有限元與有限差分法基礎(chǔ)ppt課件

1、第二講第二講 有限元與有限差分法根底有限元與有限差分法根底 CAE的工具：的工具： 有限元法有限元法FEM、有限差分法、有限差分法FDM、邊境元法、邊境元法BEM、有限體積法、有限體積法FVM、無(wú)網(wǎng)格法等等、無(wú)網(wǎng)格法等等 在資料成形的在資料成形的CAE中主要運(yùn)用的是有限元法和有限差分法中主要運(yùn)用的是有限元法和有限差分法“ 有限元法有限元法 的根本思想早在的根本思想早在20世紀(jì)世紀(jì)40年代初期就年代初期就有人提出，但真正用于工程中那么是電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后。有人提出，但真正用于工程中那么是電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后。 “ 有限元法有限元法 這一稱(chēng)號(hào)是這一稱(chēng)號(hào)是1960年美國(guó)的克拉夫年美國(guó)的克拉夫Cloug

2、h，R.W.在一篇題為在一篇題為 “平面應(yīng)力分析的有限元法平面應(yīng)力分析的有限元法 論文中首先運(yùn)用。以后，有限元法的運(yùn)用得到蓬勃開(kāi)論文中首先運(yùn)用。以后，有限元法的運(yùn)用得到蓬勃開(kāi)展。展。 到到20世紀(jì)世紀(jì)80年代初期國(guó)際上較大型的構(gòu)造分析有限元年代初期國(guó)際上較大型的構(gòu)造分析有限元通用程序多達(dá)幾百種，從而為工程運(yùn)用提供了方便條件。通用程序多達(dá)幾百種，從而為工程運(yùn)用提供了方便條件。由于有限元通用程序運(yùn)用方便，計(jì)算精度高，其計(jì)算結(jié)果由于有限元通用程序運(yùn)用方便，計(jì)算精度高，其計(jì)算結(jié)果已成為各類(lèi)工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和性能分析的可靠根據(jù)。已成為各類(lèi)工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和性能分析的可靠根據(jù)。 有限元法最初用于飛機(jī)構(gòu)造的強(qiáng)度設(shè)計(jì)

3、，由于它在有限元法最初用于飛機(jī)構(gòu)造的強(qiáng)度設(shè)計(jì)，由于它在實(shí)際上的通用性，因此它可用于處理工程中的許多問(wèn)題。實(shí)際上的通用性，因此它可用于處理工程中的許多問(wèn)題。目前，它可以處理幾乎一切的延續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問(wèn)題，目前，它可以處理幾乎一切的延續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問(wèn)題，包括熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體動(dòng)力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、原子工程包括熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體動(dòng)力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、原子工程和生物醫(yī)學(xué)等方面的問(wèn)題。和生物醫(yī)學(xué)等方面的問(wèn)題。 機(jī)械設(shè)計(jì)中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機(jī)機(jī)械設(shè)計(jì)中，從齒輪、軸、軸承等通用零部件到機(jī)床、汽車(chē)、飛機(jī)等復(fù)雜構(gòu)造的應(yīng)力和變形分析包括熱應(yīng)床、汽車(chē)、飛機(jī)等復(fù)雜構(gòu)造的應(yīng)力和變形分析包括熱應(yīng)力和熱變形分析。力和

4、熱變形分析。有限元法不僅可以處理工程中的線性問(wèn)題、非線性問(wèn)有限元法不僅可以處理工程中的線性問(wèn)題、非線性問(wèn)題，而且對(duì)于各種不同性質(zhì)的固體資料，如各向同性和各題，而且對(duì)于各種不同性質(zhì)的固體資料，如各向同性和各向異性資料，粘彈性和粘塑性資料以及流體均能求解；向異性資料，粘彈性和粘塑性資料以及流體均能求解；對(duì)于工程中最有普遍意義的非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題也能求解。對(duì)于工程中最有普遍意義的非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題也能求解。2.1 有限元法根底有限元法根底根本思想：根本思想：將一個(gè)延續(xù)求解域?qū)ο箅x散剖分成有限個(gè)外形簡(jiǎn)將一個(gè)延續(xù)求解域?qū)ο箅x散剖分成有限個(gè)外形簡(jiǎn)單的子域單元單的子域單元利用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)將各子域銜接起來(lái)利用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)將各子域

5、銜接起來(lái)在給定的初始條件和邊境條件下進(jìn)展綜合計(jì)算求解，從而在給定的初始條件和邊境條件下進(jìn)展綜合計(jì)算求解，從而獲得對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題的近似數(shù)值解獲得對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題的近似數(shù)值解 物理系統(tǒng)舉例 幾何體幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)構(gòu)造構(gòu)造熱熱電磁電磁有限元模型真實(shí)系統(tǒng)真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)籠統(tǒng)。是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)籠統(tǒng)。定義定義自在度DOFs自在度自在度(DOFs) 用于描畫(huà)一個(gè)物理場(chǎng)的呼應(yīng)特性。用于描畫(huà)一個(gè)物理場(chǎng)的呼應(yīng)特性。構(gòu)造構(gòu)造 DOFs 構(gòu)造構(gòu)造 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自在

6、度自在度ROTZUYROTYUXROTXUZ節(jié)點(diǎn)(node)和單元(element) 網(wǎng)格grid節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn): 空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自在度空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自在度和存在相互物理作用。和存在相互物理作用。單元單元: 一組節(jié)點(diǎn)自在度間相互作用的數(shù)值、一組節(jié)點(diǎn)自在度間相互作用的數(shù)值、矩陣描畫(huà)稱(chēng)為剛度或系數(shù)矩陣矩陣描畫(huà)稱(chēng)為剛度或系數(shù)矩陣)。單元有線。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類(lèi)。、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類(lèi)。有限元模型由一些簡(jiǎn)單外形的單元組成，單元之間經(jīng)有限元模型由一些簡(jiǎn)單外形的單元組成，單元之間經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)銜接，并接受一定載荷。過(guò)節(jié)點(diǎn)銜接，并接受一定載荷。載荷載荷載荷

