等差數(shù)列的前n項和教案

1、§2. 3等差數(shù)列的前n項和一、教學目標知識與技能：掌握等差數(shù)列前n項和公式；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決問題。過程與方法：通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律；通過公式推導的過程教學，擴展學生思維。情感態(tài)度與價值觀： 通過公式的推導過程， 使學生體會數(shù)學中的對稱美，促進學生的邏輯思維。二、教學重點等差數(shù)列n項和公式的理解、推導及應用三、教學難點靈活應用等差數(shù)列前 n項公式解決一些簡單的有關問題四、教學過程創(chuàng)設情景在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被譽為“數(shù)學王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學老師提

2、出了下面的問題：1+2+3+100=?據(jù)說，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：(1 + 100) +(2+99) +(50+51) =101 X50=5050.探索研究我們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1, 2, 3,，n,的前n項的和：由 1 + 2 + n-1 + nn + n-1 + 2 + 1(n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)可知 1 2 3 . n (n ' n2上面這種加法叫“倒序相加法”請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第 k項與倒數(shù)第k

3、項的和與首項與尾項的和相 等這個規(guī)律，并且把這個規(guī)律用于求和。這種方法可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和。等差數(shù)列求和公式的推導一般地，稱a1 a2 a3 . an為數(shù)列an的前n項的和，用Sn表示，即Sn a a2 a3an.1 .思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。a1 (a1 d) (a12d) . a1 (n 1)d,Snan(and) (an 2d) . an(n 1)d,由+，得2Sn(a1an)+ (a1an)+ (a1an)+.+(a1an)nfn(ai an)對于這個公式, 項和了。由此得到等差數(shù)列an的前n項和的

4、公式Sn吟出n(n 1).Snna1d2我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前2 .把an ai (n 1)d代入Sn n(a1 an)中，就可以得到2對于這個公式，只要知道等差數(shù)列的首項、項數(shù)和公差，就可以求出等差數(shù)列的前n項和。引導學生思考這兩個公式的結構特征得到： 第一個公式反映了等差數(shù)列任意的第 k項與 倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質。 第二個公式反映了等差數(shù)列的前 n項和 與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數(shù)”，該公式可以變形為121一Sn -dn2 (a1 d)n ,可以與二次函數(shù)進行比較。這兩個公式的共同點都是知道a1和221n

5、,不同點是第一個公式還需知道an,而第二個公式是要知道d,解題時還需要根據(jù)已知條 件決定選用哪個公式。例題分析例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的統(tǒng)治 .某市據(jù)此提出了實施 “校校通”工程的總目標：從 一起用10年時間，在全市中小學建成不 同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從一起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？、先閱讀題目；、引導學生提取有用的信息，構造等差數(shù)列模型；、寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解

6、。解：根據(jù)題意，從 ,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列斗,表示從一起各年投入的資金，其中a1 500, d=50.那么，到 (n=10),投入的資金總額為10（10 1）一、Sn 10 500 50 7250 （萬兀）2答：從2001,該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2.已知一個等差數(shù)列an前10項的和是310,前20項的和是1220.由這些條件能確定 這個等差數(shù)列的前 n項和的公式嗎？引導學生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關于 an、a1、n或者小d的方程。若要確定其前 n項求和公式，則要確定 a1和d的關系式，從而求

7、得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關于 a1與d的二元次方程，由此可以求得a1與d,從而得到所求前 n項和的公式.解：由題意知§0 310, S20 1220,將它們代入公式Sn na1 nn 1)d,2段10a1 45d 310,付至1J T2 20al 190d 1220解這個關于a1與d的方程組，得到 a=4, d=6,所以Sn,n( n 4n22 63n2n另解：S10ak 310210310得aai062;S20a3202201220所以31320 122;-，得10d60,所以d6代入得：a1 4所以有Sn 31n nn d 3n2 n.已知幾個

8、量，通2例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系 過解方程，得出其余的未知量21例3已知數(shù)列an的前n項為Sn n n ,求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)2列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù)Sn a1 a2 . an 1 anvSn 1 a1 a2 .可知，當n>1時，an Sn Sn 11當 n=1 時，a1 S1 1 2所以數(shù)列an的通項公式為由此可知，數(shù)列an是一個an 1( n 1 )21/、21 ,、n-n(n1)一 (n1)2n221 也滿足式.2an 2n .23 一 r項為-,公差為2的等差數(shù)列。2Sn ,可求出通項6(n 1)&a

