精品資料（2021-2022年收藏）計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū).

1、計(jì) 算 方 法實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)彭彬計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)驗(yàn)中心2012年3月· 實(shí)驗(yàn)環(huán)境： VC+ 6.0· 實(shí)驗(yàn)要求：在機(jī)房做實(shí)驗(yàn)只是對(duì)準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行驗(yàn)證，因此上機(jī)前要檢查實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備情況，通過(guò)檢查后方可上機(jī)。沒(méi)有認(rèn)真準(zhǔn)備的學(xué)生不能上機(jī)，本次實(shí)驗(yàn)沒(méi)有分?jǐn)?shù)。實(shí)驗(yàn)中要注意考察和體會(huì)數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的一些問(wèn)題和現(xiàn)象：誤差的估計(jì),算法的穩(wěn)定性、收斂性、收斂速度以及迭代初值對(duì)收斂的影響等。· 關(guān)于計(jì)算精度：如果沒(méi)有特別說(shuō)明，在計(jì)算的過(guò)程中，小數(shù)點(diǎn)后保留5位數(shù)字，最后四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字。迭代運(yùn)算的結(jié)束條件統(tǒng)一為。在VC+ 6.0中，可使用setprecision在流的輸出中控制浮點(diǎn)

2、數(shù)的顯示（缺省顯示6位）。演示如下：# include<iostream.h># include<math.h># include<iomanip.h>/輸出6位精度，輸出左對(duì)齊cout<<setprecision(6)<<setiosflags(ios:left);/設(shè)置輸出寬度為12（不夠?qū)⒀a(bǔ)充0）cout<<setw(12)<<coeffi;· 關(guān)于圖形繪制本課程個(gè)別實(shí)驗(yàn)要求畫(huà)出函數(shù)的曲線(xiàn)，所有畫(huà)圖題目均要求用MFC完成。利用VC+6.0的MFC畫(huà)圖，先要建立一個(gè)工程，然后在*View中加入自定

3、義變量、自定義函數(shù)等，最后在OnDraw（）方法中調(diào)用自定義函數(shù)。也可以把代碼直接寫(xiě)入OnDraw（）方法中。畫(huà)曲線(xiàn)有兩種方法，（一）一句坐標(biāo)逐個(gè)打點(diǎn)（用SetPixel()函數(shù)），（二）先把當(dāng)前光標(biāo)移動(dòng)（MoveTo（）函數(shù)）到曲線(xiàn)的始點(diǎn)，再用LineTo（）函數(shù)畫(huà)線(xiàn)。線(xiàn)的樣式由畫(huà)筆決定。對(duì)封閉區(qū)域可以填充，填充的樣式由畫(huà)刷決定。在VC+6.0中,先新建一個(gè)MFC AppWizard(exe)類(lèi)型的工程(建立工程時(shí)，“應(yīng)用程序類(lèi)型”選擇“單文檔”；“是否包含數(shù)據(jù)庫(kù)”選擇“不包含數(shù)據(jù)庫(kù)”；其它選擇缺省),然后在“ClassView”中選擇XXView 類(lèi)文件加以操作。圖1是一個(gè)名為test的工

4、程，在CtestView節(jié)點(diǎn)，點(diǎn)擊右鍵，用戶(hù)可以增加自定義變量，自定義函數(shù)。圖1 MFC工程圖2是一個(gè)自定義函數(shù)的例子，代碼如下：void CTestView:drawOldLine(int N, CDC *pDC) /N畫(huà)線(xiàn)所用點(diǎn)的數(shù)目 pDC->TextOut(250,10,"龍格現(xiàn)象");/文本輸出/設(shè)置畫(huà)筆，將影響畫(huà)線(xiàn)的樣式CPen *pnewPen,*poldPen; pnewPen=new CPen();pnewPen->CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(0,0,0);poldPen=pDC->SelectObject(pne

5、wPen);/畫(huà)坐標(biāo)系pDC->MoveTo(0,380);pDC->LineTo(640,380);pDC->MoveTo(320,0);pDC->LineTo(320,480); /畫(huà)曲線(xiàn),先移動(dòng)到本曲線(xiàn)的第一個(gè)點(diǎn)pDC->MoveTo(20,380);for(int i=0;i<=N;i+) /原始坐標(biāo)float x0=-1+2.0/N*i;float y0=1.0/(1+4*x0*x0); /坐標(biāo)放大 x0=x0*300;y0=-y0*300; /坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為整型 int x1=(int)(320+x0);int y1=(int)(440+y0); p

