2021年高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)講義：第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

1、第 2 講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式、知識(shí)梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1) 平方關(guān)系： sin2x + cos2x= 1.(2) 商數(shù)關(guān)系：tan x =SjnX其中XMkn+扌，k Zcos x22三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)*-二二三四五六角a+2kn(kZ)n+ aan an2 an+ a2正弦sinasinasinasinacosacosa余弦cosacosacosacosasinasina正切tanatanatanatana常用結(jié)論1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形(sinacosa=1 戈 sinacosa;sina=tana cosa2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象

2、限”，其中的奇、偶是指 2 的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.、習(xí)題改編B. 2答案：sin 201.(必修 4P19 例 6 改編)已知 sina= 5an貝Vtana=(解析：選 D.因?yàn)?cosa=-1 sin2a=sinaa=:cosa2.(必修 4P20 練習(xí) T4 改編)化簡(jiǎn)1COS22B=cos 2 0tan 20解析:1COS220cos 2Ban 2sin220sin 20=sin 20cos 20就01罕所以tan一、思考辨析判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)對(duì)任意的角a,都有 sin2a+cos23=1.()若aR，貝ytana=衛(wèi)恒成立.()cosa(

3、3)sin(n- a)= sina成立的條件是a為銳角.()1 1若 cos(nn 0)=3(nZ),貝Ucos=3.()答案：(1)X(2)X(3)X(4)X二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)(1)不注意角的范圍出錯(cuò)；(2)誘導(dǎo)公式記憶不熟出錯(cuò).2 r,1 .已知 cos( a)= 3，貝Vtana=()B2選C.因?yàn)?cos( a=3,3所以 cosa= 3,則a為第二或第三象限角所以 sin解析:D.1“ 2.若 sin( n a)= 2，貝 V sin(7 n a)=3n3nnn1a+ =COsa+ 一 2n =COsa?=COs 2 一 =sina=同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（多維探究）角度一公式的

4、直接應(yīng)用所以 tansin aa=:COSa53=52= _2.解析:由 sin( n a =一sina=-1,1 得 sina=2,貝 U sin(7 no)= sin( 一a)= sin1a= ,3n,cosa+=_cos3(1)(2020 北京西城區(qū)模擬)已知a(0,所以 cos故 sina+cosa=-呼.5【答案】(1)D(2)嚴(yán)57t,cosa=-二，貝Utana=()5A.|B-14C.34D 31已知a是三角形的內(nèi)角，且tana=-3，則 sina+cosa的值為【解析】3(1)因?yàn)?cosa=-5 且a(0, n所以 sina=1-COs2a=5,所以 tanSinaa=:c

5、osa4-3故選 D.(2)由 tan1a=-3，得 sin1a=-3COSa,且 sina0,cosa0,將其代入22Sina+cosa=1,得 10cos2a=1,.1010，禾 U 用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對(duì)于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過解方程組達(dá)到解決問題的目的.角度二 sina,cosa的齊次式問題已知tana=-1，求下列各式的值:tana1sina_3cosa一 sina+cosa(2)sin2a+sin 況 cosa+2.【解

6、】由已知得 tana=|.sin a_3cos a tan a3=sina+cosatana+153.?.2sina+sin 久 cosatana+tana(2)sin2a+sin 久 cosa+2=22+2=2+2=sin2a+cos2atan2a+11212+2 亍 + 2 =2+113石.關(guān)于 sina與 cosa的齊 n 次分式或齊二次整式的化簡(jiǎn)求值的解題策略已知 tana,求關(guān)于 sina與 cosa的齊 n 次分式或齊二次整式的值.角度三 sinacosa,sinacosa之間的關(guān)系已知氏(n0),sina+cosa= 5.(1)求 sinacosa的值;sin 2a+2sin2a

7、求1 tana的值.【解1(1)由 sina+cosa=-,5平方得221sin2a+2sin acosa+cos2a=,25整理得2sinacosa 鴛25所以(sin a cos a2=1 2sin49acosa=25.由a( n,0),知 Sina0,所以 cos a0 ,貝Usinacosa0,故sinacos 5.2sin 2a+2sina2sina (cosa+sina)(2)=1tana1sinacosa2sinacosa (cosa+sina)24x125 5cosasina24175.sinacosa與 sin acos a關(guān)系的應(yīng)用技巧(1)通過平方 ,sina+cosa,

8、Sinacos a, Sinacosa之間可建立聯(lián)系 , 若令 Sina+cosa=t，則 sin 咖a=于,sinacosa=2 t2（注意根據(jù)a的范圍選取正、負(fù)號(hào)）.(2)對(duì)于 sina+cosa,sinacosa,sin acosa這三個(gè)式子，可以知一求1.1(2020 長(zhǎng)春模擬)已知 sinacosa=-,8且5na0,所以以第一或第二象限角.sin a COS a1cos a+sina=sinacosa55綜合(1)(2)知，原式=2 或一2三角函數(shù)運(yùn)算是重要的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，在正確分析條件和所求的基礎(chǔ)上明確運(yùn)算的方 向，靈活地選用三角函數(shù)公式，完成三角函數(shù)運(yùn)算.C.tan(a+ n )5nsin三+a5