7、載荷節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)和單元信息是經(jīng)過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳送的。信息是經(jīng)過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳送的。分別但節(jié)點(diǎn)重疊的單元分別但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和和B之間沒(méi)有信息傳送之間沒(méi)有信息傳送需進(jìn)展節(jié)點(diǎn)合并處置需進(jìn)展節(jié)點(diǎn)合并處置具有公共節(jié)點(diǎn)的單元具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳送之間存在信息傳送 .AB.AB.1 node2 nodes每個(gè)單元的特性是經(jīng)過(guò)一些線性方程式來(lái)描畫(huà)的。每個(gè)單元的特性是經(jīng)過(guò)一些線性方程式來(lái)描畫(huà)的。作為一個(gè)整體，單元構(gòu)成了整體構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。作為一個(gè)整體，單元構(gòu)成了整體構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)自在度是隨銜接該節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)自在度是隨銜接該節(jié)點(diǎn) 單元類(lèi)型單元類(lèi)型 變化的。變化的

8、。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元三維桿單元 (鉸接鉸接)UX, UY, UZ三維梁?jiǎn)卧S梁?jiǎn)卧S或軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體單元二維或軸對(duì)稱(chēng)實(shí)體單元UX, UY三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實(shí)體熱單元三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體構(gòu)造單元三維實(shí)體構(gòu)造單元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ為什么要離散？為什么要離散？ 1.無(wú)法得到復(fù)雜實(shí)踐問(wèn)題的解析解無(wú)法得到復(fù)雜實(shí)踐問(wèn)題的解析解 2.將域劃分成一些微小而外形規(guī)那么的單元后，便于在一將域劃分成一些微小而外形規(guī)那么的單元后，便于

9、在一個(gè)單元內(nèi)得到近似解個(gè)單元內(nèi)得到近似解 3.域中一切單元的解可視為該復(fù)雜問(wèn)題的近似解域中一切單元的解可視為該復(fù)雜問(wèn)題的近似解有限元分析的過(guò)程有限元分析的過(guò)程 1.延續(xù)體離散化延續(xù)體離散化 2.單元分析單元分析 3.整體分析整體分析 4.確定約束條件確定約束條件 5.方程求解方程求解 6.結(jié)果分析與討論結(jié)果分析與討論1.延續(xù)體離散化延續(xù)體離散化 延續(xù)體：是指所求解的對(duì)象如物體或構(gòu)造。延續(xù)體：是指所求解的對(duì)象如物體或構(gòu)造。離散化劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化：是將所求解的對(duì)象劃分離散化劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡(luò)化：是將所求解的對(duì)象劃分為有限為有限個(gè)具有規(guī)那么外形的微小塊體，把每個(gè)微小塊體稱(chēng)為單元，個(gè)具有規(guī)那么外形的微小塊

10、體，把每個(gè)微小塊體稱(chēng)為單元，相鄰兩個(gè)相鄰兩個(gè)單元之間只經(jīng)過(guò)假設(shè)干點(diǎn)相互銜接，每個(gè)銜接點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。單元之間只經(jīng)過(guò)假設(shè)干點(diǎn)相互銜接，每個(gè)銜接點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。相鄰單元只在節(jié)點(diǎn)處銜接，載荷也只經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)在各單元相鄰單元只在節(jié)點(diǎn)處銜接，載荷也只經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)在各單元之間傳之間傳遞，這些有限個(gè)單元的集合體，即原來(lái)的延續(xù)體。遞，這些有限個(gè)單元的集合體，即原來(lái)的延續(xù)體。 *單元?jiǎng)澐趾?，給每個(gè)單元及節(jié)點(diǎn)進(jìn)展編號(hào)；單元?jiǎng)澐趾?，給每個(gè)單元及節(jié)點(diǎn)進(jìn)展編號(hào)； *選定坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；選定坐標(biāo)系，計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)； *確定各個(gè)單元的形狀和性態(tài)參數(shù)以及邊境條件等。確定各個(gè)單元的形狀和性態(tài)參數(shù)以及邊境條件等。單元的劃分根本上是恣

11、意的，一個(gè)構(gòu)造體可以有多種單元的劃分根本上是恣意的，一個(gè)構(gòu)造體可以有多種劃分結(jié)果。但應(yīng)遵照以下劃分原那么：劃分結(jié)果。但應(yīng)遵照以下劃分原那么：(1) 分析清楚所討論對(duì)象的性質(zhì)，例如，是桁架構(gòu)造分析清楚所討論對(duì)象的性質(zhì)，例如，是桁架構(gòu)造還是構(gòu)造物，是平面問(wèn)題還是空間問(wèn)題等等。還是構(gòu)造物，是平面問(wèn)題還是空間問(wèn)題等等。(2) 單元的幾何外形取決于構(gòu)造特點(diǎn)和受力情況，單單元的幾何外形取決于構(gòu)造特點(diǎn)和受力情況，單元的幾何尺寸元的幾何尺寸(大小大小)要按照要求確定。普通來(lái)說(shuō)，單元幾要按照要求確定。普通來(lái)說(shuō)，單元幾何形體各邊的長(zhǎng)度比不能相差太大。何形體各邊的長(zhǎng)度比不能相差太大。 (3) 有限元模型的網(wǎng)格劃分越

12、密，其計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，有限元模型的網(wǎng)格劃分越密，其計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，但計(jì)算任務(wù)量就越大。因此，在保證計(jì)算精度的前提下，但計(jì)算任務(wù)量就越大。因此，在保證計(jì)算精度的前提下，單元網(wǎng)格數(shù)量應(yīng)盡量少。單元網(wǎng)格數(shù)量應(yīng)盡量少。(4) 在進(jìn)展網(wǎng)格疏密規(guī)劃時(shí)，應(yīng)力集中或變形較大的在進(jìn)展網(wǎng)格疏密規(guī)劃時(shí)，應(yīng)力集中或變形較大的部位，單元網(wǎng)格應(yīng)取小一些，網(wǎng)格應(yīng)劃分得密一些，而其部位，單元網(wǎng)格應(yīng)取小一些，網(wǎng)格應(yīng)劃分得密一些，而其他部分那么可疏一些。他部分那么可疏一些。(5) 在設(shè)計(jì)對(duì)象的厚度或者彈性系數(shù)有突變的情況下，在設(shè)計(jì)對(duì)象的厚度或者彈性系數(shù)有突變的情況下，應(yīng)該取相應(yīng)的突變線作為網(wǎng)格的邊境限；應(yīng)該取相應(yīng)的突變線作為網(wǎng)格

