基本不等式經(jīng)典例題精講

1、新課標(biāo)人教 A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講(3.4基本不等式)典題精講1例1 ( 1)已知Ov xv，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值；31(2)求函數(shù)y=x+ 的值域.x思路分析：(1)由極值定理，可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反113838749.doc第1頁(yè)共8頁(yè)數(shù)；(2)中,(1 )解法一:/ y=x(1-3x)=未指出x> 0，因而不能直接使用基本不等式，需分x> 0與xv 0討論.c10v x v, 1-3x > 0.313x(1-3x) <33x (1 _3x)2 1:2=，當(dāng)且僅當(dāng)1213x=1-3x，即x=時(shí)，等號(hào)成611383

2、8749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)121立. x= 時(shí)，6函數(shù)取得最大值113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)解法二： 0v xv -x>0.331x x3:211 y=x(1-3x)=3x( 一-x) <3：3121當(dāng)且僅當(dāng)x= -x,即31x=時(shí)，等號(hào)成立.6 x= 1時(shí)，函數(shù)取得最大值612(2)解：當(dāng)x>0時(shí)，由基本不等式，得1y=x+ >2xX=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立.113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)113838749.doc第2頁(yè)共8頁(yè)當(dāng)xv 0時(shí),1 1y=x+ =- (-x)+x(-x)11 -x >

3、0,. (-x)+> 2當(dāng)且僅當(dāng)-x=，即x=-1時(shí)，等號(hào)成立.(-x)-x1-y=x+<2.x1綜上，可知函數(shù)y=x+的值域?yàn)?-s-2U 2,+ g).x綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件, 同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否具備變式訓(xùn)練1當(dāng)x > -1時(shí)，求f(x)=x+的最小值.X +1 1思路分析：x>-1= x+1 >0,變x=x+1-1時(shí)x+1與 的積為常數(shù)X +1/ f(x)=x+1=x+1 +x 1解： x > -1, x+1 > 0.-1 >2 (x 1)-仁1.X 1(x 1)1當(dāng)

4、且僅當(dāng)x+1=，即x=0時(shí)，取得等號(hào)x+1-f(x) min = 1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=x4 3x23x21的最小值.113838749.doc第3頁(yè)共8頁(yè)思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方 法不易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來(lái)表示分子，原式即可展開(kāi) 解：令 t=x2+1，則 t >1且 x2=t-1.4 2 2 2 y=x 3x 3 (t -1)3(t -1)3 t t 1 t 11-y2=t _ 1.x+1ttt t > 1/-t+1 >2t *=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即卩t=1時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)x=0時(shí)，函

5、數(shù)取得最小值3.19例2已知x > 0,y> 0,且一+ =1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的 變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用“1的代換”，19T + =1,x y1 9y ± 9x x+y=(x+y) ( +)=10+xyx y當(dāng)且僅當(dāng)=9x，即y=3x時(shí)，取等號(hào)x y19+=1, x=4,y=12.x y當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16. 解法二：由-+ 9=1，得 x=y .x yy -9/ x> 0,y> 0,. y>9.yy 9 +999

6、x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y -9y _9 y -9y _9/ y > 9, y-9> 0.y -9 9y9>2 (y -9)9y9=6.113838749.doc第4頁(yè)共8頁(yè)113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)9當(dāng)且僅當(dāng)y-9=，即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4. 當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解y 9法三：由=1，得 y+9x=xy,y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) > 10+2 (x - 1)(y - 9) =16,19當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時(shí)取得等號(hào)又1 + 9 =1,x y x=4,y

7、=12.當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形，另外解法二，通過(guò)消元，化二元問(wèn)題為一元問(wèn)題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對(duì)另外一個(gè)變量的范圍的影響黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯(cuò)誤：丄+9 >2 9 ，即 _6_ < 1.；. xy > 6.x y . xyxy x+y>2 xy >2X 6=1. x+y 的最小值是 12.19產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式等號(hào)成立的條件是-=-，不等式等號(hào)成立的條件是x=y.在同x y一個(gè)

8、題目中連續(xù)運(yùn)用了兩次基本不等式，但是兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件不同，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論.a b變式訓(xùn)練已知正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,=1 , x+y的最小值為18,求a,b的值.x y思路分析：本題屬于“1的代換問(wèn)題.abbxaybxay解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.xyyxyx/ x,y >O,a,b>0, x+y10+2.、ab=18，即ab =4.又 a+b=10,a = 2, a = 8,5 J， p. 5J丿或*jb = 8占=2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(Ov x v 1).lg x思路分析：T 0v xv 1, Igx v 0

9、,4 v 0不滿足各項(xiàng)必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法 lg x是加上負(fù)號(hào)變正數(shù).44解： Ov x v 1,.lgx v 0, v O. -> 0.lg xlg x (-|gx)+(-)>2 (-Igx)()=4.Igx Igx- lgx+ W4. f(x)=3+lgx+ < 3=-1.Igxlg x41當(dāng)且僅當(dāng)lgx= ，即x=時(shí)取得等號(hào)lg x100則有 f(x)=3+lgx+4lg x(0 v x v 1)的最小值為-1.黑色陷阱：本題容易忽略0vxv 1這一個(gè)條件.51變式訓(xùn)練1已知xv ，求函數(shù)y=4x-2+-的最大值.44x 51138

