第七章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

1、F7-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念F7-2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)F7-3 空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)F7-4 材料的破壞形式材料的破壞形式F7-5 強(qiáng)度理論及其應(yīng)用強(qiáng)度理論及其應(yīng)用通過受力構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的各個截面上的應(yīng)力分布情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法稱為應(yīng)力分析應(yīng)力分析。 研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時，圍繞該點(diǎn)截取的微小正六面體。 平行截面上正應(yīng)力數(shù)值相等符號相同，正交截面上剪應(yīng)力數(shù)值相等符號相反。 三組平行截面上應(yīng)力均為已知。 剪應(yīng)力為零的平面。 主平面上的正應(yīng)力。 主應(yīng)力的方位。 三組正交平面都是主平面的單元體。 習(xí)慣上將主單元體上的主應(yīng)力按代數(shù)值從大到小排序并約定：1

2、 2 3。單元體三個主應(yīng)力中只有一個不為零的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)。 單元體上三個主應(yīng)力中有兩個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。 將單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)。 單元體上三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)。圖中三組剪應(yīng)力可以不必存在或不必同時存在。 將二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。 pFDmmnnpdDpNNlA【例7-1】求圖示鍋爐壁內(nèi)A點(diǎn)的應(yīng)力。1）求爐壁橫截面上應(yīng)力0 DFFixDF442pDDDp2）求爐壁縱向截面應(yīng)力0sin220 dDlpNFiy2sin40pDdpD 0sin22dDlpll

3、mmnn【解】因爐壁很薄，由彈性力學(xué)知沿徑向應(yīng)力0,故爐壁處于二向應(yīng)力狀態(tài)。【例7-2】圖示薄壁球形容器壁厚為，內(nèi)徑為D，內(nèi)壓為p。求容器壁內(nèi)的主應(yīng)力。pFAA0)(FDFiyDOdD/24pDDFDdDDp20sin2)cos(DpdAAsindDDdA2)cos(【解】由于對稱性，通過直徑的任意截面上只有正應(yīng)力且它們大小相等，故所求正應(yīng)力為主應(yīng)力。主應(yīng)力： 1 2 ， 3 0。建立空間直角坐標(biāo)系，使其三軸分別與原始單元體三組正交平面的法線平行，分別稱這三組正交平面為x截面、y截面、z截面。xxyyxyxyyxyx各截面上的應(yīng)力分別記為x、xy、y、yx。z截面為主平面且z0。 Oxyzn設(shè)

4、任一原始單元體的任一斜截面AC的外法線n與x軸正向夾角為，稱截面AC為截面。 單元體ABC處于平面共點(diǎn)力系平衡狀態(tài)。故： 0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(AAAAAFACyxACyACxyACxACin0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(AAAAAFACyxACyACxyACxACiyxyxyxABC由剪應(yīng)力互等定理知：yx=xy2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx求解得平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上應(yīng)力公式平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上應(yīng)力公式： x、xy、y均必須代入相應(yīng)的符號。從x軸正向到斜截面的外法線

5、n，逆時針轉(zhuǎn)取正值，順時針轉(zhuǎn)取負(fù)值。 拉向正應(yīng)力取正值，壓向取負(fù)值；使單元體繞其上任一點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力取正值，反之取負(fù)值。90,90【例7-3】求圖示單元體斜截面上的應(yīng)力。 x30n30MPa40MPa60MPa【解】x = 30MPa ,xy= -60MPa , y=-40MPa ,=30 代入平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上應(yīng)力公式得： 60cos)60(60sin2)40(3060sin)60(60cos2)40(302)40(303030MPa3 . 0MPa5 .643030將任意斜截面上的正應(yīng)力公式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零得到正應(yīng)力的極值。 02cos2sin2xyyxdd正應(yīng)力極值

6、平面是剪應(yīng)力恒為零的平面，是主平面，正應(yīng)力極值是主應(yīng)力主應(yīng)力。 yxxy22tan0該式確定了兩個相差90的角， 0和(090)對應(yīng)著兩個互相垂直的主平面，確定了兩個正交主平面的法線方向，也確定了兩個正交的主方向主方向。 求解得：由圖示三角函數(shù)圖知： 2204)(2cosxyyxyx2204)(22sinxyyxxy代入任意斜截面上的正應(yīng)力公式得正應(yīng)力極值正應(yīng)力極值： 22maxmin22xyyxyx主應(yīng)力max的方位與原始單元體上兩箭頭相對的剪應(yīng)力xy、yx的合矢在同一象限內(nèi)。 圖示單元體主應(yīng)力分別為：1=max，2=min，3=z=0。 20-2xyx- yyxxyxyxyyxyxminm