6、DC->LineTo(x1,y1);/重置畫(huà)筆pDC->SelectObject(poldPen); 圖 2 自定義函數(shù)畫(huà)函數(shù)的圖形圖3是一個(gè)根據(jù)Lagrange插值多項(xiàng)式求函數(shù)值的自定義函數(shù)Lagrange(float x, int n, float x1, float y1)，其中n是插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)組X1,y1存放插值節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，x是待求點(diǎn)的x坐標(biāo)，函數(shù)根據(jù)插值多項(xiàng)式返回對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)。float CTestView:Lagrange(float x, int n, float x1, float y1) float y=0;/存放函數(shù)值 int k=0;/控制變量,求lag

7、range基函數(shù)的值 for( k=0;k<n;k+) float t=1; for (int j=0;j<n;j+) if (j!=k) t=t*(x-x1j)/(x1k-x1j); y=y+t*y1k; return y;圖3 自定義函數(shù)，根據(jù)插值多項(xiàng)式求值圖4是onDraw函數(shù)，這是MFC畫(huà)圖的主要部分。相關(guān)代碼如下：void CTestView:OnDraw(CDC* pDC)CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);/ TODO: add draw code for native data here/畫(huà)原始圖形 d

8、rawOldLine(2000,pDC);float px11,py11; 圖4 OnDraw()函數(shù)的內(nèi)容/N-N等分for(int N=2;N<=10;N=N+2) /求插值節(jié)點(diǎn)for(int i=0;i<=N;i+) pxi=-1+2.0/N*i; pyi=1.0/(1+4*pxi*pxi); /移動(dòng)到第一個(gè)點(diǎn)pDC->MoveTo(20,380); /設(shè)置畫(huà)筆 CPen *pnewPen,*poldPen; pnewPen=new CPen(); pnewPen->CreatePen(PS_DASHDOT,1+N/2,RGB(255-20*N,0+10*N,20

9、*N); poldPen=pDC->SelectObject(pnewPen); /按照插值節(jié)點(diǎn)求插值多項(xiàng)式的值,并描點(diǎn) for(int k=0;k<=2000;k+) float x=-1+2.0/2000*k; float y=Lagrange(x,N+1,px,py);/注意N+1個(gè)節(jié)點(diǎn) /坐標(biāo)變換 x=x*300; /Y坐標(biāo)放大,并且反號(hào),因?yàn)閅坐標(biāo)軸是向下的 y=-y*300; /轉(zhuǎn)化為整型 int x1=(int)(320+x); int y1=(int)(440+y); if (N=2 && x1=80)pDC->TextOut(x1,y1,&q

10、uot;二等分"); if (N=4 && x1=50)pDC->TextOut(x1,y1,"四等分"); if (N=6 && x1=60)pDC->TextOut(x1,y1,"六等分"); if (N=8 && x1=580)pDC->TextOut(x1,y1,"八等分"); if (N=10 && x1=600)pDC->TextOut(x1,y1,"十等分"); pDC->LineTo(x1,y1)

11、; /重置畫(huà)筆 pDC->SelectObject(poldPen); 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目一覽表實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)12應(yīng)開(kāi)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目個(gè)數(shù)6序號(hào)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱(chēng)實(shí)驗(yàn)要求學(xué)時(shí)分配實(shí)驗(yàn)類(lèi)型備注1一元非線(xiàn)性方程求根的算法必做2綜合性2解線(xiàn)性方程組的直接方法必做2驗(yàn)證性3解線(xiàn)性方程組的間接方法必做2驗(yàn)證性4插值多項(xiàng)式的求法必做2驗(yàn)證性5數(shù)值積分必做2驗(yàn)證性6常微分方程的數(shù)值解必做2驗(yàn)證性5 第 頁(yè) 姓名 班級(jí) 學(xué)號(hào) 日期實(shí)驗(yàn)一 一元非線(xiàn)性方程求根的算法【實(shí)驗(yàn)性質(zhì)】綜合性實(shí)驗(yàn)。【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹苛私夥蔷€(xiàn)性方程求根的基本方法；掌握二分法和牛頓法。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】選擇合適的初值，用二分法和牛頓迭代法求出一元非線(xiàn)性方程的全部實(shí)根，?！纠碚摶?/p>