10、38749.doc第7頁(yè)共8頁(yè)5思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值 .要注意條件x V ，則4x-5 V 0.4解:5T xv ,. 4x-5 v 0.4y=4x_5+14x -5+3=- (5-4x)+15 4xW2(5 -4x)-15 4x+3=-2+3=1.113838749.doc第8頁(yè)共8頁(yè)113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)y=x+ 8的最大值.2x 38思路分析：本題是求兩個(gè)式子和的最大值 ，但是x 并不是定值，也不能保證是正值2x-383+ + =2x-32一 1使用一些技巧對(duì)原式變形.可以變?yōu)閥= ( 2x-3)2L亠)23 -2x，所以，必須+ ，再求最2值.1解：y=

11、(2x-3)23 當(dāng) xv 3 時(shí)，283+ + =-(2x -323-2x > 0,3 2x-)3 2x3 2x 8-8 總=4,當(dāng)且僅當(dāng)23-2x23-2x3-2x281，即x=-時(shí)取等號(hào)3-2x21當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)等號(hào)成立.5 4x1.所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是3變式訓(xùn)練2當(dāng)xV 時(shí)，求函數(shù)2113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)355于是y二4+=，故函數(shù)有最大值.2 22例4如圖3-4-1，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖 3-4-1(1 )現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面

12、積最大？(2)若使每間虎籠面積為 24 m2,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼 筋總長(zhǎng)度最小？ 思路分析：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m ,則(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而 則是在xy=24的前提下來(lái)求 4x+6y的最小值.解：(1 )設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為 x m，寬為y m，則由條件，知 4x+6y=36，即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為 S,則S=xy.方法一：由于 2x+3y>2 2x 3y =2 6xy ,2727 2 6xy w 18得 xy<：，即 Sw.人22當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立./X =2y,解得2x + 3y

13、= 18,儀=4.5,=y = 3.故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m,寬為3 m時(shí)，可使面積最大3方法二：由 2x+3y=18，得 x=9-y.2/ x> 0,. 0v yv 6.33S=Xy=(9一 2y)y=(6-y)y./ 0v yv 6, 6-y > 0.sw3 (6"y 2=272 2 2當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為I,則l=4x+6y.x=4.5.故每間虎籠長(zhǎng) 4.5 m,寬3 m時(shí)，可使面積最大方法一 :v 2x+3y>2 2x *3y =2 6xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) >

14、48當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)，等號(hào)成立.2x=3y,"x=6,由丿'解得丿刈=24,$=4.故每間虎籠長(zhǎng)6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.方法二:由 xy=24 ,得 x=24. l=4x+6y=9616+6y=6(+y)yyy =48,當(dāng)且僅當(dāng)16 =y，即y=4時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)yx=6.故每間虎籠長(zhǎng)6 m,寬4 m時(shí)，可使鋼筋總長(zhǎng)最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，要注意：(1) x,y都是正數(shù)；(2) 積xy (或x+y )為定值；(3) x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個(gè)條件的結(jié)論變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積

15、為200平方米的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)思路分析：在利用均值不等式求最值時(shí) 單調(diào)性進(jìn)行求解解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為 x米,則寬為于是總造價(jià) Q(x)=400(2x+2 X 200=800(x+324x)+16 000 > 800，必須考慮等號(hào)成立的條件，若等號(hào)不能成立，通常要用函數(shù)的200 米(0v xw 16，(k< 16)；. 12.5 < x

16、 w 16.xx200)+248 X X +80 X200.xx324X2 3T+ 16 000=44 800，113838749.doc第10頁(yè)共8頁(yè)113838749.doc第#頁(yè)共8頁(yè)324當(dāng)且僅當(dāng) x= (x > 0)，即 x=18 時(shí)等號(hào)成立，而 18 : 12.5,16 ,； Q(x) > 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16上的單調(diào)性.對(duì)任意 12.5 <x< x2w 16則 x2-x1> 0,x1x2< 162v 324.1 1Q(x0-Q(x 1)=800 (X2-X1)+324():X2X1=800 X(x2捲)(x2324)

17、< 0,x1 x2；Q(X2)> Q(X1). Q(x)在: 12.5,16上是減函數(shù).； Q(x) > Q(16)=45 000.答：當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)，總造價(jià)最低,最低造價(jià)為45 000元.問(wèn)題探究問(wèn)題某人要買(mǎi)房，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓時(shí), 上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境8不滿意度降低.設(shè)住第n層樓時(shí),環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第幾樓，會(huì)有一個(gè)最佳滿意度.n導(dǎo)思：本問(wèn)題實(shí)際是求n為何值時(shí)，不滿意度最小的問(wèn)題，先要根據(jù)問(wèn)題列出一個(gè)關(guān)于樓層的函數(shù)式，再根據(jù)基本不等式求解即可.探究：設(shè)此人應(yīng)選第n層樓,此時(shí)的不滿意程度為y.8由題意知yn+.nn+ >2n x =42 ,n . n當(dāng)且僅當(dāng)n=，即n= 2 . 2時(shí)取等號(hào).n但考慮到n N*,/ n2X 1.414=2.828 3,即此人應(yīng)選3樓,不滿意度最低.例5解關(guān)于x的不等式a(x 1) > 1(a工1)x 2解原不等式可化為(a 1)X 巴衛(wèi) > 0,x 2a 2 當(dāng)a > 1時(shí)，原不等式與(X)(x 2)> 0同解a -1由于匚21 ：2a1a1a 2原不等式的解為(一R,)U (2