簡明微積分一階微分方程ppt課件

1、第二節(jié)一階微分方程與可降階的第二節(jié)一階微分方程與可降階的 高階微分方程高階微分方程二、齊次型微分方程二、齊次型微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程四、可降階的高階微分方程四、可降階的高階微分方程(1) 0dd, 0)( xyyxFx,y,yF或如果能解出 ，那么xyydd(2) ).,(dd ),(yxfxyyxfy或如果一階微分方程(2)的右端，)0)( )()( ),(yhyhxgyxf則方程(2)可以表示為)3( d)(d)(xxgyyh一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程.)d()d( )3()3()()(是任意常

2、數(shù)其中，的通解便得微分方程式兩端同時積分，都是連續(xù)函數(shù)，將，CCxxgyyhyhxg的形式，則稱此一階微分方程為變量可分離的微分方程.2dd的通解求微分方程xyxy，兩端同時積分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或記作21ee xCy.e ,e21xCCyC則有若記例1，原方程分離變量得xxyyd2d 解.0d)1 (d)1 ( 22的通解求微分方程yyxxyx，兩端積分，有122d1d1 Cxxxyyy，得兩端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，積分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即表示為把任意常數(shù))0( ln21)1l

3、n(21)1ln(21 ,ln21221CCxyCC).1 (1 22xCy化簡得例2，移項得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解.60dcos) 1(dsin2 12的特解條件滿足初值求微分方程xyyyxxyx12d12dsincos Cxxxyyy兩端積分，有).( sin) 1( 2是任意常數(shù)其中化簡得所給方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy積分后，有例3，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解，即代入通解中，得把初值條件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值條件的特解為于是，所求方程滿足初二、齊次

4、型微分方程二、齊次型微分方程形如 d( )dyyfxx (1) 求解這類方程的方法是：利用適當?shù)淖儞Q，化成可分離變量的微分方程.設xyu 那么uxy 故有dd(2)ddyuuxxx的一階微分方程 稱為齊次微分方程.將2代入1得)(ddufxuxu即uufxux)(dd分離變量，得xxuufud1)(d兩端積分便可求出通解， 再以xyu 代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.xyxyxytandd解令xyu 代入方程得tanxuuuu或uxuxtandd分離變量，得 xxuud1dcot或Cxu sin再把xyu 回代，即得原方程的通解為Cxxysin兩端積分，得Cxulnlnsin

5、ln例5 求下列微分方程的通解)lnln1(ddxyyxyx解原方程可變形為 )ln1 (ddxyxyxy令xyu 代入方程得(1ln )xuuuu分離變量得xxuuudlnd兩端積分得 Cxulnlnlnln即Cxu ln故Cxeu 即得原方程的通解為再把回代xyu Cxxysin形如的方程稱為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程關于y及 是一次的，Q(x)是自由項.(1) )()(ddxQyxPxyxydd)()(ddxQyxPxy為一階線性非齊次方程，則稱如果0)(xQ三、階線性微分方程三、階線性微分方程例如，方程xyxxysin1dd是一階線性微分方程；而右端 ，

6、因此它是一階線性非齊次方程.它對應的齊次方程就是0sin)(xxQ，01ddyxxy(2) 0)(ddyxPxy，即如果0)(xQ為一階線性齊次方程.一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分離變量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常數(shù)寫成CxxPyClnd)(ln ln而方程xxyyxyyyxxyxln2 ,e)( ,dd222等，都不是線性方程.2.利用“常數(shù)變易法求線性非齊次方程(1)的通解：設(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)為待定常數(shù),將(4)式求其對x的導數(shù)，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e

7、 )()(e )(dd (3) ed)(，xxPCy化簡后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).化簡后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP將上式積分，得其中C為任意常數(shù).(6) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為代入方程(1)中，得，)(e )()( e )()(e )()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP.e22dd2的通解求微分方程xxxyxy這是一階線性非齊次微分方程.，即分方程為原方程所對應的齊次微解法xxyyxyxyd2d , 02dd 1，Cxyl

8、nln 2，由常數(shù)變易法得2e )( xxCy.e 2xCy即例1 通過把對應的線性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解，這種方法稱為常數(shù)變易法.，代入原方程得及將2222e2e )(2e )(2e )( ddxxxxxxxCxxCxCxyy，化簡得xxC2)( .d2)( 2為任意常數(shù)其中，積分得CCxxxxC.e )(22xCxy故得原線性非齊次微分方程的通解為，則22e )(2e )( dd xxxxCxCxy解法2 直接用通解公式(6).，2e2)(,2)(xxxQxxP代入公式(6),Cxxyxxxxxdee2ed2d22得所求線性非齊次方程的通解為

9、Cxxxxxdee2e222. )(ed2e222CxCxxxx.edd的通解求微分方程xxyxyxxxQxxPe)(,1)(代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為Cxyxxxxxdeeed1d1Cxxxxde1Cxxxxdeeeln1ln0 ),ee(1xCxxxx. 0 ,ee xxCxyxx或寫成例2xyxxyxe1dd 0 時，把原方程改寫為當解.0)0(1sincos 的特解滿足初值條件求微分方程yxyxyxxQxxPsec)(tan)(，代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為Cxxyxxxxdeseced)tan(d)tan(CxxxxCxxxxdcosseccos1d

10、esececoslncosln例3，把原方程改寫為xxyysectan 解.seccos , 00)0(xxxxyCy故得所求特解為代入通解中，得),(cos1dcos1CxxCxx.dd3的通解求微分方程yxyxy對于未知函數(shù)x(y為自變量)來說，所給方程就是一階線性非齊次方程，對未知函數(shù)x的一階線性非齊次方程(8) )()(ddyQxyPyx 1dd23即，yxyyyxyx(7) ,1dd 2yxyyx例4對于未知函數(shù)y，它不是線性方程，但是方程可改寫為解(9) de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP的通解公式為2)(,1)( yyQyyP方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述

11、方程的通解為Cyyxyyyydeed12d1Cyyyydeeln2ln.2d212CyyCyyyy) 1 ( )()(xfyn（一y(n)=f(x)型的微分方程，兩端積分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn方程可改寫為，或xxfyxfyxnnd)( )(d )()(dd)1()1(再積分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次積分n次，得方程(1)的含有n個任意常數(shù)的通解.四、可降階的高階微分方程四、可降階的高階微分方程.sin2的通解求微分方程xxyxCxxyd)cos(12，3221432132cos121 dsin31CxCxCxxCxCxCxxy.,cos121,2321322

12、1411都是任意常數(shù)其中，即得記CCCCxCxCxxyCC，213sin31CxCxx例1，次，得對所給方程依次積分三12cosd)sin2( Cxxxxxy解( ,) yf x y(二)型的微分方程(2) ),( yxfy 這是關于變量x和p的一階微分方程，若能求出其通解，設為 ，即有),(1Cxp，或xCxyCxxyd),(d ),(dd 11.dd , pxpypy則通過變量代換微分方程，),(ddpxfxp代入方程(2)，得.d),( 21CxCxy兩端積分，得方程(2)的通解.e1的通解求微分方程xxyxy1d1d1deeeCxxpxxxxx這是一階線性非齊次方程，利用通解公式，可得例2，代入原方程，得，則設xxpxxpxpypye1dd dd解，)e(de11CxCxxxx1lnlndeeeCxxxxx，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e( d)e(11于是有再積分一次，得原方程的通解為2212e ) 1(CxCxx).2( e ) 1(11221CCCxCxx.3 , 1:12002的特解滿足初值條件求微分方程xxyyyxxy，兩端積