2019年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學真題(含答案)

1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1 .答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 .已知集合 M x4 x 2,N xx2 x 6 0,則 MIN =A. x 4 x 3 B. x 4 x 2 C. x 2 x 2

2、 D. x 2 x 32 .設復數(shù)z滿足z i =1, z在復平面內(nèi)對應的點為(x, y),則22222222A. (x+1) y 1 B. (x 1) y 1 C. x (y 1)1 D. x (y+1)1. _0.20.33 .已知 a log2 0.2, b 2 , c 0.2 ，則A. abcB. acbC. cabD. bca4 .古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是近(近-0.618 ,22稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚、一、,5144,，工，臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比

3、例，且腿長為105 cm ,頭頂至脖子下端的2長度為26 cm ,則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx x 一 一5.函數(shù)f(x)=2在,的圖像大致為6個爻組成，爻分為”和陰爻“一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻6.我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一 “重卦”由從下到上排列的的概率是5A.11611 B.32C.32D.11167.已知非零向量 ab 滿足 |a| 2|b|,且（a b）b,則a與b的夾角為C.D.B.-3的程序框圖，圖中空白框中應填入1011121A. A=2 A記Sn為等差

4、數(shù)列A. an 2n 5B A=2 7C.A=，1 2A/1D, A= 1 - 2Aan的前n項和.已知S40, a5 5 ,則B. an3n 102_C. Sn 2n 8nD. Sn - n222n.已知橢圓C的焦點為Fi( 1,0)| AB | | BFi |,則C的方程為2x 2A. y 122 x B.3,F2(1,0),過F2的直線與C交于A, B兩點.若|AF2| 2|F2B|,2 x C.42 x D.5.關于函數(shù)f(x) sin|x| | sin x|有下述四個結論:f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間)單調(diào)遞增f(x)在,有4個零點其中所有正確結論的編號是A.B.已知三棱錐P-AB

5、C的四個頂點在球分別是PA, AB的中點，/ CEF=90f(x)的最大值為C.O的球面上，PA= PB= PC,則球O的體積為D.小BC是邊長為2的正三角形，E, FA. 8.6B. 4、，6C. 2、6、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .曲線y 3(x2 x)ex在點(0,0)處的切線方程為14 .記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a-，a4a6 ,則S5=3.根據(jù)前15 .甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝,期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互

6、獨立，則甲隊以 4 ： 1獲勝的I率是 16 .已知雙曲線C：三、1(a 0,b 0)的左、右焦點分別為 F1, F2,過F1的直線與C的兩條漸近線umruurumr uuuu分別交于A, B兩點.若F1A AB, F1B F2B 0,則C的離心率為 三、解答題：共 70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17 . (12 分) 2. 2ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,設(sin B sinC) sin A sinBsinC .(1)求 A

7、;(2)若 J2a b 2c ,求 sinC.18 . (12 分)如圖，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4 , AB=2 , ZBAD =60 ° ,E, M , N分別是BC,BB1, A1D的中點.(1)證明：MN /平面 CiDE;(2)求二面角 A- MAi- N的正弦值.19 . (12 分)已知拋物線C： y2=3x的焦點為F,斜率為3的直線l與C的交點為A, B,與x軸的交點為P. 2(1)若 |AF|+| BF|=4 ,求 l 的方程；uuu uuu(2)若 AP 3PB,求 |AB|.20 . (12 分)已知函數(shù)f(x) sin x l

8、n(1 x), f (x)為f (x)的導數(shù).證明：(1) f (x)在區(qū)間(1,一)存在唯一極大值點；2(2) f (x)有且僅有2個零點.(21) . (12 分)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案 如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以 乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠 多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗， 若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 1分；若

9、施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和3, 一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4分，Pi(i 0,1,L ,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認 為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P00 ,P81 ,Piapi1bPicpi1 (i 1,2,L ,7),其中a P(X 1) , b P(X 0) , c P(X 1).假設 0.5,0.8.(i)證明：PiiPi (i 0,1,2,L ,7)為等比數(shù)列;(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案

10、的合理性.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 .選彳4 4:坐標系與參數(shù)方程(10分)1 t2在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2，1 t24t1 t2(t為參數(shù))以坐標原點 O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2 cos33 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值.23 .選彳4 5:不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1 .證明:(1)112,22一一 a b c - b c333_(2) (a b)3 (b c)3 (c a)

11、3 24 .2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學？參考答案、選擇題1 . C 2, C 3. B 4.B 5.D 6. A 7. B 8. A 9. A 10 . B 11 . C 12. D、填空題13 . y=3 x12114. 315 . 0.18三、解答題2217 .解：(1)由已知得sin B sin C.22sin A sinBsinC,故由正弦定理得 b22,c a bc.222由余弦定理得cos A b一c2bc因為0A 180所以(2)由120C ,由題設及正弦定理得、,2sinA sin 120 C2sin C ,由于0sin Csin后cosC2C 1201 .