12、礎(chǔ)】數(shù)值法求非線(xiàn)性方程的跟一般分三步： 判定根的存在性； 確定根的分布范圍 根的精確化常用的數(shù)值方法有二分法和迭代法。二分法的基本思想是：先確定有根區(qū)間，然后通過(guò)逐步縮?。ǘ謪^(qū)間）有根區(qū)間的長(zhǎng)度，以求根的近似值。二分法只能求實(shí)根，不能求復(fù)根及重根。迭代法通過(guò)建立一個(gè)迭代序列來(lái)逼近根。迭代效果與迭代初值、迭代公式的收斂性有關(guān)。迭代初始值一般根據(jù)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)或作圖的方法來(lái)確定；迭代公式通過(guò)對(duì)已知方程的某種變換得到。迭代的收斂性以及收斂速度不僅與迭代公式有關(guān)，可能還與迭代初值有關(guān)。牛頓迭代是常用的迭代方法。把在處按泰勒公式展開(kāi)為：，忽略高次項(xiàng)，得到。如果是方程的根，則有：由此得：從而建立起牛頓迭

13、代公式：當(dāng)相鄰兩次迭代結(jié)果滿(mǎn)足時(shí)停止計(jì)算。如果非線(xiàn)性方程為一元多項(xiàng)式方程，則其牛頓解法的關(guān)鍵在于求與，這時(shí)可以用如下的快速算法（秦九韶算法）。設(shè)次多項(xiàng)式為：次多項(xiàng)式為：如果、滿(mǎn)足 （1）則有于是求就轉(zhuǎn)換為求系數(shù)。將式（1）展開(kāi)，有如下遞推關(guān)系：因此可以用上述遞推公式求出，從而計(jì)算出。同理，設(shè)次多項(xiàng)式滿(mǎn)足 （2）則有由（2）式有遞推關(guān)系：因此求可以用上式遞推計(jì)算。【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】1. 手工或用MFC畫(huà)出的圖形?！綧FC畫(huà)圖代碼】2.估計(jì)三個(gè)有根區(qū)間，用二分法求出三根，并用下述樣式的表描述求根過(guò)程。對(duì)每個(gè)求根過(guò)程，如果二分區(qū)間次數(shù)超過(guò)10次，則只記錄最前面和最后面各5次。初始有根區(qū)間二分過(guò)程根二分區(qū)間

14、次數(shù)區(qū)間的符號(hào)精度【分析上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，總結(jié)你獲得的結(jié)論】【實(shí)驗(yàn)代碼】3.取三個(gè)初值，用牛頓迭代法求根，并用下述樣式的表描述求根過(guò)程。對(duì)每個(gè)求根過(guò)程，如果迭代次數(shù)超過(guò)30次，則只記錄最前面和最后面各15次（迭代初值1）=（迭代初值2）=（迭代初值3）= 誤差誤差誤差【分析上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，總結(jié)你獲得的結(jié)論】【實(shí)驗(yàn)代碼】4.比較兩種方法，分析實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的問(wèn)題，并總結(jié)解決辦法?！緦?shí)驗(yàn)心得】實(shí)驗(yàn)二 解線(xiàn)性方程組的直接方法【實(shí)驗(yàn)性質(zhì)】驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹空莆誈auss消元法和追趕法求解線(xiàn)性方程組。 【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】應(yīng)用列主元消去法和追趕法迭代法求解下方程組：【理論基礎(chǔ)】線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法分直接算法和迭代算法

