最小二乘法數(shù)據(jù)擬合

1、最小二乘法數(shù)據(jù)擬合設(shè)給定數(shù)據(jù)(Xi，fi), (i =1,2,m)在集合：二Spanp0,訂n中找一個函數(shù)n(i)S*(x)八 a； k(x) , (n : m)k 3：0其誤主曰 差疋、；i = S (xj - f， (i =1，2,，m) (2)使S* (x)滿足mm' 汀(Xi)S*(x)- fi2i Aim2=Sm)G(x)S(fi(xQ是a,b上給定的權(quán)函數(shù)。上述求逼近函數(shù)S*(x)的方法就稱為曲線擬合的最小二乘法。滿足關(guān)系式(3)的函數(shù)S* (x)稱為上述最小二乘問題的最小二乘解。并且有結(jié)論：1)對于給定的函數(shù)表(冷fj，(i =1,2/ ,m)，在函數(shù)類門=Span( 0

2、, / / n中存n在唯一的函數(shù)S*(x)八ak ;：k(x)，使得關(guān)系式 成立。k -02)最小二乘解的系數(shù) a0,a*,，a；可以通過解法方程n、( ；k, ;：j)ak =(f, )，(j =0,1,2/ ,n)k =0作為曲線擬合的一種常用的情況，如果討論的是代數(shù)多項(xiàng)式擬合，即取 °, 1, n二1,X,X2, ,xn那么相應(yīng)的法方程(4)就是oZXioaXiZ-2Xi-onXiZnXi-Fn2 1co-aaHan一產(chǎn)EnIXm其中，.=（xi），并且將7 簡寫成“7n此時，S （x） =7 akxk，稱它為數(shù)據(jù)擬合多項(xiàng)式，上述擬合稱為多項(xiàng)式擬合。7例：已知某高度傳感器測得的

3、數(shù)據(jù)如下表:表1序號i1234567時間xi（秒）1234678高度yi（米）2367532試用最小二乘法求多項(xiàng)式曲線與此數(shù)據(jù)組擬合。（一）算法：解：取二次方多項(xiàng)式去擬合（當(dāng)然也可以取三次、四次等，次數(shù)越高計(jì)算越復(fù)雜）2y = f （x） = ao aix a2x由式（5）可建立法方程組（其中取(Xi)二1)憶1Z xz2Xii壬i mi壬777送Xi送x2z3Xii=1i =1i =1777產(chǎn)Xi22遲Xi3z4Xi=1i =1由表1的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出777為Xi，送x2，z3Xim=1i =1777工yiim7a1貝一為Xi%i=17為 xi2yiI77i1234567求和s時間xi（秒）1

4、23467831高度yi（米）236753228i =1i =17,'x2yii =17x4，、乞i d計(jì)算結(jié)果列在表2中2x149163649641793x18276421634351211714x116812561296240140968147w2618283021161212Xi y21254112180147128635將表2中算得的結(jié)果代入法方程(6),可得：4a0 10印 30a2 二-1980d0a30a1 +100a2 =/926Q0a° +100ai +354a2 =-14762解方程組可得：30 = -547< a<i = 344.8a? = 8故所求擬合曲線為：y = f(x) =1.3185 2(二)用MATLAB編程求解：多項(xiàng)式函數(shù) 使用polyfit (x,y,n)，n為次數(shù)擬合曲線x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;解：MATLAB 程序如下：x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;p=polyfit(x,y,2)x1=0:0.01:10;y1=polyval(p,x