多邊形內(nèi)角和與外角和學(xué)習(xí)要點(diǎn)

1、多邊形內(nèi)角和與外角和學(xué)習(xí)要點(diǎn)一、了解一種數(shù)學(xué)思想多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)是通過(guò)連接對(duì)角線，將多邊形分割為三角形，然后將多邊形 的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為我們所熟知的三角形的內(nèi)角和加以解決像這種把一個(gè)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 熟悉的問(wèn)題加以解決的思想方法，在數(shù)學(xué)中稱為化歸思想，化歸思想是數(shù)學(xué)研究與解題的 重要思想之一，有著十分重要的應(yīng)用，像外角和的推導(dǎo)也是采用化歸思想，將外角和轉(zhuǎn)化 為內(nèi)角和.二、理解兩個(gè)公式的推導(dǎo)理解多邊形內(nèi)角和公式及外角和公式的推導(dǎo)，可以讓我們把公式的來(lái)龍去脈弄得一清 二楚，從而加深對(duì)公式的理解與掌握，更重要的是能夠從中學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)思想方法.n邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和=（n 2）18

2、 0 °，其推導(dǎo)方法可以有如 下三種：方法1:從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引n邊形的（n 3）條對(duì)角線，把n邊形分割為（n 2） 個(gè)三角形（如圖1），則這（n 2）個(gè)三角形的內(nèi)角和的和就是n邊形的內(nèi)角和，從而n圖1n圖2n圖3得到n邊形的內(nèi)角和=（n 2）方法2:在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接，將n邊形分割為n個(gè)三 角形（如圖2），這n個(gè)三角形的內(nèi)角和的和比n邊形的內(nèi)角和恰好多出了一個(gè)周角3 60°,因此，n邊形的內(nèi)角和=n180°360° = （n 2）180°方法3:在n邊形的一邊上取一點(diǎn)，把這一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接，把n邊形分割為（n 1）個(gè)三

3、角形（如圖3），這些三角形內(nèi)角和的和比n邊形的內(nèi)角和多出了一個(gè)平角1 8 0°,因此，n邊形的內(nèi)角和=(n1)180°180° = (n 2)180對(duì)于多邊形外角和等于3 6 0 °,其推導(dǎo)過(guò)程的關(guān)鍵是運(yùn)用相鄰?fù)饨桥c內(nèi)角互補(bǔ)，將外角化歸為內(nèi)角假設(shè)/ a、/ a2、/ A的外角依次是/ A、/ A、/ A , 則/ Ai =180°/ A、/ A =180°/ A、/ An =180°/ A , 所以/ A +/ A2 +/ An = (18 0°/ A1) + (180°/ A2 ) + (1 80 /

4、An ) =nX180 一 (/ A + / A2 + / An )=n180 一 (n 2)180°=360°.三、掌握三個(gè)特征對(duì)于n邊形的內(nèi)角和等于(n 2)X18 0°及外角和等于3 6 0 °，在學(xué)習(xí)中要注意理解和掌握以下三點(diǎn)：(1) 邊數(shù)每增加1邊，內(nèi)角和就增加18 0° 內(nèi)角和的度數(shù)是180°的整數(shù)倍(2) 內(nèi)角和公式可作為方程運(yùn)用；當(dāng)已知n邊形的內(nèi)角和時(shí)，利用內(nèi)角和公式列方程可求它的邊數(shù)n .如：已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1 0 8 0°, 求它的邊數(shù)n.首先可 以運(yùn)用公式列出方程(n 2)X180°

5、=1080 °，再解這個(gè)方程即可得n = 8.(3) 多邊形的外角和與邊數(shù)n無(wú)關(guān)，永遠(yuǎn)是3 6 0 ° .因此，內(nèi)角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角問(wèn)題來(lái)解有時(shí)可以起到化難為易、以簡(jiǎn)馭繁的巧妙效果.如何求多邊形的邊數(shù)山東 趙衛(wèi)東求一個(gè)多邊形的邊數(shù)，條件各異，方法也就很多。歸納起來(lái)，有以下幾種方法：1. 利用內(nèi)角和求當(dāng)直接或間接知道多邊形的內(nèi)角和時(shí)，可根據(jù)內(nèi)角和公式(n-2) 180 °來(lái)求其邊數(shù)。例2若n邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，貝U n等于()。(A) 4( B) 5( C) 6(D) 7解：由題知，(n-2)x 180 ° =2 x 360 °，解得 n

6、=6。故選(C)。2. 利用外角和求當(dāng)直接或間接知道每個(gè)都相等的外角時(shí)，可利用外角和360°除以外角的度數(shù)求邊數(shù)。例4如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都為144°,那么它的邊數(shù)為()。(A) 8( B) 9( C) 10( D) 11解：由題知，該多邊形的每一個(gè)外角也都相等，為36°, 360° -36° =10。故應(yīng)選(C)。3. 利用對(duì)角線求從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引(n-3)條對(duì)角線；n邊形共有 山 3)條對(duì)角線。2故知道了對(duì)角線的情況，可以求多邊形的邊數(shù)。例5 一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)與它的邊數(shù)相等，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為()。(A) 7(B)

7、 6( C) 5( D) 4解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,由題意得3)=n，解得n=5。故選(C)。2通話次數(shù)與多邊形對(duì)角線的條數(shù)河北杜友平生活中我們經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題:今年暑假，陽(yáng)光中學(xué)安排全校師生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，將每班分成三個(gè)小組，每組派一名教師作為指導(dǎo)老師，為了加強(qiáng)同學(xué)間的協(xié)作，學(xué)校要求各班每?jī)扇酥g（包括指導(dǎo)老師）每周至少通一次電話，現(xiàn)知該校七年級(jí)一班共有學(xué)生50名，那么該班師生之間每周至少要通幾次電話？為了解決這一問(wèn)題，我們把該班師生人數(shù)n與每周至少通話次數(shù) s之間的關(guān)系用下列模型來(lái)表示（如圖1）請(qǐng)你根據(jù)上述模型，求出該班每周師生間至少要通多少次電話？這是一道與日常生活密切相關(guān)的問(wèn)題

8、，如果只從發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間關(guān)系的角度來(lái)解決此題將非常抽象，觀察上面的模型，我們很輕松的聯(lián)想到多邊形的對(duì)角線的條數(shù)。在本期的探索互動(dòng)版一道課本題引出的思考一文中，已經(jīng)探索出n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為n（n 3）。這是一個(gè)十分有用的結(jié)論，現(xiàn)在我們?cè)摻Y(jié)論來(lái)解決上面的通話問(wèn)題。2分析：通過(guò)對(duì)上面模型的觀察發(fā)現(xiàn)，每周師生通話次數(shù)=多邊形的邊數(shù)+多邊形的對(duì)角線條數(shù)。解：將該班師生53人看作53個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為53邊形的頂點(diǎn)，53邊形共有53條邊, 共有對(duì)角線53（53一3）=1325 （條）。2所以該班每周師生至少共要通話1325+53=1378次。這樣解決起來(lái)就很方便了。與此類似的還有：某縣教研室的數(shù)學(xué)教研員李