15、。直接算法是經(jīng)過(guò)有限次的運(yùn)算即求得（如果沒(méi)有舍入誤差）方程組精確解的方法，比如高斯消元法、矩陣分解法、追趕法等。在有限步內(nèi)，迭代法得不到精確解。直接法程序復(fù)雜，但運(yùn)算量較小。由于受到計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，直接法也得不到精確解，僅適用于系數(shù)矩陣階數(shù)不太高的線(xiàn)性方程組。1.Gauss算法：Gauss消元法分消元和回代兩個(gè)過(guò)程，消元和回代過(guò)程都要求主元非零。如果經(jīng)過(guò)k-1步后的主元，則可進(jìn)行下一步：，() （）（）經(jīng)過(guò)n-1步后，消元結(jié)束，然后回代：本算法最的特點(diǎn)是順序消元，又稱(chēng)順序高斯消元法，與線(xiàn)性代數(shù)的處理方法有顯著的不同，請(qǐng)同學(xué)們牢記。計(jì)算過(guò)程中，如果出現(xiàn)主元為0，將使Gauss算法的計(jì)算終止。在

16、使用Gauss消元法時(shí)，可以先判斷系數(shù)矩陣是否為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)（即），如果是就開(kāi)始計(jì)算，否則就輸出“不能保證主元非零，計(jì)算結(jié)束”。在線(xiàn)性代數(shù)中，只要系數(shù)行列式，線(xiàn)性方程組就可求解，但Gauss方法當(dāng)主元為0時(shí)就不能繼續(xù)進(jìn)行，因此順序高斯消元法有缺陷。另一方面，即使順序高斯消元法可行，但主元很小，運(yùn)算中用它作為除法的分母（），也會(huì)導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散。這是Gauss法的另一缺陷。主元素消去法是對(duì)上述算法的改進(jìn)，其中列主元消去法較為常用：在第i步，從第i列的第i行至最后一行中選取絕對(duì)值最大的元素（注意，不是該列的所有元素，而是部分元素），通過(guò)行互換，將其調(diào)到主元位置，然后再做

17、消元。用列選主元方法可以克服高斯消元法的額外限制，只要方程組有解，列選主元消元法就能暢通無(wú)阻地順利求解，同時(shí)提高了解的精確度。2、追趕法在實(shí)踐中，常遇到對(duì)角方程組的求解問(wèn)題。這類(lèi)方程組的系數(shù)矩陣一般非奇異，可分解為特殊的矩陣，基于相關(guān)矩陣可得到求解的快速算法?！緦?shí)驗(yàn)過(guò)程】1.畫(huà)出選列主元的算法框圖。2.分別用高斯消元法和列主元消去法求解，用表格比較兩種算法的結(jié)果與精度，分析實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的問(wèn)題，并總結(jié)解決辦法。3.用追趕法求解，分別給出兩個(gè)方程組和，分析實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的問(wèn)題，并總結(jié)解決辦法。4.從使用條件、運(yùn)算量比較列主元消去法和追趕法?！緦?shí)驗(yàn)心得】實(shí)驗(yàn)三 解線(xiàn)性方程組的間接方法【實(shí)驗(yàn)性質(zhì)】驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。【

18、實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹空莆盏ㄇ蠼饩€(xiàn)性方程組。 【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】應(yīng)用雅可比迭代法和Gauss-Sediel迭代法求解下方程組：【理論基礎(chǔ)】線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法分直接算法和迭代算法。迭代法將方程組的求解轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)向量序列，其極限就是方程組的解。迭代法程序簡(jiǎn)單，但有時(shí)工作量較大，在有限步內(nèi)，得不到精確解，適宜某些系數(shù)矩陣階數(shù)較高的問(wèn)題。迭代的基本思想是構(gòu)造一個(gè)關(guān)于解向量的迭代序列，使得這個(gè)序列隨的增大而逐漸逼近準(zhǔn)確解，常見(jiàn)的有Jacobi迭代算法和Gauss-Seidel加速迭代算法。設(shè)L+D+UJacobi迭代公式：Gauss-Seidel迭代公式為：迭代收斂的充分條件是：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，或者迭代矩

