從統(tǒng)計學(xué)的角度理解“平均數(shù)”

1、從統(tǒng)計學(xué)的角度理解“平均數(shù)從統(tǒng)計學(xué)的角度理解平均數(shù)教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)四年級下冊平均數(shù)教學(xué)考慮：學(xué)生如何學(xué)習(xí)平均數(shù)這一重要概念呢？傳統(tǒng)教學(xué)側(cè)重于對所給數(shù)據(jù)有時甚至是沒有任何統(tǒng)計意義的抽象數(shù)計算其平均數(shù)，即側(cè)重于從算法的程度理解平均數(shù)，這容易將平均數(shù)的學(xué)習(xí)演變?yōu)橐环N簡單的技能學(xué)習(xí)，忽略平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義。因此，?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準2021年版?特別強調(diào)從統(tǒng)計學(xué)的角度來理解平均數(shù)，然而什么是從統(tǒng)計學(xué)的角度來理解平均數(shù)呢？在教學(xué)中如何落實？如何將算法程度的理解與統(tǒng)計學(xué)程度的理解整合起來？平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體程度一般程度。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)雖然可能碰巧等于

2、某個原始數(shù)據(jù)，但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均程度。要對兩組數(shù)據(jù)的總體程度進展比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因為平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。那么，在教學(xué)中如何落實呢？筆者在課的起始環(huán)節(jié)設(shè)計了記數(shù)游戲的教學(xué)情境，并精心設(shè)計了歡歡的三次記憶數(shù)據(jù)都是5，目的是讓學(xué)生憑直覺體驗平均數(shù)的代表性；而樂樂的三次記憶數(shù)據(jù)分別是5、4、9，到底哪個數(shù)據(jù)能代表樂樂的一般程度呢？自然激發(fā)了學(xué)生的認知沖突。設(shè)計這些活動的核心就是讓學(xué)生體驗平均數(shù)的代表性。計算平均數(shù)通常有兩種方法，即移多補少和總數(shù)份數(shù)，每種方法的教育價值各有側(cè)重點，其核心都是強化對平均數(shù)意義的理解，而非僅僅計算出結(jié)

3、果。教學(xué)中，利用直觀形象的象形統(tǒng)計圖，通過動態(tài)的移多補少過程，為理解平均數(shù)所表示的均勻程度提供感性支撐。這樣做，強化了平均數(shù)的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體程度的進一步直觀理解，強化了對平均數(shù)意義而非算法的理解。在通過兩種方法求出平均數(shù)之后，一再追問：這里的平均數(shù)6是樂樂第一次記住的個數(shù)嗎？是樂樂第二次、第三次記住的個數(shù)嗎？那它代表的終究是哪一次的個數(shù)？通過這樣的追問，連同后續(xù)教學(xué)中的計算自己記數(shù)的平均數(shù)，幫助學(xué)生理解平均數(shù)只刻畫整體程度而不是真正的其中某一次記住的個數(shù)，從而強化了平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義。由于平均數(shù)這個概念對小學(xué)生而言是非常抽象的因為它虛幻，學(xué)生不能詳細看到，平均數(shù)的背景

4、也很復(fù)雜，因此能表達出平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況或者會計算平均數(shù)并不等于真正理解了平均數(shù)，還要看能否在不同情境中運用平均數(shù)，能使用它來解決實際問題。假設(shè)學(xué)生能在稍復(fù)雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題，說明學(xué)生就初步理解了平均數(shù)，而且也更容易感受到平均數(shù)的應(yīng)用價值。為此，教學(xué)中精心設(shè)計了全班同學(xué)的平均身高辯一辯，說一說想一想，選一選的應(yīng)用練習(xí)，把平均數(shù)與真實的生活情境相鏈接，在解決現(xiàn)實問題的過程中應(yīng)用平均數(shù)、體驗平均數(shù)，從而更深化地理解平均數(shù)的意義。教學(xué)過程：一、記數(shù)游戲認識平均數(shù)規(guī)那么：每次出現(xiàn)10個數(shù)字，壚察2秒鐘，看你每次能記住幾個數(shù)字。1.師生一起玩三次，讓學(xué)生記錄自己每次記住