13、的邊境限；(6) 相鄰單元的邊境必需相容，不能從一單元的邊或者相鄰單元的邊境必需相容，不能從一單元的邊或者面的內(nèi)部產(chǎn)生另一個(gè)單元的頂點(diǎn)。面的內(nèi)部產(chǎn)生另一個(gè)單元的頂點(diǎn)。(7) 網(wǎng)格劃分后，要將全部單元和節(jié)點(diǎn)按順序編號(hào)，不網(wǎng)格劃分后，要將全部單元和節(jié)點(diǎn)按順序編號(hào)，不允許有錯(cuò)漏或者反復(fù)。允許有錯(cuò)漏或者反復(fù)。(8) 劃分的單元集合成整體后，應(yīng)準(zhǔn)確逼近原設(shè)計(jì)對(duì)象。劃分的單元集合成整體后，應(yīng)準(zhǔn)確逼近原設(shè)計(jì)對(duì)象。原設(shè)計(jì)對(duì)象的各個(gè)頂點(diǎn)都應(yīng)該取成單元的頂點(diǎn)。原設(shè)計(jì)對(duì)象的各個(gè)頂點(diǎn)都應(yīng)該取成單元的頂點(diǎn)。 一切網(wǎng)格的外表頂點(diǎn)都應(yīng)該在原設(shè)計(jì)對(duì)象的外表上。一一切網(wǎng)格的外表頂點(diǎn)都應(yīng)該在原設(shè)計(jì)對(duì)象的外表上。一切原設(shè)計(jì)對(duì)象的邊

14、和面都應(yīng)被單元的邊和面所逼近。切原設(shè)計(jì)對(duì)象的邊和面都應(yīng)被單元的邊和面所逼近。 有限元分析模型圖例有限元分析模型圖例 將懸臂梁劃分為許多三角形單元將懸臂梁劃分為許多三角形單元 三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn)三角形單元的三個(gè)頂點(diǎn)都是節(jié)點(diǎn) 載荷直接施加在節(jié)點(diǎn)上載荷直接施加在節(jié)點(diǎn)上懸臂梁及其有限元模型懸臂梁及其有限元模型 2.單元分析單元分析 延續(xù)體離散化后，即可對(duì)單元體進(jìn)展特性分析，簡(jiǎn)稱(chēng)為延續(xù)體離散化后，即可對(duì)單元體進(jìn)展特性分析，簡(jiǎn)稱(chēng)為單元分析。單元分析。單元分析任務(wù)主要有兩項(xiàng)：?jiǎn)卧治鋈蝿?wù)主要有兩項(xiàng)：(1)選擇單元位移方式選擇單元位移方式(位移函數(shù)位移函數(shù)) 用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)

15、變和用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，就需應(yīng)力，就需搞清各單元中的位移分布。搞清各單元中的位移分布。 普通是假定單元位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，用其模普通是假定單元位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱(chēng)為位移方式或位移函擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，這種函數(shù)就稱(chēng)為位移方式或位移函數(shù)。通常采用的函數(shù)方式多為多項(xiàng)式。數(shù)。通常采用的函數(shù)方式多為多項(xiàng)式。 根據(jù)所選定的位移方式，就可以導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)根據(jù)所選定的位移方式，就可以導(dǎo)出用節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。表示單元體內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。2.單元分析單元分析(2) (2) 分析單元的特性，建立單元?jiǎng)偠染仃?/p>

16、分析單元的特性，建立單元?jiǎng)偠染仃?進(jìn)展單元力學(xué)特性分析，將作用在單元上的一切力進(jìn)展單元力學(xué)特性分析，將作用在單元上的一切力外表外表 力、體積力、集中力等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷；力、體積力、集中力等效地移置為節(jié)點(diǎn)載荷； 采用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元的平衡方程，求得單元采用有關(guān)的力學(xué)原理建立單元的平衡方程，求得單元內(nèi)節(jié)內(nèi)節(jié) 點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系矩陣點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系矩陣單元?jiǎng)偠染仃?。單元?jiǎng)偠染仃嚒?3. 整體分析整體分析 把各個(gè)單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將把各個(gè)單元的剛度矩陣集成為總體剛度矩陣，以及將各單元的節(jié)點(diǎn)力向量集成總的力向量，求得整體平衡各單元的節(jié)點(diǎn)力向量集成總的力向量，求

17、得整體平衡方程。方程。 集成過(guò)程所根據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件和平衡條集成過(guò)程所根據(jù)的原理是節(jié)點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件。件。 4. 確定約束條件確定約束條件 由上述所構(gòu)成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，由上述所構(gòu)成的整體平衡方程是一組線性代數(shù)方程，在求解之前，必修根據(jù)詳細(xì)情況分析，確定求解對(duì)象在求解之前，必修根據(jù)詳細(xì)情況分析，確定求解對(duì)象問(wèn)題的邊境約束條件，并對(duì)這些方程進(jìn)展適當(dāng)修正。問(wèn)題的邊境約束條件，并對(duì)這些方程進(jìn)展適當(dāng)修正。5. 有限元方程求解有限元方程求解 運(yùn)用有限元法求解機(jī)械構(gòu)造應(yīng)力類(lèi)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)未知運(yùn)用有限元法求解機(jī)械構(gòu)造應(yīng)力類(lèi)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)未知量和分析量和分析 有三種根本解法：有三