7、inmaxmax另一個主應(yīng)力min的方位則與max的方位垂直。 將任意斜截面上的剪應(yīng)力公式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零得到剪應(yīng)力的極值。 02sin22cos)(xyyxdd012cot22tanxyyx求解得:剪應(yīng)力極值平面與主平面成45角，可由此直接由主平面確定剪應(yīng)力極值平面，兩剪應(yīng)力極值平面互相垂直。 由圖示三角函數(shù)關(guān)系圖知： 212xyx- y2214)(22cosxyyxxy2214)(2sinxyyxyx4501yxxyxyxyyxyx代入任意斜截面上的剪應(yīng)力公式得剪應(yīng)力極值剪應(yīng)力極值： 22maxmin2xyyxmax和min的合矢與原始單元體剪應(yīng)力xy、yx的合矢在同一象限內(nèi)。 剪應(yīng)

8、力極值平面上的正應(yīng)力剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力 22minmax1yx剪應(yīng)力極值平面上正應(yīng)力一般不為零，而且大小相等，符號相同。有時稱剪應(yīng)力極值為主主剪應(yīng)力剪應(yīng)力，剪應(yīng)力極值平面稱為主剪切面主剪切面。 maxmaxminmin1maxmin2minmax【例7-4】求單向拉伸時單元體斜截面上應(yīng)力、應(yīng)力極值及其作用面、主應(yīng)力。 【解】 x = ,xy= 0 , y=01)任意斜截面上的應(yīng)力 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx2)應(yīng)力極值及其作用面022222maxminxyyxyx90,0022tan00yxxy22minmaxmaxmin135,4545013)主應(yīng)力 1

9、032minmax2sin22cos22【例7-5】試求純扭轉(zhuǎn)(純剪切)時原始單元體上任意斜截面上的應(yīng)力、應(yīng)力極值及其作用面、主應(yīng)力。 【解】x =0 ,xy= ,y=01)任意斜截面上應(yīng)力 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx2)應(yīng)力極值 22maxmin22xyyxyx4522tan00yxxy2minmaxmaxmin3)主應(yīng)力 130290,04501 maxmin2cos2sin【例7-6】試用應(yīng)力分析方法定性比較塑性材料與脆性材料的拉伸、壓縮和扭轉(zhuǎn)破壞性能。 【例7-7】求單元體的主平面、主應(yīng)力、主剪切面、主剪應(yīng)力、主剪切面上的正應(yīng)力，并畫出主單元體。 【解】

10、x =30MPa ,xy= -60MPa,y=-50MPa1)主平面： 118285 . 1)50(30)60(222tan00yxxy2)正應(yīng)力極值： 22maxmin22xyyxyx60MPa30MPa50MPaMPa82MPa62)60(2)50(302)50(30224)主剪應(yīng)力： 2minmaxmaxmin5)主剪切面上正應(yīng)力： MPa102)50(3021yx6)畫主單元體。 yxxyxyxyyxyx33110主應(yīng)力1=62MPa，2=0，3=-82MPa 3)主剪切面： 7345284501MPa722)82(62從平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上的應(yīng)力公式中消去參數(shù)2得應(yīng)力圓方程

11、應(yīng)力圓方程為： 222222xyyxyx它代表在以 為橫坐標(biāo)、 為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系中，以 為圓心、 為半徑的一個圓。圓周上的點(diǎn) 對應(yīng)著原始單元體上的一個斜截面上的應(yīng)力。 )0 ,2(yx222xyyx),(yxy 以為橫軸、 為縱軸作 -直角坐標(biāo)系，并規(guī)定適當(dāng)?shù)谋壤?由原始單元體x截面、y截面上的應(yīng)力( x , xy)、 ( y , yx)在 -直角坐標(biāo)系中作出對應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)Dx( x , xy) 、Dy ( y, yx) ； 連接點(diǎn)Dx、 Dy交軸于點(diǎn)C，C即為應(yīng)力圓的圓心 ； )0 ,2(yx以C為圓心、 為直徑作圓。 DDyxOxyxDxDy(x+ y)/2Cyxy OxyxDxD