5、的數(shù)字個數(shù)。2.出示：歡歡和樂樂比賽，誰記住的數(shù)字多。出示：1歡歡3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計表3個5逐次呈現(xiàn)。師：還真巧，歡歡三次都記住了5個。看來，要表示歡歡能記住的個數(shù)，用哪個數(shù)比較適宜？為什么？生：因為她三次都是記住了5個，所以用5這個數(shù)代表歡歡的程度。2樂樂3次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計表。師：樂樂三次記住的個數(shù)都不一樣，又該用哪個數(shù)來表示樂樂記住數(shù)字的一般程度呢？同學(xué)們意見不一質(zhì)疑：能不能用9來表示樂樂記住的個數(shù)呢？對歡歡不公平那能不能用4來表示樂樂記住的個數(shù)呢？對樂樂不公平生：應(yīng)該計算出這三個數(shù)的平均數(shù)，用平均數(shù)表示比較公平。師：怎樣求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？生：4+5+93=6個，先求出三次記

6、住的總個數(shù)，再用總個數(shù)除以3，就是平均一次記住的個數(shù)。板書：總數(shù)次數(shù)=平均數(shù)生：還可以把多的數(shù)給少的數(shù)，勻一勻，求平均數(shù)。出示：象形統(tǒng)計圖，動態(tài)呈現(xiàn)移多補少的過程。師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數(shù)都一樣多，這種求平均數(shù)的方法叫作移多補少。移完后，樂樂每次記住了幾個？6個能代表樂樂記住數(shù)字的一般程度嗎？能師：其實，無論是移多補少，還是總數(shù)次數(shù)，目的只有一個，就是使原來幾個不一樣的數(shù)變得同樣多，數(shù)學(xué)上把這個數(shù)叫作原來這幾個數(shù)的平均數(shù)板書。在這里，我們就說6是5、4、9這三個數(shù)的平均數(shù)。追問：這里的平均數(shù)6是樂樂第一次記住的數(shù)字嗎？不是是他第二次、第三次記住的數(shù)字嗎？不是那奇怪

7、啦，哪一次也沒記住6個數(shù)字呀？那它終究代表的是什么呢？生1：代表的是平均記住的個數(shù)。生2：代表的是他的平均程度。師：6個是三次的個數(shù)勻出來的，平均數(shù)6代表的是這三次的平均程度。板書：平均程度用平均數(shù)6代表樂樂的程度，公平嗎？生：公平！二、聯(lián)絡(luò)實際深化理解平均數(shù)1.計算自己的記數(shù)平均數(shù)讓生獨立計算出自己記數(shù)的平均數(shù)，全班交流。生1：我三次分別記住了4個、6個、8個，平均數(shù)是4+6+83=6。生2：我三次分別記住了6個、8個、9個，平均數(shù)是6+8+937.7。生3：我三次分別記住了6個、10個、9個，平均數(shù)是6+10+938.3。師：很奇怪！你們記數(shù)時，要么記住了，要么沒有記住，怎么出現(xiàn)了小數(shù)呢？

8、生1：因為這是平均數(shù)，并不是實際記住的數(shù)，所以可以是小數(shù)。生2：平均ex并不是真實的數(shù)，是代表平均程度的數(shù)，所以出現(xiàn)小數(shù)很正常。師：確實，平均數(shù)并不是每一次記住的真實的個數(shù)，而是一個虛幻的數(shù)，代表的是這一組數(shù)據(jù)的平均程度。2.生活中的平均數(shù)師：說一說生活中你在哪里見到過平均數(shù)。生：考試平均分、平均身高、平均體重、平均年齡現(xiàn)場測量全班最高和最矮的兩位同學(xué)的身高1.65米、1.41米。師：你估計一下我們班同學(xué)的平均身高是多少米？生：1.45米、1.48米、1.50米、1.47米師：你們?yōu)槭裁床还烙嬈骄砀呤?.65米呢？生：1.65是最大的數(shù)，它還要移一些補給少的。所以不可能是1.65米。師：你們