18、種根本解法： 位移法位移法 力法力法 混合法混合法 (1)位移法位移法以節(jié)點(diǎn)位移作為根本未知量，經(jīng)過(guò)選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪怨?jié)點(diǎn)位移作為根本未知量，經(jīng)過(guò)選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)，進(jìn)展單元的力學(xué)特性分析。在節(jié)點(diǎn)處建立單元?jiǎng)偠确綌?shù)，進(jìn)展單元的力學(xué)特性分析。在節(jié)點(diǎn)處建立單元?jiǎng)偠确匠蹋俳M合成整體剛度矩陣，求解出節(jié)點(diǎn)位移后，進(jìn)而由程，再組合成整體剛度矩陣，求解出節(jié)點(diǎn)位移后，進(jìn)而由節(jié)點(diǎn)位移求解出應(yīng)力。節(jié)點(diǎn)位移求解出應(yīng)力。 位移法優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程位移法優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性強(qiáng)，易于編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序。所以得到廣泛運(yùn)用，其缺陷是精度稍低。序。所以得到廣泛運(yùn)用，其缺陷是精度稍低。 (2)力法力法以節(jié)

19、點(diǎn)力作為根本未知量，在節(jié)點(diǎn)處建立位移延續(xù)方以節(jié)點(diǎn)力作為根本未知量，在節(jié)點(diǎn)處建立位移延續(xù)方程，求解出節(jié)點(diǎn)力后，再求解節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力。程，求解出節(jié)點(diǎn)力后，再求解節(jié)點(diǎn)位移和單元應(yīng)力。力法的特點(diǎn)是計(jì)算精度高。力法的特點(diǎn)是計(jì)算精度高。 (3)混合法混合法取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為根本未知量，取一部分節(jié)點(diǎn)位移和一部分節(jié)點(diǎn)力作為根本未知量，建立平衡方程進(jìn)展求解。建立平衡方程進(jìn)展求解。單元特性的推導(dǎo)方法單元特性的推導(dǎo)方法 單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)是有限元分析的根本步驟之單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)是有限元分析的根本步驟之一。目前，建立單元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒ㄖ饕幸韵滤姆N：一。目前，建立單元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒ㄖ饕幸韵滤姆N

20、： 直接剛度法直接剛度法 虛功原理法虛功原理法 能量變分法能量變分法 加權(quán)殘數(shù)法加權(quán)殘數(shù)法1. 直接剛度法直接剛度法 直接剛度法是直接運(yùn)用物理概念來(lái)建立單元直接剛度法是直接運(yùn)用物理概念來(lái)建立單元的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這一的有限元方程和分析單元特性的一種方法。這一方法僅能適用于簡(jiǎn)單外形的單元，如梁?jiǎn)卧５椒▋H能適用于簡(jiǎn)單外形的單元，如梁?jiǎn)卧５梢詤f(xié)助了解有限元法的物理概念。它可以協(xié)助了解有限元法的物理概念。 圖圖1所示是所示是xoy平面中的一簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖，現(xiàn)以它為例，平面中的一簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)圖，現(xiàn)以它為例，來(lái)闡明用直接剛度法建立單元?jiǎng)偠染仃嚨乃枷牒瓦^(guò)程。來(lái)闡明用直接剛度法建立單元?jiǎng)?/p>

21、度矩陣的思想和過(guò)程。圖圖1平面簡(jiǎn)支梁元及其計(jì)算模型平面簡(jiǎn)支梁元及其計(jì)算模型 梁在橫向外載荷可以是集中力或分布力或力矩等作用下產(chǎn)梁在橫向外載荷可以是集中力或分布力或力矩等作用下產(chǎn)生彎曲變形，在程度載荷作用下產(chǎn)生線位移。生彎曲變形，在程度載荷作用下產(chǎn)生線位移。 對(duì)于該平面簡(jiǎn)支梁?jiǎn)栴}：對(duì)于該平面簡(jiǎn)支梁?jiǎn)栴}：梁上任一點(diǎn)受有三個(gè)力的作用：梁上任一點(diǎn)受有三個(gè)力的作用： 程度力程度力Fx， 剪切力剪切力Fy ， 彎矩彎矩Mz。相應(yīng)的位移為：相應(yīng)的位移為： 程度線位移程度線位移u， 撓度撓度v ， 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 z 。 由上圖可見(jiàn)：由上圖可見(jiàn)： 程度線位移和程度力向右為正，程度線位移和程度力向右為正， 撓度和剪切

22、力向上為正，撓度和剪切力向上為正， 轉(zhuǎn)角和彎矩逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。轉(zhuǎn)角和彎矩逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?通常規(guī)定：通常規(guī)定：為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，可把圖示的梁看作是一個(gè)梁?jiǎn)卧?。為使?wèn)題簡(jiǎn)化，可把圖示的梁看作是一個(gè)梁?jiǎn)卧Ｈ鐖D如圖1所示，當(dāng)令左支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)所示，當(dāng)令左支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) i ，右支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，右支承點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) j 時(shí)，時(shí)，那么該單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力可以分別表示為：那么該單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力可以分別表示為：稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)力列陣；假設(shè)稱(chēng)為單元的節(jié)點(diǎn)力列陣；假設(shè) F 為外載荷，那么稱(chēng)為載荷為外載荷，那么稱(chēng)為載荷列陣。列陣。 1-11-2寫(xiě)成矩陣方式為寫(xiě)成矩陣方式為

23、q(e)=ui ,vi , zi ,vj ,uj , zjTui ,vi , zi ,vj ,uj , zjF(e)=Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,MzjTFxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,Mzj顯然，梁的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移是有聯(lián)絡(luò)的。在彈性顯然，梁的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移是有聯(lián)絡(luò)的。在彈性小變形范圍小變形范圍內(nèi)，這種關(guān)系是線性的，可用下式表示內(nèi)，這種關(guān)系是線性的，可用下式表示 1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636 xiyizixjyjzjFkkkkkkFkkkkkkM