12、y(x+ y)/2C20212B1B2原始單元體斜截面角參考位置為x軸，應(yīng)力圓上D( ,) 點(diǎn)參考位置為Dx(x ,xy) 點(diǎn)； 原始單元體上截面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上同方向同方向轉(zhuǎn)動2圓心角對應(yīng)點(diǎn)D( ,)的應(yīng)力相等； 左右頂點(diǎn)A1、A2對應(yīng)著原始單元體的主應(yīng)力， Dx(x ,xy)點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動了20圓心角且 yxxy22tan0上下頂點(diǎn)B1、B2對應(yīng)著原始單元體的主剪應(yīng)力， Dx(x ,xy)點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)動了21圓心角且 xyyx22tan1A2A1D yxy OxyxDxDy(x+ y)/2C20212B1B2A2A1D 正應(yīng)力極值： 22maxmin22xyyxyx剪應(yīng)力極值： 22minm

13、ax22maxminxyyx剪應(yīng)力極值平面上的正應(yīng)力： 22minmax1yx設(shè)任意空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體的三個主應(yīng)力按其代數(shù)值大小規(guī)定1 2 3。231maxmin剪應(yīng)力最大值剪應(yīng)力最大值面上的正應(yīng)力面上的正應(yīng)力23114511122331max1剪應(yīng)力最大值剪應(yīng)力最大值x xyyzz空間應(yīng)力狀態(tài)主單元體可視為三個單向應(yīng)力狀態(tài)單元體的組合。 xx在x單獨(dú)作用下主單元體沿三個方向的線應(yīng)變： ExxxExxyExxzyy在y單獨(dú)作用下主單元體沿三個方向的線應(yīng)變： EyyxEyyyEyyzzz在z單獨(dú)作用下主單元體沿三個方向的線應(yīng)變： EzzxEzzyEzzz將三個方向線應(yīng)變疊加ziyixii(i=

14、x,y,z) 主單元體的廣義虎克定律：主單元體的廣義虎克定律： )(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEE最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)單元體可視為三個單向應(yīng)力狀態(tài)單元體和三個純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體的組合，根據(jù)線性疊加原理可得到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律：廣義虎克定律： GGGEEEzxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx)(1)(1)(1事實(shí)上，對于同一種各向同性材料，上述三個彈性常數(shù)E、G并不完全獨(dú)立，其關(guān)系為： )1 (2EGw脆性斷裂脆性材料 w塑性屈服塑性材料 金屬材料具有兩種抵抗破壞的能力：抵抗脆性斷裂的極限抗力，抵抗塑性屈服的極限抗力。 一般來說，脆性材料對塑性屈服的

15、極限抗力大于其脆性斷裂的極限抗力，塑性材料對脆性斷裂的極限抗力大于其對塑性屈服的極限抗力。 材料在受力后是否破壞，取決于構(gòu)件的應(yīng)力是否超過材料的極限抗力。 w壓應(yīng)力本身不能造成材料的破壞，而是由它所引起的剪應(yīng)力等因素在對材料的破壞起作用；w此外，變形速度和溫度等對材料的破壞形式也有較大影響。 w構(gòu)件內(nèi)的剪應(yīng)力將使材料產(chǎn)生塑性變形；w在三向壓應(yīng)力狀態(tài)下，脆性材料也會發(fā)生塑性變形；w拉應(yīng)力則易于使材料產(chǎn)生脆性斷裂；w三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)使材料發(fā)生脆性斷裂的傾向最大。 簡單應(yīng)力狀態(tài)下建立的強(qiáng)度條件不適合于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，需要建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料失效所遵循的共同假說，即強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論。 eqi強(qiáng)度條件強(qiáng)

16、度條件 eqi根據(jù)不同強(qiáng)度理論建立的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力。它是主應(yīng)力1、 2 、 3的某種組合運(yùn)算式，下標(biāo)i(i=1，2，3，4)與相應(yīng)的強(qiáng)度理論相對應(yīng)； nu根據(jù)簡單拉伸或壓縮試驗(yàn)確定的材料的許用應(yīng)力許用應(yīng)力。 該理論認(rèn)為使材料發(fā)生脆性斷裂的主要原因是其最大主應(yīng)力max1達(dá)到了某一極限值u。 11eq該理論較適合于脆性材料，對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)特別是塑性材料的屈服破壞該理論不適合。 該理論認(rèn)為使材料發(fā)生脆性斷裂的主要原因是其最大線應(yīng)變max 1達(dá)到了某一極限值u 。 )(3212eq該理論考慮了三個主應(yīng)力的共同影響，曾被廣泛應(yīng)用。但它不僅與塑性屈服破壞結(jié)果不符，還與脆性材料在雙向拉伸或

