂。證：設(shè)的特征值為，則又SOR法收斂，即，有，而，從而，即。定理5：若對(duì)稱正定，且，則SOR法收斂。定理6：最佳松馳因子，其中為Jacobi迭代的迭代矩陣。例2、用SOR方

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