加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

1、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高解題能力. 蔣集九年制學(xué)校 陳業(yè)龍數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的概念，是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展中的兩大基石。在數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。正如數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。一、 數(shù)形結(jié)合的意義 1.簡(jiǎn)化解題過(guò)程2XVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

2、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV5例1，化簡(jiǎn):x-2+x-5的值。分析：x的值未知，可以通過(guò)畫數(shù)軸，分

3、類討論的方法。當(dāng)x<2時(shí)，原式=-(x-2)-(x-5)=-x+7;xY10當(dāng)x=2時(shí), 原式=0-x+5=-x+5=3;當(dāng)2<x5時(shí), 原式=x-2-x+5=3;當(dāng)5<x時(shí), 原式=x-2+x-5=2x-7; 借助數(shù)軸，直觀形象，使學(xué)生易學(xué)易懂。例2：比較x2與x的大小。分析；若用代數(shù)方法，學(xué)生感到茫然，若結(jié)合形來(lái)考慮簡(jiǎn)單得多。設(shè)函數(shù)Y=x2-x,畫出它的圖像，如圖，通過(guò)觀其形，可直接得出：當(dāng)x<0或x>1時(shí)Y>0,即x2-x>0,x2>x;當(dāng)x=0或x=1時(shí)，Y=0,即x2-x=0, x2=x ；當(dāng)0<x<1時(shí)，Y<0,即x

4、2-x<0, x2<x.ADCB2.降低解題難度，提供簡(jiǎn)捷的解體途徑例3.求ctg100-4cos100的值。分析：此題表達(dá)式雖然簡(jiǎn)單但似乎無(wú)從下手，注意到三角形的邊角關(guān)系，可構(gòu)造如圖所示的三角形ABC，使C=900, A=100,BC=1,D為AC上一點(diǎn)，且使BDC=300,則BD=2, 且ABD=200在ABC中，由正弦定理，得AD.sin200=BD·sin100，AD=BD·sin200/sin100,又AC=ctg100, ctg100-4cos100=AC-AD=CD= 。3.是使抽象知識(shí)直觀形象集合與集合之間的關(guān)系，集合中的交、并、補(bǔ)、差運(yùn)算等問(wèn)題

5、較抽象，如果利用數(shù)形結(jié)合，借助圖形進(jìn)行思考，可使各集合之間的關(guān)系直觀明了，使抽象的集合運(yùn)算建立在直觀的形象思維之上。0xy例如：已知二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置以及與Y軸的交點(diǎn)如圖所示，判斷點(diǎn)（ac,-b+c）在第幾象限。分析：由圖象可知a>0,-b/(2a)<0,c<0,于是可得b>0,ac<0,-b+c<0,因此點(diǎn)（ac,-b+c）在第三象限。4.激發(fā)興趣，提高學(xué)習(xí)效率利用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，降低問(wèn)題的難度，使學(xué)生可以看得到，摸得到，聽(tīng)得到，有圖有數(shù)，激發(fā)學(xué)生的形象思維，抽象思維能力，有利于學(xué)生的發(fā)展。二.數(shù)形結(jié)合思想，在初中

6、數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合思想是指數(shù)（量）與形（圖）結(jié)合起來(lái)分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想策略。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，怎能分作兩邊分，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要性。數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)；也可以使圖形的性質(zhì)，通過(guò)數(shù)量間的計(jì)算、分析，達(dá)到更加完整、嚴(yán)密、準(zhǔn)確。因此我們?cè)谘芯拷鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合。EABCDFVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV

7、VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV1.幾何問(wèn)題用代數(shù)方法來(lái)解決例如：如圖ABC中（AB>AC），

8、AD平分ABC,AD的中垂線和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，設(shè)CE=a, DE=b,BE=c,試證：關(guān)于x一元二次方程ax2-2bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。分析：本題以幾何圖形為背景，討論一元二次方程根的情況，是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)題型，從方程的角度思想要證明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，既要證明=4b2-4ac=0,即要證明b2=ac。另外從題設(shè)考慮圖形相關(guān)性質(zhì)，即要證明DE2=CE*BE這里要考慮相似三角形,于是連接AE,可證AECBEA從而使命題獲證.解:連接AE,EF是AD的中垂線,AE=DE, EAD=EDA而EAC=EAD-CAD, EBA=EAD-BAD,又,AD平分BAC , CAD=BAD,

9、 EAC=EBA, AECBEA,得=,由AE=DE,從而得DE2=CE*BE,即b2=ac, =(-2b)2-4ac=0,則方程ax2-2bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。2.代數(shù)問(wèn)題用幾何方法來(lái)解決例如：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小梅為了求的值，設(shè)計(jì)如圖所示的圖形。請(qǐng)你利用這個(gè)圖形求的值為圖4請(qǐng)利用圖5再設(shè)計(jì)一個(gè)能求的值幾何圖形。分析：本題難度很大，在初中中等以上學(xué)生才能理解，而通過(guò)畫圖，可以使多數(shù)學(xué)生都能理解，而且形象生動(dòng)。圖5 3.由數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合，用形解決數(shù)的問(wèn)題（1）利用數(shù)軸理解相反數(shù)的概念，便具有了幾何意義，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上實(shí)質(zhì)上是它們到原點(diǎn)的距離相等，方向相反。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就

