3積分學(xué) 備考2011年 一級(jí)注冊(cè)結(jié)構(gòu)工程師 基礎(chǔ)考試ppt課件

1、 1.3.1 1.3.1 不定積分不定積分 1.3.5 1.3.5 平面曲線積分平面曲線積分 1.3.4 1.3.4 重積分重積分1.3 積分學(xué) 1.3.2 1.3.2 定積分定積分 1.3.3 1.3.3 廣義積分廣義積分 1.3.6 1.3.6 積分運(yùn)用積分運(yùn)用1. 直接積分法經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形, 利用根本積分公式和運(yùn)算法那么求不定積分的方法 (要求記住根本積分公式P16.2. 換元積分法第一類換元的根本思緒第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有dxxg)()()(xdxfCxF)()()()(xfxFxf的原函數(shù)易求，且注：這里要求)(1baxdadx)() 1(11baxdakdxxk

2、k)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx)(sincosxdxdx )(cossinxdxdx)cot()(arctan112xarcdxddxx)(arccos)(arcsin112xdxddxx)(21xddxx)(secsectanxdxdxx)(tancossecxddxxxdx 221)(xddxx112 xaaaxxdlnd12d 1xx求例 12dxx解：12) 12d(21xxCx| 12|ln21) 12(21xddx.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln

3、2ln)arctan(32第二類換元的解題思緒為dxxf)(dtttftx)()()(Ct )()()()(ttftCx)(1運(yùn)用該公式的關(guān)鍵為在。單調(diào)可導(dǎo)，有反函數(shù)存)(. 1tx易求。積分dtttf)()(. 2第二類換元常見(jiàn)類型有 三角代換 倒代換 根式代換等vuxvud運(yùn)用原那么:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .普通閱歷: 按“反, 對(duì), 冪, 指 , 三 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.vxvu d例例3 3 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 再次運(yùn)用分部積分

4、法再次運(yùn)用分部積分法,xu dvdxex xdex2 22dxeexxx dxexx2 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22Cxxex )(222解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 2、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()

5、(性質(zhì)性質(zhì)31、定積分定義：1.3.2 定積分定積分 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，1dxxfba )(dxxfba )()(ba 2dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù)

6、則則 )()()(abMdxxfabmba .性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式3、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf ).()()(,),()(510 xFdttf

7、xxFxfx ，求內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)在設(shè)例)()()()(21011xxxfdttfxFx 解解：)()(xfxdttfx1110 )()()()(xfxxxfxxfxxF1111111322 .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba4、牛頓萊布尼茨公式5、定積分的計(jì)算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式2第二類換元法第二類換元法3分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvu

8、dv注：應(yīng)盡能夠先用簡(jiǎn)便算法： 1、幾何意義；2、對(duì)稱性；3、奇偶性；4、重要結(jié)論1湊微分法湊微分法6、重要結(jié)論2200cossin)2(xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)dxxxxdxxxx 102112121arcsinarcsin解解： 102)(arcsinarcsinxxdx2220 dtttxt sinarcsindxxxx1121arcsin6求例dxxx2112)4(7計(jì)算例dxxx21124)( 解解：dxxxxx)( 112224428411 dx1.3.3 廣義積分廣義積分(1)無(wú)窮

9、限的廣義積分無(wú)窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0bxaxyxD)

10、()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd假設(shè)D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy)(2xyxboyDax假設(shè)D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么1.3.4 重積分化為累次積分D解解圍成由其中計(jì)算例2,1,. 822xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 .,:211xxyxDDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(2. 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分222ryx注：在極坐標(biāo)系下有注：在

11、極坐標(biāo)系下有。，后對(duì)先對(duì)化為二次積分的順序是r,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dytttttf

12、sdyxfLd)()()(, )(),(22) 1 (22)(d)(ddyxs計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化),(yxf設(shè)且)()(tty上的延續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧那么曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf闡明闡明:!(1)積分限必需滿足(2) 留意到 tttd)()(22),()(bxaxy那么有Lsyxfd),(假設(shè)方程為極坐標(biāo)方式:),()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf)()(, )(),(:ttztytxxx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,(,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2

13、xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t那么曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ延續(xù),存在, 且有其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方

14、程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00那么那么LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞區(qū)域 )域 D 邊境L 的正向: 域的內(nèi)部靠左設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,那么有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd格林公式格林公式函數(shù)在 D 上具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),yA xoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了運(yùn)用格

15、林公式為了運(yùn)用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)镈 , 那么3648 設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲那么xbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右以下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd1.3.6 積分運(yùn)用積分運(yùn)用22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110Aabxoyx12222byax解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax運(yùn)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxdsdyxabo)()(bxaxfy)(xfy xxxd所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(122.平面曲線的弧長(zhǎng))()()(ttytx所求弧長(zhǎng)