24、kkkkkkFkkkkkkFkkkkkkkkkkM46566 iizijjzjuvuvkk ( )( )( )eeeFKq或或1-3b1-3a上式上式(1-3b)稱(chēng)為單元有限元方程，或稱(chēng)為單元?jiǎng)偠确匠?，它代表稱(chēng)為單元有限元方程，或稱(chēng)為單元?jiǎng)偠确匠?，它代表了單元的載荷與位移之間或力與變形之間的聯(lián)絡(luò)；了單元的載荷與位移之間或力與變形之間的聯(lián)絡(luò)；式中，式中，K(e)稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?，它是單元的特性矩陣。稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃?，它是單元的特性矩陣?對(duì)于圖對(duì)于圖1所示的平面梁?jiǎn)卧獑?wèn)題，利用資料力學(xué)中的桿所示的平面梁?jiǎn)卧獑?wèn)題，利用資料力學(xué)中的桿件受力與變形間的關(guān)系及疊加原理，可以直接計(jì)算出單元件受力與變形間的

25、關(guān)系及疊加原理，可以直接計(jì)算出單元?jiǎng)偠染仃噭偠染仃嘖(e)中的各系數(shù)中的各系數(shù) kst( s, t = i, j ) 的數(shù)值的數(shù)值2. 虛功原理法虛功原理法下面以平面問(wèn)題中的三角形單元為例，闡明利用虛功原理法來(lái)建下面以平面問(wèn)題中的三角形單元為例，闡明利用虛功原理法來(lái)建立單元?jiǎng)偠染仃嚨牟襟E。立單元?jiǎng)偠染仃嚨牟襟E。如前所述，將一個(gè)延續(xù)的彈性體分割為一定外形和數(shù)量的單元，如前所述，將一個(gè)延續(xù)的彈性體分割為一定外形和數(shù)量的單元，從而使延續(xù)體轉(zhuǎn)換為有限個(gè)單元組成的組合體。單元與單元之間僅經(jīng)從而使延續(xù)體轉(zhuǎn)換為有限個(gè)單元組成的組合體。單元與單元之間僅經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)連結(jié)，除此之外再無(wú)其他連結(jié)。也就是說(shuō)，一個(gè)單元上的

26、只能過(guò)節(jié)點(diǎn)連結(jié)，除此之外再無(wú)其他連結(jié)。也就是說(shuō)，一個(gè)單元上的只能經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)傳送到相鄰單元。經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)傳送到相鄰單元。 從分析對(duì)象的組合體中任取從分析對(duì)象的組合體中任取一個(gè)三角形單元：一個(gè)三角形單元：設(shè)其編號(hào)為設(shè)其編號(hào)為 e ，三個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為三個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為i、j、m，在定義的坐標(biāo)系在定義的坐標(biāo)系 xoy 中，節(jié)點(diǎn)坐中，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為(x j , y j)、(xi , y i)、(xm, ym)，如圖，如圖2所示。所示。圖圖2三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元由彈性力學(xué)平面問(wèn)題的特點(diǎn)可知，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分由彈性力學(xué)平面問(wèn)題的特點(diǎn)可知，單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移分量，即每個(gè)單元有量，即每個(gè)

27、單元有6個(gè)自在度，相應(yīng)有個(gè)自在度，相應(yīng)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷，寫(xiě)成矩陣方式，個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷，寫(xiě)成矩陣方式，即即 單元節(jié)點(diǎn)載荷矩陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)載荷矩陣：F(e)=Fxi ,Fyi ,Fxj ,Fyj ,Fxm ,FymT單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移矩陣：q(e)=ui ,vi ,uj ,vj ,um ,vmT圖圖2三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元(1)設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù) 按照有限元法的根本思想：首先需設(shè)定一種函數(shù)來(lái)近似表達(dá)單元按照有限元法的根本思想：首先需設(shè)定一種函數(shù)來(lái)近似表達(dá)單元內(nèi)部的實(shí)踐位移分布，稱(chēng)為位移函數(shù)，或位移方式。內(nèi)部的實(shí)踐位移分布，稱(chēng)為位移函數(shù)，或位移方式。 三節(jié)點(diǎn)三角形單元有三節(jié)點(diǎn)三角

28、形單元有6個(gè)自在度，可以確定個(gè)自在度，可以確定 6個(gè)待定系數(shù)，故三角形單元個(gè)待定系數(shù)，故三角形單元的位移函數(shù)為的位移函數(shù)為 1-4式式(1-4)為線性多項(xiàng)式，稱(chēng)為線性位移函數(shù)，相應(yīng)的單元稱(chēng)為線性單元。為線性多項(xiàng)式，稱(chēng)為線性位移函數(shù)，相應(yīng)的單元稱(chēng)為線性單元。u=u(x,y)= 1+ 2x+ 3yv=v(x,y)= 4+ 5x+ 6y 1234561 0 0 00 0 0 1 uxydsvx y 上式上式(5-5)也可用矩陣方式表示，即也可用矩陣方式表示，即 式中，式中，d為單元內(nèi)恣意點(diǎn)的位移列陣。為單元內(nèi)恣意點(diǎn)的位移列陣。 1-5由于節(jié)點(diǎn)由于節(jié)點(diǎn) i、j、m 在單元上，它們的位移自然也就滿足位移

29、在單元上，它們的位移自然也就滿足位移函數(shù)式函數(shù)式(1-4)。設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值分別為設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值分別為( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，將節(jié)將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(1-4)，得，得 123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy( )12345600000000010002000000eijmiijmiijnjijmjijmmijmmaaaubbbvcccuaaavbbbucccv1-6111112221iijjijjmmijimjimmmxyxyx yx yx yx y

30、x yx yxy 式中1-7由上可知，共有6個(gè)方程，可以求出6個(gè)待定系數(shù)。解方程，求得各待定系數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移之間的表達(dá)式為 為三角形單元的面積。其中： , , , , , , ijmmjjmiimmijjiijmjmimijimjjimmjiax yx yax yx yax yx ybyybyybyycxxcxxcxx1-8將式(1-7)及式(1-8)、式(1-9)代入式(1-6)中，得到 1-91-10式中，矩陣N 稱(chēng)為單元的形函數(shù)矩陣； 為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣。其中， 為單元的形函數(shù)，它們反映單元內(nèi)位移的 分布形狀，是x, y 坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)，且有 ( ) eq, , ijmNNN222iiii