9、mp; Sn1 (n 1)用這種數(shù)列的 &來確定a。的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意a1不一定滿足由Sn Sn 1 an求出的通項表達式，所以最后要驗證首項現(xiàn)是否滿足已求出的an.思考：結合例 3,思考課本 45頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列an的前n項和為Sn pn2 qn r.其中p、q、r為常數(shù)，且pw 0,那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數(shù)列前n項和公式Sna1n"n1)dd n2(a1d) n ,222公式本身就不含常數(shù)項。所以得到：如果一個數(shù)列前 n項和公式是常數(shù)項為 0,且關于n的二次型函數(shù)，則這

10、個 數(shù)列一定是等差數(shù)列.2 4例4已知等差數(shù)列5,4-,3-,.的刖n項和為3,求使得S最大的序號n的值.分析：等差數(shù)列的前 n項和公式可以寫成 Sn -n2 (a1 0) n ,所以Sn可以看成函22、“，d 2,d、，*、數(shù)yx(a1一)x(xN )當x=n時的函數(shù)值.22另一方面，容易知道S關于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.2 4解：由題意知，等差數(shù)列 5,4 ,3,7 7n5& n2 5 (n 1) ( 5)275的公差為 5 ,所以7275n 5n145 /15、2 1125(n )14256于是，當n取與”最接近的整數(shù)即7或8時,2隨

11、堂練習課本45頁“練習”第1、2、3題sn取最大值.課堂小結等差數(shù)列an的前n項和的公式Snn(a1 an)和 Sn na1 四)d22(五)評價設計課本46頁A組第2、3、6等差數(shù)列的前n項和說課稿各位老師，同學們大家好，很高興能有這次機會與大家一起交流，今天我說課的內(nèi)容 是“等差數(shù)列的前N項和“，有不當之處望多多指正根據(jù)新課標中提到的說課標準 下面我將從教材分析，教法分析，學法分析，教學過 程這四個部分進行說明。一、教材分析1、本節(jié)在教材中的地位和作用”等差數(shù)列的前n項和”選自人民教育出版社高三上冊第二章.課時為第二課 時，課型為新知課.它是對前面所學的等差數(shù)列相關知識的鞏固和應用，無論在

12、知識 還是能力上，都是進一步學習其他數(shù)列知識的基礎.同時，在推導等差數(shù)列的前n項和公式的過程中所采用的“倒序相加法”是今后數(shù)列求和的一種常用且重要的方法. 因 此，掌握等差數(shù)列的前n項公式及推導為后面將要學習的等比數(shù)列的相關知識打下堅 實的基礎.同時起到了承上啟下的重要作用.2、目標分析根據(jù)上述教材結構與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認識結構和新課程標準，我從 三個方面確定了本節(jié)課的教學目標：(1)知識目標：(a)掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導過程；(b)會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題.(2)能力目標：(a)培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；(b)培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的

13、能力.(3)情感目標：(a)培養(yǎng)學生的辯證唯物主義思想.(b)提高學生的數(shù)學修養(yǎng).3、教學重點與難點為了實現(xiàn)上述三個教學目標，我把本節(jié)課的重、難點確定為：(1)教學重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導，理解及應用.(2)教學難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導及應用.為了突出重點、突破難點，在教學中我采取以下措施：從學生已有的知識出發(fā)， 精心設計一個符合學生知識水平的具體問題，并通過相關的數(shù)學史，逐步引導學生觀 察，類比推導出等差數(shù)列的前n項公式，并能靈活應用解決相關的問題. 三、教法分析為了調動學生積極的非智力因素， 同時為了更好的培養(yǎng)學生的自學能力，本節(jié)課 我將采用自主式探索式教學法，在遵循啟發(fā)式