19、陣滿(mǎn)足或者本題的參考答案：0.2857、 -0.3265、0.0408、2.9796【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】1.取三個(gè)不同初值，分別用雅可比法和高斯塞得爾法求解，用表格記載求解過(guò)程。2.根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果填寫(xiě)下表，分析迭代初值、迭代公式對(duì)迭代的影響雅可比法高斯塞得爾法初值近似根迭代次數(shù)近似根迭代次數(shù)123【實(shí)驗(yàn)心得】實(shí)驗(yàn)四 插值多項(xiàng)式的求法【實(shí)驗(yàn)性質(zhì)】驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹空莆誏agrange插值算法、Newton插值算法；理解Newton插值算法相對(duì)于Lagrange插值算法的優(yōu)點(diǎn)?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】先用C語(yǔ)言自帶的系統(tǒng)函數(shù)求出在的值，然后分別用Lagrange、Newton方法求出的值，并與用C語(yǔ)言函數(shù)計(jì)算

20、出的作比較?！纠碚摶A(chǔ)】1.Lagrange插值公式經(jīng)過(guò)個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多項(xiàng)式為：2.NewTon插值公式經(jīng)過(guò)個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的次Newton插值多項(xiàng)式為：上式中插商的計(jì)算常用到如下的Newton差商表： 一階插商二階插商三階插商四階插商其中差商是一個(gè)遞推的定義： 由上表可知：每增加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，都需從一階插商算起。但在具體應(yīng)用時(shí)，有兩種方案：（一）當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)+1固定時(shí)，使用兩個(gè)數(shù)組來(lái)存放插值計(jì)算的中間結(jié)果。其中存放插值節(jié)點(diǎn)的X坐標(biāo)；開(kāi)始存放插值節(jié)點(diǎn)的Y坐標(biāo)，計(jì)算過(guò)程中存放差商值。計(jì)算差商時(shí)，一次計(jì)算差商表的一列。計(jì)算時(shí)用到y(tǒng)1和y0，計(jì)算時(shí)用到y(tǒng)2和y1，不必再用到y(tǒng)0，由此可把放

21、到y(tǒng)0，把放到y(tǒng)1，。計(jì)算二階差商時(shí)，把二階差商放到y(tǒng)0、y1、。這樣牛頓插值公式中用到的fx0、fx0,x1、fx0,x1,x2、,依次均存放在Y0上。算法實(shí)現(xiàn)參考：Yy0，t=1for (int j=1;j<=n;j+) /計(jì)算J階插商 t=t*(x-xj-1); for(int i=0;i<n-j;i+)yi=;/計(jì)算j階插商的各種結(jié)果Y=Y+y0*t;NewTon差商表一階二階三階四階五階（二）考慮動(dòng)態(tài)增加插值結(jié)點(diǎn)，比如已有x0，x1，再增加x2時(shí)，依次計(jì)算fx1,x2，fx0,x1,x2。當(dāng)增加第n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，用xn+1存放該點(diǎn)X坐標(biāo)，用yn+10存放點(diǎn)的Y 坐標(biāo)，用y

22、n+1i存放本行的i階差商（1in）。Yni(Y的本行前1列Y的前1行前1列)/(X的本行？)（Yni-1Yn1i-1）/(xn-xn-i)一階插商二階插商三階插商四階插商【實(shí)驗(yàn)過(guò)程】1.分別用Lagrange插值和Newton插值求解。2.用表格Lagrange法、Newton法以及C語(yǔ)言自帶函數(shù)對(duì)的求值結(jié)果。3.分析實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的問(wèn)題，總結(jié)解決辦法?！緦?shí)驗(yàn)心得】實(shí)驗(yàn)五 數(shù)值積分【實(shí)驗(yàn)性質(zhì)】驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹坷斫獠逯敌头e分法；掌握復(fù)化積分法算法。 【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】對(duì)，用復(fù)化梯形積分和變步長(zhǎng)梯形積分求值（截?cái)嗾`差不超過(guò)）?！纠碚摶A(chǔ)】積分在工程中有重要的應(yīng)用，數(shù)值積分的基本思想是用被積函數(shù)在區(qū)間上的一些點(diǎn)處的值的線(xiàn)性組合作為積分的近似值：實(shí)際應(yīng)用中是未知的，一般用的次數(shù)不超過(guò)的插值多項(xiàng)式來(lái)代替（插值型求積方法）：。如果考慮等距節(jié)點(diǎn)，即，作變換，有：，上式稱(chēng)為Newton-Cotes求積公式，其中稱(chēng)為Cotes系數(shù)：:系數(shù)為 ； :系數(shù)為