31、jjjjmmmmNab xc yNab xc yNab xc y1-11式(1-10)又可以寫(xiě)成, , ,iijjmmiii i j miijjmmiii i j muN uN uN uN uvN vN vN vN v1-12上式清楚地表示了單元內(nèi)恣意點(diǎn)位移可由節(jié)點(diǎn)位移插值求出。 (2) 利用幾何方程由位移函數(shù)求應(yīng)變根據(jù)彈性力學(xué)的幾何方程 ，線應(yīng)變 剪切應(yīng)變 那么應(yīng)變列陣可以寫(xiě)成 /, / ,xyuxuy / ,xyuyux ( )( ) 0001 0002iixijmeejyijmjxyiijjmmmmuuvxbbbuucccB qvycbcbcbuuuyxv式中，B稱(chēng)為單元應(yīng)變矩陣，它是僅

32、與單元幾何尺寸有關(guān)的常量矩陣，即 1-13 00010002ijmijmiijjmmbbbBccccbcbcb1-14 上述方程(1-13)稱(chēng)為單元應(yīng)變方程，它的意義在于： 單元內(nèi)恣意點(diǎn)的應(yīng)變分量亦可用根本未知量即節(jié)點(diǎn)位移分量來(lái)表示。 (3)利用廣義虎克定律求出單元應(yīng)力方程根據(jù)廣義虎克定律，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題1()1()12(1)xxyyyxxyxyxyEEGE上式1-15也可寫(xiě)成 ( )( )eeD1-151-16式中， 為應(yīng)力列陣； D 稱(chēng)為彈性力學(xué)平面問(wèn)題的彈性矩陣，并有 ,Txyxy 2101011002ED ( )( )( )( )exeeeyxyDDBq那么有如下單元應(yīng)力方程由式(1

33、-18)可求單元內(nèi)恣意點(diǎn)的應(yīng)力分量，它也可用根本未知量即節(jié)點(diǎn)位移分量來(lái)表示。1-171-18(4)由虛功原理求單元?jiǎng)偠染仃?根據(jù)虛功原理，當(dāng)彈性構(gòu)造遭到外載荷作用途于平衡形狀時(shí)，在恣意給出的微小的虛位移上，外力在虛位移上所做的虛功 AF等于構(gòu)造內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所存儲(chǔ)的虛變情勢(shì)能 A ，即FAA設(shè)處于平衡形狀的彈性構(gòu)造內(nèi)任一單元發(fā)生一個(gè)微小的虛位移，那么單元各節(jié)點(diǎn)的虛位移 為 ( )eq ( ), , , , , eTiijjmmquvuvuv1-201-211-19那么單元內(nèi)部必定產(chǎn)生相應(yīng)的虛應(yīng)變，故單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛應(yīng)變 為 ( )e ( ), , eTxyxy顯然，虛應(yīng)變和虛位移之間關(guān)系為

34、( )( )eeBq設(shè)節(jié)點(diǎn)力為 ( ), , , , , TexiyixjyjxmymFFFFFFF那么外力虛功為 ( )( )TeeFAqF1-241-221-23單元內(nèi)的虛變情勢(shì)能為 ( ) TeVAdv根據(jù)虛功原理 ( )( )( )TTeeeVqFdv ( )( )eeDDBq ( )( )( )TTTeeeTBqBq由于1-261-25代人式(1-25)，那么有 ( )( )( )( )TTeeTeeVqFBqDBqdv式中， ，均與坐標(biāo) x, y 無(wú)關(guān)，故可以從積分符號(hào)中提出，可得： ( )Teq ( )eq ( )( )( )( )TeeeeVFBDB dvqKq其中，單元?jiǎng)偠染?/p>

35、陣 ( )eTVKBDB dv1-27式(1-27)稱(chēng)為單元有限元方程，或稱(chēng)單元?jiǎng)偠确匠?，其?是單元?jiǎng)偠染仃嚒?( )eK1-28由于三角形單元是常應(yīng)變單元，其應(yīng)變矩陣B 、彈性矩陣D均為常量，而 ，所以式(1-28)可以寫(xiě)成 Vdvtdxdyt ( )eTKtBDB 1-29式中，t 為三角形單元的厚度； 為三角形單元的面積。 ( )( ) eiiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK 對(duì)于圖2所示的三角形單元，將D 及B代入式(1-28)，可以得到單元?jiǎng)偠葹?1-30式中: K為66階矩陣，其中每個(gè)子矩陣為22階矩陣，由下式給出 211 22114(1) c22 ( ,

36、,)rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtKc bb ccb br si j m 1-31按照力學(xué)的普通說(shuō)法，任何一個(gè)實(shí)踐形狀的彈性體的總位能是這個(gè)系統(tǒng)從實(shí)踐形狀運(yùn)動(dòng)到某一參考形狀(通常取彈性體外載荷為零時(shí)形狀為參考形狀)時(shí)它的一切作用力所做的功。彈性體的總位能 是一個(gè)函數(shù)的函數(shù)，即泛函，位移是泛函的允許函數(shù)。從能量原理思索，變形彈性體受外力作用途于平衡形狀時(shí)，在很多能夠的變外形狀中，使總位能最小的就是彈性體的真正變形，這就是最小位能原理。用變分法求能量泛函的極值方法就是能量變分原理。能量變分原理除了可解機(jī)械構(gòu)造位移場(chǎng)問(wèn)題以外，還擴(kuò)展到求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流膂力學(xué)等延

37、續(xù)性問(wèn)題。3. 能量變分原理法該方法是將假設(shè)的場(chǎng)變量的函數(shù)(稱(chēng)為試函數(shù))引入問(wèn)題的控制方程式及邊境條件，利用最小二乘法等方法使殘差最小，便得到近似的場(chǎng)變量函數(shù)方式。該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需求建立要處理問(wèn)題的泛函式，所以，即使沒(méi)有泛函表達(dá)式也能解題。 4. 加權(quán)殘數(shù)法 有限元解的收斂性有限元解的收斂性 有限元解是近似解有限元解是近似解 近似解能否收斂于真實(shí)解、近似解收斂速度、近似解的穩(wěn)近似解能否收斂于真實(shí)解、近似解收斂速度、近似解的穩(wěn)定性定性 近似解的收斂條件近似解的收斂條件: 1.完備性準(zhǔn)那么必要條件完備性準(zhǔn)那么必要條件 試探函數(shù)插值函數(shù)的次數(shù)試探函數(shù)插值函數(shù)的次數(shù)m不小于場(chǎng)函數(shù)的最高不小于場(chǎng)函數(shù)的