14、教學原則的基礎上，主要采用以引導發(fā) 現(xiàn)法，談話法為主，練習法為輔的教學方法，意在通過特殊等差數(shù)列求和問題出發(fā)引 導學生導出一般等差數(shù)列的求和公式， 從而調動學生的積極性，同時給學生提供一個 廣闊的探索空間，一個充分展示創(chuàng)新能力的機會.四、學法分析在學法指導上，根據(jù)新課程標準理念，學生是學習的主體，教師只是學習的組織 者、輔導者、引導者，因此，在本節(jié)課的教學中我主要是引導學生通過觀察、類比得 到等差數(shù)列的前n項和公式，從而激發(fā)學生的求知欲和學習積極性，從而把傳授知識 和培養(yǎng)能力有機地結合起來.五、教學過程2、展示新知在引出等差數(shù)列的求和問題后， 我并不是直接給出解決的辦法，而是進一步把學 生引導

15、到對問題的觀察、分析、歸納活動之中，不僅讓學生通過自己的嘗試活動解決 了特殊的等差數(shù)列的求和問題，還通過師生互動協(xié)作用類比的方法，導出了一般等差 數(shù)列的求和公式.在采用對特殊數(shù)列的求和問題的求解得到了 一般等差數(shù)列的求和問 題.把單純死記知識改變?yōu)樽寣W生積極參與，主動掌握探索的過程，體現(xiàn)了師生的互 動性，在的得到了 Sn n(a1 an)公式后，我并不是直接介紹推導前n項和的第二個公2式，而是通過一個特殊等差數(shù)列的求和問題出發(fā)，進而推導的公式 Sn nai nd .把單純死記知識改變?yōu)樽寣W生積極參與，主動掌握探索的過程， 體現(xiàn)了師生的互動性，從而在此過程中不僅獲得了新知識，而且能力得到了培養(yǎng)，

16、真 正體現(xiàn)了 “以培養(yǎng)學生能力為中心”的教學思想.3、例題講解根據(jù)教學過程的基本階段，我將把鞏固知識和運用知識兩個階段有機結合，以達到學懂會 用，學以致用.因而，當這部分知識講解完后，我將通過講解例題來強化學生對 知識的理解.例1.在等差數(shù)列an中，ai 20,3,5 48,求這個數(shù)列前15項的和？目的：使學生對所學知識的應用.因為這道題都比較基礎，學生很容易完成，這樣不但可以 增加他們學習的興趣和自信心，還能夠加深對公式的理解和應用.例2.求等差數(shù)列2,4,6，前n的和？目的：讓學生鞏固所學公式，能對公式進行簡單運用.例3.等差數(shù)列10, 6, 2,2,前多少項的和為54?目的：該題目主要是

17、讓學生來對題目的理解和分析，并能指出題目中的已知量和發(fā)現(xiàn)要求的未知量，使學生熟練掌握公式，進一步提高學生的應用能力.4、課堂練習根據(jù)夸美紐斯的教學鞏固性原則， 為了培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力，教師要讓 學生掌握系統(tǒng)知識的結構，通過歸納總結來提示知識的內(nèi)在聯(lián)系，強化知識系統(tǒng)，從 而形成牢固的知識結構.因此，分析完例題后，為了加深學生對公式的理解和掌握， 我將讓學生們做書上的練習題.通過抽個別同學上黑板演算，其余同學在草稿本上完 成練習的方式來了解學生的學習情況，從而對講解內(nèi)容作適當?shù)难a充.5、課時小結本節(jié)課講到了這里，就接近了尾聲，待對學生的練習指導完成后，先由學生來總 結本節(jié)課所學的內(nèi)容，并對

18、學生的回答加以鼓勵.學生發(fā)表意見完畢后，由我對本節(jié) 課的內(nèi)容做一個較為全面的總結，使學生對本節(jié)知識結構有一個清晰而系統(tǒng)的認識.6、作業(yè)布置按照循序漸進的原則，我對作業(yè)布置分為三層，這樣既讓大部分學生對所學知識 能加以鞏固，同時又為學有余力的學生留有自由發(fā)展的空間，以彌補課堂上照顧學生 的個別差異，進行因材施教的不足。作業(yè)布置如下：1、作業(yè)題：教材P118的習題3. 3的1、2、3題；2、預習內(nèi)容：教材P117的例3、例4;3、思考題：老師在推導公式過程采用與書上不同的方法，下來請同學們把書上的 推導方法看一下.比較這兩種方法有什么不同之處.目的：使學生進一步掌握所學知識，提高學生的思維能力，探索能力.六、板書設計板書設計的好壞直接影響這節(jié)課的效果，因此它起著舉足輕重的作用.