大一高數(shù)課件

1、大一高數(shù)第六節(jié)第六節(jié) 隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù) 由參數(shù)方由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù) 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法 三、三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率 五、小結(jié)五、小結(jié)大一高數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題: :隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導

2、? ?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導. .大一高數(shù)例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求求導導方方程程兩兩邊邊對對 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 大一高數(shù)例例2 2.,)23,23(,333在在該該點點的的法法線線通通過過原原點點并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程上上點點求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CCxyyxC

3、 解解,求求導導方方程程兩兩邊邊對對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然通過原點顯然通過原點. .大一高數(shù)例例3 3.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點點求求設設yyxyx 解解求求導導得得方方程程兩兩邊邊對對 x)1(04433 yyyxyx得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16

4、110 yxy大一高數(shù)二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導方法然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)求出導數(shù). .-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu大一高數(shù)例例4 4解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對x142)1(3111 xxxyy.,)4(

5、1)1(23yexxxyx 求求設設大一高數(shù)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 大一高數(shù)一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 大一高數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的

6、函數(shù)的導數(shù).,)()(參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? ?t大一高數(shù)),()(1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設設函函數(shù)數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數(shù)再設函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxd

7、tdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 大一高數(shù),)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx dtdxdtyddxdydxddxyd )(22,)()(三階可導三階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx 同理同理dtdxdtyddxdydxddxyd )(233大一高數(shù)例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax大一高數(shù).),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即

8、大一高數(shù)例例7 7.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv 大一高數(shù)解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt ,21sin,cos200gttvy

9、tvx 大一高數(shù)軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 大一高數(shù)例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan dtdxdtyddxyd 22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tat

10、sin3sec4 大一高數(shù)四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(化化率率稱稱為為相相關(guān)關(guān)變變化化率率這這樣樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的變變之之間間也也存存在在一一定定關(guān)關(guān)系系與與從從而而它它們們的的變變化化率率某某種種關(guān)關(guān)系系之之間間存存在在與與而而變變量量都都是是可可導導函函數(shù)數(shù)及及設設dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率? ?大一高數(shù)例例9 9解解?,500./140,500少少視視線線的的仰仰角角增增加加率率是是多多觀觀察察員員米米時時當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速

11、速率率為為米米處處離離地地面面鉛鉛直直上上升升一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員則則的的仰仰角角為為觀觀察察員員視視線線其其高高度度為為秒秒后后設設氣氣球球上上升升, ht500tanh 求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 tdtdhdtd 5001sec2 米米500h米米500大一高數(shù),/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時時當當h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率大一高數(shù)例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時時上上升升幾幾米米米米時時問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體體流流量

12、量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水水庫庫內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設設時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 0604000m大一高數(shù)求求導導得得上上式式兩兩邊邊對對 tdtdhhdtdV 38000,/288003小時小時米米 dtdV小小時時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率,20米時米時當當 h大一高數(shù)五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導; ;對數(shù)求導法對數(shù)求導法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù), ,按隱函數(shù)的求導法則求導按隱函數(shù)的求導法則求導; ;參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導: :

13、實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則; ;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關(guān)系通過建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈式求導法求解用鏈式求導法求解. .大一高數(shù)思考題思考題設設 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎？大一高數(shù)思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 大一高數(shù)練練 習習 題題大一高數(shù) ttyttxsincos3、曲線曲線 在在 處的法線方程處的法線方程_.

14、2 t4、已知已知 ,則則 =_； =_. teytexttsincosdxdy3 tdxdy5、設設 ,則則 =_.yxexy dxdy大一高數(shù)大一高數(shù)大一高數(shù)五、求由參數(shù)方程五、求由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的三階導數(shù)所確定的函數(shù)的三階導數(shù) .六、設六、設 滿足滿足 ，求，求 . ttytxarctan)1ln(233dxyd)(xfxxfxf3)1(2)( )(xf 大一高數(shù)七七 、 在在 中中 午午 十十 二二 點點 正正 甲甲 船船 的的6 6 公公 里里/ /小小 時時 的的 速速 率率 向向東東 行行 駛駛 ，乙乙 船船 在在甲甲 船船 之之 北北 1 16 6 公公里里 ，以以 8

15、 8 公公里里/ /小小時時 的的 速速 率率向向 南南 行行駛駛 ，問問 下下午午 一一 點點正正 兩兩 船船相相距距 的的 速速率率 為為 多多 少少 ？ 八八 、 水水 注注 入入 深深 8 8 米米 ， 上上 頂頂 直直徑徑 8 8 米米的的 正正 圓圓錐錐 形形 容容器器 中中 ，其其 速速 率率 為為每每 分分 鐘鐘 4 4 立立 方方 米米，當當 水水深深 為為 5 5 米米時時 ，其其表表 面面 上上 升升 的的 速速 率率 為為 多多 少少 ？ 大一高數(shù)一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、32