38、最高可導(dǎo)階數(shù)可導(dǎo)階數(shù) 2.協(xié)調(diào)性準(zhǔn)那么充分條件協(xié)調(diào)性準(zhǔn)那么充分條件 試探函數(shù)在試探函數(shù)在m-1次延續(xù)可導(dǎo)。次延續(xù)可導(dǎo)。有限元分析的誤差有限元分析誤差建模誤差計(jì)算誤差離散誤差物理離散誤差幾何離散誤差邊境條件誤差單元外形誤差舍入誤差截?cái)嗾`差插值函數(shù)與真實(shí)函數(shù)之間的差別1.減小單元特征尺寸，稱(chēng)為h法2.提高插值函數(shù)的階次，稱(chēng)為p法單元組合體與求解對(duì)象幾何外形的差別1.網(wǎng)格部分加密2.選用邊或面上帶有節(jié)點(diǎn)的單元邊境條件的復(fù)雜性1.準(zhǔn)確測(cè)定，完善模型2.細(xì)分邊境網(wǎng)格單元嚴(yán)重畸變而退化細(xì)分部分網(wǎng)格或者控制調(diào)整關(guān)鍵區(qū)域的網(wǎng)格數(shù)據(jù)儲(chǔ)存計(jì)算方法、解題性質(zhì)、解題規(guī)模留意網(wǎng)格的劃分留意網(wǎng)格的劃分 選擇適宜的解算方法

39、選擇適宜的解算方法 控制解題的規(guī)?？刂平忸}的規(guī)模減少運(yùn)算次數(shù)，降低解題規(guī)模減少運(yùn)算次數(shù)，降低解題規(guī)模選擇適宜的解算方法，控制解題規(guī)模選擇適宜的解算方法，控制解題規(guī)模資料成形中的非線性問(wèn)題 1.資料非線性 資料本構(gòu)方程非線性 彈塑性、剛彈性、剛黏塑性、黏彈塑性 2.幾何非線性 3.邊境非線性2.2 有限差分法根底 一種直接將微分問(wèn)題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法。 根本思想 數(shù)值微分法 是把延續(xù)的定解區(qū)域劃分成差分網(wǎng)格，用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)替代原延續(xù)求解域。 把原方程和定解條件中的微商用差商來(lái)近似 把原微分方程和定解條件近似地用代數(shù)方程組替代，即有限差分方程差分網(wǎng)格通常為矩形在邊境不規(guī)那么或者外形復(fù)雜時(shí)精

40、度降低有限元網(wǎng)格有限差分網(wǎng)格差分概念自變量x的解析函數(shù) y =f (x)，那么有：dx,dy自變量和函數(shù)的微分 函數(shù)對(duì)自變量的一階導(dǎo)數(shù) 函數(shù)對(duì)自變量的一階差商00()( )limlimxxdyyf xxf xdxxx yxdydx差商差商差分方向 向前差分 向后差分 中心差分()( )yf xxf x ( )()yf xf xx 11()()22yf xxf xx 差商的截?cái)嗾`差差商的截?cái)嗾`差 將函數(shù)將函數(shù)f (x+x)按按Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)展開(kāi) 向前向前 向后向后 中心中心234()()()( )( )( )( ) 0() )1!2!3!xxxf xxf xf xfxfxx 23()(

41、 )()( )( )( ) 0() )2!3!f xxf xxxf xfxfxxx 23( )()()( )( )( )0() )2!3!f xf xxxxfxfxfxxx23()()()22( )( )0() )2! 3!xxf xf xxfxfxxx 二階中心差商 通常采用向前差商的向后差商 截?cái)嗾`差與(x)2 同一數(shù)量級(jí) 一階向前差商 一階向后差商 一階計(jì)算精度 一階中心差商 二階中心差商 二階計(jì)算精度2222232()2 ( )()()2()( )( )0() )4!yf xxf xf xxxxyxfxfxxx 我們?cè)趶椥泽w上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，x

42、=y=h，如圖。 設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)延續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在-上,它只隨x坐標(biāo)的改動(dòng)而變化。在臨近結(jié)點(diǎn)處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：.)(! 31)(! 21)(3003320022000 xxxfxxxfxxxfff 我們將只思索分開(kāi)結(jié)點(diǎn)充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即x-x0充分小。于是可不計(jì)x-x0的三次及更高次冪的各項(xiàng)，那么上式簡(jiǎn)寫(xiě)為：在結(jié)點(diǎn)，x=x0-h, 在結(jié)點(diǎn)1, x=x0+h，代入(b) 得：)(.)(! 21)(20022000bxxxfxxxfff)(.20222003cxfhxfhff)(.20222001dxfhxfhff聯(lián)立(c),(d),

43、解得差分公式： )11(2310hffxf)21 (22031022hfffxf同理，在網(wǎng)線-上可得到差分公式)41 (22)31 (2042022420hfffyfhffyf從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：)()(461)()(241)()(461)()(41121042040448765432104022411931040447586022fffffhyffffffffffhyxffffffhxfffffhyxf 相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱(chēng)為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱(chēng)為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相

44、比，精度較高。由于前者反映了結(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。邊境元法簡(jiǎn)介邊境元法簡(jiǎn)介 邊境元法邊境元法boundary element method 一種結(jié)合有限元法和邊境積分法開(kāi)展起來(lái)的一種新數(shù)值方一種結(jié)合有限元法和邊境積分法開(kāi)展起來(lái)的一種新數(shù)值方法法 只在定義域的邊境上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去只在定義域的邊境上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊境條件。逼近邊境條件。 適用于應(yīng)力薄板、流膂力學(xué)、聲場(chǎng)、電磁場(chǎng)等問(wèn)題適用于應(yīng)力薄板、流膂力學(xué)、聲場(chǎng)、電磁場(chǎng)等問(wèn)題邊境元法根本思想邊境元法根本思想 以微分控制方程的根本解為權(quán)函數(shù)，利用加權(quán)余量法將區(qū)以微分控制方程的根