9、為什么不估計平均身高是1.41米呢？生：1.41米是最小的數(shù)，其他數(shù)都比它大，移一些補給它以后，就不止是1.41米了。師：這樣看來，盡管還沒有計算，但我們可以肯定的是，平均身高應(yīng)該比這里最大的數(shù)生1：小一些。生2：還要比最小的數(shù)大一些。生3：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：平均數(shù)是一個生：不大不小的數(shù)。板書：不大不小的數(shù)三、應(yīng)用練習(xí)深化理解平均數(shù)1.辯一辯，說一說1學(xué)校籃球隊隊員的平均身高是160厘米，籃球隊員壯壯的身高有可能是155厘米嗎？ 生：有可能。師：不對呀！不是說隊員的平均身高是160厘米嗎？生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一壯壯是隊里最矮的那個，當然有可

10、能是155厘米了。生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般程度，并不代表隊里每個人的身高。壯壯有可能比平均身高矮，如155厘米，當然也可能比平均身高高，如170厘米。師：看來，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的一般程度，并不是其中的一個數(shù)據(jù)。2池塘平均水深120厘米，亮亮想：我身高155厘米，下水游泳一定不會有危險。 生：不對！師：為什么呀？亮亮的身高不是已經(jīng)超過平均水深了嗎？生：平均水深120厘米，并不是說池塘里每一處的水深都是120厘米?？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比方180厘米。所以，亮亮下水游泳可能會有危險。師：說得真好！想看看這個池塘水底下的真實情形嗎？出示池

11、塘水底的剖面圖，印證同學(xué)的說法。生很驚訝：原來是這樣，真的有危險！3樂樂所在的三1班，同學(xué)們的平均身高是1.36米；可可所在的三2班，同學(xué)們的平均身高是1.32米。判斷下面說法是否正確，為什么？樂樂一定比可可長得高。 生：不對。因為樂樂有可能是三1班里最矮的，他的身高不到1.36米，甚至1.32米都不到，高個同學(xué)需要勻一些身高給他；可可有可能是三2班里最高的，他的身高勻給了個矮的同學(xué)?？傮w上說，三1班同學(xué)比三2班同學(xué)長得高。 生1：不對，因為兩個班的人數(shù)有可能不一樣多。生2：是對的，因為題目中說總體上說，是看他們的總體程度，而我們學(xué)過平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體程度，所以比較平均數(shù)就行了。

12、1.36大于1.32，就說明總體上說，三1班比三2班同學(xué)長得高。師：你同意哪一種意見？生2確實，平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的總體程度，總體上說，三1班的1.36米要比三2班的1.32米高。2.想一想，選一選小林和小華進展了三場套圈比賽，每人每次都是套15個圈，下面是小林套中個數(shù)的統(tǒng)計。A.比10個多 B.比10個少 C.套中10個師：小林第三次套中的個數(shù)可能會是多少呢？為什么？師：能確定第三次套中幾個嗎？為什么？生1：7個。因為第一次的12比平均數(shù)10多2個，就需要移走2個，第二次的11比平均數(shù)多1個，需要移走1個，這樣一共要移走3個給第三次，所以第三次是10減3等于7個。生2：我補充一下他的說法

13、，因為第一次和第二次都比平均數(shù)多，它們都要移走幾個給第三次，所以第三次一定比平均數(shù)少。生3：我是算出來的，103=30個，30-12-11=7個。師：真好！利用移多補少或者計算都能知道第三次是7個。假設(shè)第三次套中的不是7個，而是4個，平均數(shù)又該是多少？生1：12+11+4=27個，273=9個。生2：不用算就能知道，原來是7個，如今是4個，少了3個，平均分到每一次上，每一次正好可以分1個，所以平均數(shù)就少了1，變成了9個。出示：兩次套圈情況統(tǒng)計圖。師：請大家觀察剛剛兩次套圈的統(tǒng)計圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：前兩次成績一樣，第三次成績變了。師：兩次的平均數(shù)呢？生：也不一樣。師：看來，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個數(shù)？生：一個數(shù)。師：難怪有人說，平均數(shù)很敏感，一組數(shù)據(jù)中的任何一個有點兒風(fēng)吹草動，都會使平均數(shù)發(fā)生