17、三向壓縮試驗(yàn)結(jié)果不盡相同，故一般只用于脆性材料。 該理論認(rèn)為使材料發(fā)生塑性屈服的主要原因是其最大剪應(yīng)力max達(dá)到了某一極限值u 。 313eq該理論與許多試驗(yàn)結(jié)果比較吻合，特別適合于塑性材料。它不僅能說明塑性材料的屈服破壞，還能解釋脆性材料的剪切破壞(如鑄鐵試樣在壓縮時沿45斜截面剪斷)，但該理論沒有考慮主應(yīng)力2的影響，與三向均勻拉伸試驗(yàn)結(jié)果不符，對脆性材料單向拉伸和壓縮時極限應(yīng)力值不同的問題也無法解釋。 該理論認(rèn)為使材料發(fā)生塑性屈服的主要原因是其形狀改變比能達(dá)到了某一極限值。 )()()(212132322214eq既要考慮材料性質(zhì)，又要考慮單元體所處應(yīng)力狀態(tài)。一般情況下，脆性材料多發(fā)生脆性

18、斷裂，應(yīng)選用第一或第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，選用第三或第四強(qiáng)度理論。 對脆性材料，在雙向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)選用第一強(qiáng)度理論；在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，無論是脆性材料還是塑性材料都會發(fā)生脆性斷裂破壞，宜選用第一強(qiáng)度理論。但對塑性材料，由于單向拉伸試驗(yàn)得不到其脆斷的極限應(yīng)力，一般對作相應(yīng)的調(diào)整。 低碳鋼等常用工程塑性材料在受力和結(jié)構(gòu)較簡單情況下，可選用第四強(qiáng)度理論；對于受力和結(jié)構(gòu)均較復(fù)雜情況，宜選用第三強(qiáng)度理論。 在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，不論是脆性材料還是塑性材料，常呈現(xiàn)塑性屈服，一般選用第四強(qiáng)度理論，此時脆性材料的許用應(yīng)力應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。 求危險(xiǎn)點(diǎn)處原始單元體的正應(yīng)力極值，按代數(shù)值從大到小

19、依次確定主應(yīng)力1、2、3； 選合適的強(qiáng)度理論，確定對應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力eqi； 建立強(qiáng)度條件，計(jì)算強(qiáng)度。 【例7-8】一正方體鋼塊，體積為10 10 10mm3，放在圖示剛性槽內(nèi)，鋼塊頂部受均勻壓力作用，壓力合力大小為15kN。已知鋼塊的泊松比=0.33，許用應(yīng)力=160MPa，試校核鋼塊的強(qiáng)度。 xxyy【解】1)求單元體的主應(yīng)力 取鋼塊內(nèi)任一原始單元體，其應(yīng)力分布情況如圖示。 Py方向受壓力P作用，則： MPa150101010101563APyxxyyz方向無外力，則 0zx方向剛性槽約束，則 0 x由廣義虎克定律得： MPa5 .49)150(33. 0)(0)(1zyxzyxxE因不計(jì)摩擦

20、，故各截面無剪應(yīng)力，所取單元體為主單元體，鋼塊承受的主應(yīng)力為： 01zMPa5 .492xMPa1503y2)鋼塊是塑性材料，選用第三、第四強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度 MPa150)150(0313eq第三強(qiáng)度理論： P第四強(qiáng)度理論： )()()(212132322214eq符合強(qiáng)度要求。 MPa4 .132)150()1505 .49()5 .490(21222【例7-9】從某塑性構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)取出一單元體如圖示。已知材料的屈服應(yīng)力s=280MPa。試按第三、第四強(qiáng)度理論計(jì)算構(gòu)件的工作安全系數(shù)。【解】1）寫原始單元體上的應(yīng)力x =100MPa ，xy= -40MPa，y=-80MPa，z=150MPa2

21、）求xy平面正應(yīng)力極值22maxmin22xyyxyx)40(28010028010022MPa5 .88MPa5 .1083）寫主應(yīng)力1=150MPa ，2 =108.5MPa ，3=-88.5MPa40MPa150MPa100MPazyx80MPa4）求安全系數(shù)313eqMPa5 .238)5 .88(15017. 15 .23828033eqsn)()()(212132322214eq)1505 .88()5 .885 .108()5 .108150(21222MPa7 .21828. 17 .21828044eqsn顯然，第三強(qiáng)度理論較第四強(qiáng)度理論保守一些。【例7-10】試由單向拉伸許用正應(yīng)力導(dǎo)出純剪切狀態(tài)下的許用剪應(yīng)力。 【解】1、確定單元體純剪切時的主應(yīng)力 由【例7-5】3）知： 10232、根據(jù)強(qiáng)度理論計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力、寫強(qiáng)度條件 1）對于塑性材料，選用第三、第四強(qiáng)度理論 22313eq2即33)()()(212132322