45、本解為權(quán)函數(shù)，利用加權(quán)余量法將區(qū)域積分轉(zhuǎn)化為邊境積分，并結(jié)合求解域邊境的離散，構(gòu)建域積分轉(zhuǎn)化為邊境積分，并結(jié)合求解域邊境的離散，構(gòu)建基于邊境單元的代數(shù)方程組，然后進(jìn)展計(jì)算求解基于邊境單元的代數(shù)方程組，然后進(jìn)展計(jì)算求解 以定義在邊境上的邊境積分方程為控制方程，經(jīng)過(guò)對(duì)邊境以定義在邊境上的邊境積分方程為控制方程，經(jīng)過(guò)對(duì)邊境元插值離散，化為代數(shù)方程組求解元插值離散，化為代數(shù)方程組求解 降低了問(wèn)題的維數(shù)，從而顯著降低了自在度數(shù)降低了問(wèn)題的維數(shù)，從而顯著降低了自在度數(shù) 邊境的離散比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡(jiǎn)單的單元準(zhǔn)邊境的離散比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡(jiǎn)單的單元準(zhǔn)確地模擬邊境外形，最終得到階數(shù)較低的線

46、性代數(shù)方程組確地模擬邊境外形，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組加權(quán)余量法簡(jiǎn)介加權(quán)余量法簡(jiǎn)介一種直接從所需求解的微分方程及邊境條件出發(fā)，尋求邊值問(wèn)題近似一種直接從所需求解的微分方程及邊境條件出發(fā)，尋求邊值問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法。解的數(shù)學(xué)方法。從靜力開(kāi)展到了動(dòng)力、穩(wěn)定、資料非線性和幾何非線性等各方面。從靜力開(kāi)展到了動(dòng)力、穩(wěn)定、資料非線性和幾何非線性等各方面。在求解域上建立一個(gè)試函數(shù)在求解域上建立一個(gè)試函數(shù) 試函數(shù)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過(guò)的試函數(shù)有冪級(jí)數(shù)、試函數(shù)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。已被采用過(guò)的試函數(shù)有冪級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、

47、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等。試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏向，即余量?jī)?nèi)部和邊境試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏向，即余量?jī)?nèi)部和邊境引入權(quán)函數(shù)，定義消除余量的條件引入權(quán)函數(shù)，定義消除余量的條件加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間余量，并設(shè)法使其最小的加權(quán)余量法就是一種定義近似解與真解之間余量，并設(shè)法使其最小的方法。方法。設(shè)問(wèn)題的控制微分方程為:在V域內(nèi) 在S邊境上 式中 : L、B分別為微分方程和邊境條件中的微分算子； f、g 為與未知函數(shù)u無(wú)關(guān)的知函數(shù)域值； u為問(wèn)題待求的未知函數(shù)。( )0B ug( )0L uf當(dāng)利用加權(quán)余量法求近似解時(shí)，首先在求解域上建立一個(gè)試函數(shù) ，普通具有如下方式：u 1

48、niiiuC NNC式中： 待定系數(shù)，也可稱(chēng)為廣義坐標(biāo)；iC取自完備函數(shù)集的線性無(wú)關(guān)的基函數(shù)。iN由于 一 般只是待求函數(shù)u的近似解，因此代入后將得不到滿足，假設(shè)記：u ( )( )IBRL ufRB ug在V域內(nèi)在S邊境上顯然 反映了試函數(shù)與真實(shí)解之間的偏向，它們分別稱(chēng)做內(nèi)部和邊境余量。BIRR、 假設(shè)在域V內(nèi)引入內(nèi)部權(quán)函數(shù) ，在邊境S上引入邊境權(quán)函數(shù)那么可建立n個(gè)消除余量的條件，普通可表示為：IWBW0(1,2, )IiIBiBVSW R dVWR dSin不同的權(quán)函數(shù) 和 反映了不同的消除余量的準(zhǔn)那么。從上式可以得到求解待定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組。一經(jīng)解得待定系數(shù)，由式(5.1.3)即可

49、得所需求解邊值問(wèn)題的近似解。BiWIiWIiW 由于試函數(shù) 的不同，余量 和 可有如下三種情況，依此加權(quán)余量法可分為：1內(nèi)部法試函數(shù)滿足邊境條件，也即 此時(shí)消除余量的條件成為:2邊境法試函數(shù)滿足控制方程，也即 此時(shí)消除余量的條件為:( )0BRB ug( )0IRL uf0(1,2, )IiIVW R dVin0(1,2, )BiBSW R dSinu IRBR3混合法 試函數(shù)不滿足控制方程和邊境條件，此時(shí)消除余量的條件為: 顯然，混合法對(duì)于試函數(shù)的選取最方便，但在一樣精度條件下，任務(wù)量最大。對(duì)內(nèi)部法和邊境法必需使基函數(shù)事先滿足一定條件，這對(duì)復(fù)雜構(gòu)造分析往往有一定困難，但試函數(shù)一經(jīng)建立，其任務(wù)量較小。0(1,2, )IiIBiBVSW R dVW R dSin邊境元法特點(diǎn)邊境元法特點(diǎn) 1 前處置任務(wù)量小前處置任務(wù)量小 2 解算規(guī)模小解算規(guī)模小 3 求解奇特性問(wèn)題時(shí)計(jì)算精度高求解奇特性問(wèn)題時(shí)計(jì)算精度高 4 在載荷集中和半無(wú)限域等問(wèn)題上有優(yōu)勢(shì)在載荷集中和半無(wú)限域等問(wèn)題上有優(yōu)勢(shì) 相對(duì)于有限元法，邊境元法開(kāi)展較慢，相對(duì)于有限元法，邊境元法開(kāi)展較慢，有限元法處理應(yīng)