10、是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。一元一次不等式組的解集是借助數(shù)軸找各個(gè)不等式解集的公共部分等都充分體現(xiàn)了由數(shù)思形思想。例1：已知如圖：a、b、c對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上， 化簡(jiǎn)-a+c b0ac例1 分析觀察數(shù)軸：a>0, c-b>0, a+c>0 原式=a-(c-b)-(a+c) =b-2cABCbca 例2 （2）解直角三角形的應(yīng)用更是數(shù)形結(jié)合的典型材料。 例2：已知 a, b, c為Rt ABC 的三邊，其中C=900， 化簡(jiǎn):a-b-c+ 分析這里 a, b, c是直角三角形三邊，具有幾何意義，如圖, 由三角形三邊關(guān)系定理：a<b+c, a+b>c, c<

11、a+b, 又C=900，勾股定理：a2+b2=c2. 因此，原式= -（a-b-c) +(a+b-c)+c -(c-a-b) =a+3b（3）平面直角坐標(biāo)系建立后使有序?qū)崝?shù)對(duì)具有了幾何意義，由點(diǎn)可確定點(diǎn)的坐標(biāo)，由坐標(biāo)可確定點(diǎn)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)只有利用它們的圖象，才能更深刻地理解它們的性質(zhì)。 例3：已知拋物線 y=ax2+bx+c(a0)經(jīng)過(guò)A(3,0), B(0,-3), C(-2,5) 三點(diǎn)。例3P（1，-4）B12Q3-1-2AO-1-2-3-4（1）求這條拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 P，求 ABP 的面積。 分析（1）過(guò)程略，拋物線的解析式為 y=x2-2x-3

12、.（2）畫出函數(shù)圖像，運(yùn)用圖像求解（如圖） 頂點(diǎn)P（1，-4），作 PQx 軸， 垂足為 Q。 SABP =SAPQ + S梯形OBPQ - SAOB =3通過(guò)以上例子，我們看到了代數(shù)問(wèn)題如何通過(guò)幾何直覺(jué)產(chǎn)生作用；把代數(shù)的形式規(guī)律用幾何圖象直觀表示，能夠加強(qiáng)審美能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。ABP 4.由形思數(shù)，形數(shù)結(jié)合，用數(shù)解決形的問(wèn)題（1）利用數(shù)來(lái)解決幾何的面積問(wèn)題。 例4：如圖所示，已知矩形ABCD 的邊BC上一點(diǎn)P, CD邊上一點(diǎn)Q，連結(jié)AP，PQ，AQ，得SABP =2，SPCQ =3，SADQ =4，求矩形ABCD的面積。 分析由形思數(shù)，形數(shù)結(jié)合，由于四邊形ABCD是矩形， 可知

13、ABP，PCQ，ADQ都為直角三角形，又由SABP =2，SPCQ =3， SADQ =4，可以得到它們的對(duì)應(yīng)式子為AB ·BP =4，PC ·CQ =6，DQ · AD =8,這樣可利用解方程組的方法來(lái)求解。PABCDQyxmn例4 設(shè)AB= x，BC= y,BP= m, CQ= n,可列方程組：(1)+(2)+(3), 得xy+ = 18 （4）例5ACEBDFPQR （1）×（3），得xy · m(x-n) = 32 (5) 由（4）代入（5），得xy(18-xy) = 32, 即(xy)2 - 18xy + 32 = 0, 解得：xy=

14、16 或xy = 2(不合題意，舍去) 所以，矩形ABCD的面積是 16 （2）利用數(shù)來(lái)解決圓的有關(guān)求證問(wèn)題 例5：如圖，已知：O 中三弦AB，CD，EF 兩兩相交于點(diǎn)P，Q，R，并且AP=EQ= RD，CP=QB=RF，求證：RQP 是等邊三角形。分析 此題用純幾何法證明難度較大，可從數(shù)量關(guān)系上來(lái)考慮：設(shè)AP =EQ= RD = x，CP=QB=RF = y ,PQ= a, QR= b, RP= c,由相交弦定理，得 化簡(jiǎn)，得 將三式相加，得(a+b+c)x = (a+b+c)y, x = y 可得 a = b = c, RQP是等邊三角形。 從以上兩例可以看出，形的直覺(jué)缺少嚴(yán)格性，形少數(shù)時(shí)