12、 sin 22sin C可得cos C60,所以sinsin C 60 60C 60 cos60 cos6060sin 6018 .解：(1)連結 B1C, ME.因為M, E分另J為BB1, BC的中點,所以 ME /BiC,且 ME= 2 BiC.又因為N為A1D的中點，所以ND 二1-AiD.2由題設知A1B1 P DC,可得B1cp AiD,故ME p ND因此四邊形MNDE為平行四邊形， MN /ED.又MN 平面EDCi,所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得DE，DA.D- xyz,則以D為坐標原點，Duu的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(2,0,0) ,

13、A1(2, 0, 4)NJ C4M (1j3, 2)N(1,0,2)uuurAA (0,0, 4)uuuur_，A1M( 1,V3, 2),uuuuAN(x, y,z)為平面AiMA的法向量，則uuLur AM uuur AAuuur _(1,0, 2) , MN (0,73,0).所以x 、. 3y 2z 0,一可取 m (V3,1,0).4z 0.所以n(p, q,r)為平面A1MN的法向量，則 n. 3qp 2rcos m, n所以二面角A解：設直線l:0可取n 0.(2,0, 1).| milMAin|2 32 ;5:155 ，N的正弦值為105t,A Xi,% ,B X2,y2uuu

14、u MN uuuuA1N0,0.3x2 ,由題設可得x125x223(1)由題設得 F ,0，故 | AF | |BF |43.y x t由 2 ，可得y2 3x9x2_212(t 1)x 4t2則 XiX212(t 1)""912(t 1) 5從而 -, 923所以l的方程為y -x2uuu(2)由 APuuu3PB可得yi3 y x 由 2 y2 3xt 2,可得 y2 2y 2t 0 .所以yiy2 .從而 3 y2 y 2 ,故 y2i,yi3.代入C的方程得Xi3，x23故 | AB|4 13320 .解:(1)設 g(x)f '(X),則 g(x)1 c

15、osx ,1 xg'(x)sin x(1 x)2.1,2 時，g'(x)單調(diào)遞減,而g'(0)0,g'(-) 0,可得 g'(x)在i- 有唯一零點,設為則當 x ( 1,)時，g'(x) 0；當 x，一時，g'(x) 0.2所以g(x)在(1,)單調(diào)遞增，在 ，一單調(diào)遞減，故g(x)在1,一存在唯一極大值點,22即f(x)在1,2存在唯一極大值點(2) f(x)的定義域為(1,).當x ( 1,0時，由(1)知，f'(x)在(1,0)單調(diào)遞增，而f'(0) 0,所以當x (1,0)又f(0)=0 ,從而x 0是£

16、;3在(1,0的唯時，f'(x) 0,故£(刈在(1,0)單調(diào)遞減，令點.(ii)當 x 0,-時，由(1)知，f'(x)在(0, 2f' 0 ,所以存在 ，,使得f()22時，f'(x) 0.故f(x)在(0,)單調(diào)遞增，在又 f (0)=0 , f 1 ln 1 -0 ,所以當22)單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，而f'(0)=02，0,且當 x (0,)時，f'(x) 0;當 x -2,-單調(diào)遞減.0-時，f(x) 0.從而，f(x)在 0,22沒有零點.單調(diào)遞減.而匚°, f( ) °,(x 2,時，f'(x

17、) o,所以f(x)在萬,所以f(x)在-,有唯一零點.2)沒有零點.(iv)當 x (,)時，ln(x 1) 1 ,所以 f (x) <0 ,從而 f 他)在(綜上，f(x)有且僅有2個零點.21 .解：X的所有可能取值為1,0,1 .P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列為(I a)。(2)由(1)得 a 0.4, b 0.5,因此Pi=0.4R 1+0.5 Pi+0.1 Pi 1,故 0.1Pi 1Pi4 PiPiP0 P10,所以Pi1Pi(ii)i）可得P8P8P7P7P6LP1P0由于P8=1 ,故 P1348P4P4P3P3 P2

18、P2P1P4表示最終認為甲藥更有效的概率,Pi 1(iP00.1 .P1Pi0.4 PiPi 1 ,即0,1,2,L ,7）為公比為4,首項為 6的等比數(shù)歹U.P8 P7P7441P0 二-P1由計算結果可以看出,P6 LP1P01257在甲藥治愈率為48 1-vP1.0.5,乙藥治11|7愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為1P40.0039 ,此時得出錯誤結論的概率非 257常小，說明這種試驗方案合理“1 t2 y22 .解：(1)因為 1 r 1,且 x -1 t2一22 1 ,所以C的直角坐標方程為1 t21 t2 22x2 y 1(x1).4l的直角坐標方程為2x 73y 11 0.x cos（2）由（1）可設C的參數(shù)方程為y 2sin（ 為參數(shù)，冗 冗）12cos 2 3sinC上的點到l的距離為J產(chǎn)4cos-113二 7g時，