15、難入微。 總之，數(shù)和形是事物的數(shù)學(xué)特征的兩個(gè)相互聯(lián)系的側(cè)面，通常是指數(shù)量關(guān)系和空間形式之間的辯證統(tǒng)一。數(shù)與形的結(jié)合使得代數(shù)與幾何緊密相聯(lián)，息息相關(guān)，使得數(shù)學(xué)更具有生機(jī)和活力。中考中數(shù)形結(jié)合試題舉例1.與整式的加減有關(guān)的數(shù)形結(jié)合題例1、（2006長(zhǎng)春市）如圖，陰影部分的面積是AAxyBxyC4xy D2xy【分析】采用分割或拼補(bǔ)方法計(jì)算,如采用分割的方法,得圖形得面積可分為兩個(gè)長(zhǎng)方形得面積,得（2x0.5x）·2y0.5x·y=3xy0.5xy=xy,故應(yīng)選A.2.與整式乘法（乘法公式）的驗(yàn)證的有關(guān)數(shù)形結(jié)合問(wèn)題例2（1）（2006年荊門）.在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b

16、的小正方形(ab),再沿虛線剪開(kāi),如圖(1),然后拼成一個(gè)梯形,如圖(2),根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系,表明下列式子成立的是( )(A)a-b=(a+b)(a-b). (B)(a+b)=a+2ab+b.(C)(a-b)=a-2ab+b. (D)a-b=(a-b).（2）（2006年天門）如下圖a，邊長(zhǎng)為a的大正方形中一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個(gè)矩形，如圖b。這一過(guò)程可以驗(yàn)證（）A、a2+b2-2ab=(a-b)2; B、a2+b2+2ab=(a+b)2; C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b); D、a2-b2=(a+b) (a-b)aabb圖a圖b(第3題圖

17、)【分析】（1）從所給兩個(gè)圖形面積相等的關(guān)系著手，圖（1）的面積為a-b；圖（2）的面積為（2a+2b）·（a-b）=(a+b)(a-b);則a-b=(a+b)(a-b).，則應(yīng)選A。（2）從兩個(gè)圖形陰影部分得面積著手,得a-b=(a+b)(a-b),應(yīng)選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察如何把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)也體現(xiàn)了新課標(biāo)發(fā)展符號(hào)感的理念。 3.與拼圖有關(guān)的數(shù)形結(jié)合題例3第3題圖（2006年煙臺(tái)市）如圖，有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為的正方形卡片張，邊長(zhǎng)分別為，的矩形卡片張，邊長(zhǎng)為的正方形卡片張用這張卡片拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)【分析】本題的關(guān)鍵找到所

18、拼矩形的長(zhǎng)和寬,再結(jié)合實(shí)際進(jìn)行拼圖.從面積角度出發(fā)，16張三種卡片的面積和為a6ab9 b,根據(jù)拼接前后的面積不變（無(wú)重疊），則知所拼正方形的邊長(zhǎng)為【點(diǎn)評(píng)】注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間得聯(lián)系,提高解決問(wèn)題的能力,是新課標(biāo)提出的較高要求.本題較好體現(xiàn)了使學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境建立模型解釋應(yīng)用與拓展”的解決問(wèn)題的過(guò)程.例4.（2006杭州） 三種不同類型的矩形地磚長(zhǎng)寬如圖所示, 若現(xiàn)有A類4塊, B類4塊, C類2塊, 要拼成一個(gè)正方形, 則應(yīng)多余出1塊 _ 型地磚; 這樣的地磚拼法表示了一個(gè)兩數(shù)和的平方的幾何意義, 這個(gè)兩數(shù)和的平方是 _ . 【分析】：圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)

19、中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)幾何圖形作出代數(shù)解釋和用幾何圖形的面積表示代數(shù)恒等式是互逆的，一般是從面積方面進(jìn)行考慮。若則應(yīng)多余出1塊 為A 型地磚,則這三類地磚的面積為3m2+4mn+2n2,此式不為完全平方式,即不能拼成一個(gè)正方形; 若則應(yīng)多余出1塊 為B 型地磚,則這三類地磚的面積為4m2+3mn+2n2,此式不為完全平方式,即不能拼成一個(gè)正方形; 若則應(yīng)多余出1塊 為C 型地磚,則這三類地磚的面積為4m2+4mn+n2,此式為完全平方式,即不能拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（2mn）正方形;故應(yīng)填寫: C ; (2m+n)2=4m2+4mn+n2 (答(2m+n)2或4m2+4mn+n2均可)4.與因式分解有關(guān)的數(shù)

20、形結(jié)合題例5（2005年）.如圖，邊長(zhǎng)為a、b的矩形，它的周長(zhǎng)為14，面積為10，則a2b+ab2的值為_(kāi). 分析: 要求a2b+ab2的值,一般有兩種思路,一是根據(jù)已知條件求出a,b具體的值代入計(jì)算,但工具現(xiàn)有的知識(shí),求a,b的值比較困難;二是利用因式分解將a2b+ab2進(jìn)行變化,然后利用整體思想代入求值.顯然利用第二種方法比較簡(jiǎn)單,從圖上可以看出矩形的面積是ab,周長(zhǎng)是2(a+b),工具已知條件可得2(a+b)=14, ab=10, 所以a+b=7, ab=10. 解: a2b+ab2=ab(a+b)=7×10=70. 5.與探索規(guī)律有關(guān)的數(shù)形結(jié)合題例6（2006年河北）觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）請(qǐng)你在和后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式：4×014×13；4×114×2