主要內(nèi)容二重積分定義ppt課件

1、主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容二二 重重 積積 分分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用二重積分的定義二重積分的定義定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成任意分成 n 個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，,n 其中其中 i 表示第表示第 i 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每 個個 i 上任取一點上任取一點 ),(ii ，作乘積，作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和，并作和 iiniif ),(1， 如如果果當當各各小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的直直徑徑中中的的

2、最最大大值值 趨趨近近于于零零時時， 這這和和式式的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉 區(qū)區(qū)域域 D 上上的的二二重重積積分分，記記為為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值值xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 當當 k k

3、 為常數(shù)時，為常數(shù)時，.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) 為為D D的面積，的面積，.1 DDdd )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì)若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 則有則有設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大 值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則 性質(zhì)性

4、質(zhì)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域D上上連連續(xù)續(xù)， 為為D的的面面 積積，則則在在D上上至至少少存存在在一一點點),( 使使得得 性質(zhì)性質(zhì) DMdyxfm ),( ),(),(fdyxfD二重積分的計算二重積分的計算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf （直角坐標系下（直角坐標系下.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型（極坐標系下（極坐標系下.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(, ).()(21 r )(2

5、 r)(1 rAoDD.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()( r AoD D :D :DoA Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 r)( r,20 D :注意：注意：當被積函數(shù)為當被積函數(shù)為),(22yxf 積分區(qū)域是圓或積分區(qū)域是圓或圓的一部分時，在極坐標系下化為二次積分，圓的一部分時，在極坐標系下化為二次積分，?？珊喕嬎恪３？珊喕嬎?。二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用(1) (1) 體積體積之之間間直直柱柱體體的的體體積積與與區(qū)區(qū)域域在在曲曲面面Dyxfz),( Ddxdyy

6、xfV.),(設(shè)設(shè)S S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S S的面積為的面積為;122dxdyyzxzAxyD (2) (2) 曲面積曲面積(3) (3) 重心重心當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點 ),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連 續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心 薄片對薄片對 z z

7、軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點 ),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連 續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于 z軸軸上上的的點點 ), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a ,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz G 為引力常數(shù)為引力常數(shù)(4) (4) 引力引力思考與練習思考與練習1.1. ),( D化為二次

8、積分化為二次積分將將 dyxf ; 1 , 1 ,1 )1(圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由直直線線 yxyxy; 1 , )2(22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由拋拋物物線線xyxy . 0 ,2 ,4 )3(22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由 xxxyxy.2 )4(2xxyx 閉閉區(qū)區(qū)域域2. 改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 1.1. ),( D化為二次積分化為二次積分將將 dyxf ; 1 , 1 ,1 : )1(圍圍成成 yxyxyD解解D 是是 Y型。型。將將 D 向向 y

9、 軸投影。軸投影。 . 10,11 :yyxyD dxdyyxf ),(Ddxyxfyy ),(11 10 dy; 1 , : )2(22圍成圍成xyxyD oxy11 121xy 2xy oxy121xy 11 xy求交點：求交點： .1,22xyxy于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxDD 是是 X型。型。將將 D 向向 x 軸投影。軸投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， ; 1 , : )2(22圍成圍成xyxyD oxy11 121xy 2xy 求交點：求交點： .1,22xyxy2222 dxdyyxf ),(Ddyyxfxx ),(221 2222 dx. 0

10、 ,2 ,4 : )3(22圍圍成成 xxxyxyDoxy1222xxy 24xy 2在極坐標系中，閉區(qū)域在極坐標系中，閉區(qū)域D 可表示為可表示為. 2cos2 r ,20 D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 r2 r于是，于是， dxdyyxf ),(Ddyyxfxx ),(221 2222 dx.2 : )4(2xxyxD Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 rxy1122xxy x

11、y 2o在極坐標系中，在極坐標系中，D 可表示為可表示為.cos20 r,24 D ),( dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(cos2024 drrrrfd2. 改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解(1) 積分區(qū)域為積分區(qū)域為 .1, 21 :2xyxD . 41, 2 :yxyD 2121 ),( xdyyxfdx D),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy將將 D 向向 y 軸投影。軸投影。oxy1212xy 4積分區(qū)域為積

12、分區(qū)域為 . 10 ,11 :22yyxyD .10, 11 :2xyxD將將 D 向向 x 軸投影軸投影,. ),( )2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx D),( dyxf3.3.圍圍成成由由其其中中計計算算2,1, .22 xxyxyDdyxD 4.4. 10, 11: .2 yxDdxyD其其中中計計算算 5.5.sin 21231 xdyydx計計算算6.6. )cos1( . 22）所所圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部線線和和心心臟臟是是由由圓圓其其中中計計算算 ararD

13、dyxD7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證證明明3.3.解解圍圍成成由由其其中中計計算算2,1,.22 xxyxyDdyxD dyxD22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxDD 是是 X型。型。將將 D 向向 x 軸投影。軸投影。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解先去掉絕對值符號，先去掉絕對值符號，4.4. 10, 11: .2 yxDdxyD其其中中計計算算 1D時，時，當當 2yx . 02 xy . 1, 11 : 21yxxD記記時，時，當當 2xy . 02 xy .0,

14、 11 : 22xyxD記記2D dxydxydxyDDD 21 )( )( 222oxy11 1 2202111211)()(xxdyyxdxdyxydx.1511 . 1, 11 : 21yxxD記記時，時，當當 2xy . 02 xy .0, 11 : 22xyxD記記 dxydxydxyDDD 21 )( )( 222 11411242 )212(dxxdxxx5.5.sin 21231 xdyydx計計算算解解積分區(qū)域為積分區(qū)域為 . 21, 31 :yxxD . 20,11 :yyxD將將 D 向向 y 軸投影。軸投影。oxy1221 xy3dxdyydyydxDx 221231s

15、insin ydxydy11220sin 202sindyyy.24cos1 解解 drdrrdyxDD 22 6.6. )cos1( . 22）所所圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部線線和和心心臟臟是是由由圓圓其其中中計計算算 ararDdyxD在極坐標系中，閉區(qū)域在極坐標系中，閉區(qū)域D 可表示為可表示為).cos1( ara,22 )cos1(22 aardrrdoAa2a2 2 22331)cos1(31 da).2922(3 a drdrrdyxDD 22 )cos1(22 aardrrd 證證7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證證明明積分區(qū)域

16、為積分區(qū)域為 ., :xyabxaD ., :byabxyD將將 D 向向 y 軸投影。軸投影。oxyaxy bab dyfyxdyyfyxdxDnxanba )()()()(22 dyyxnyfbabyn 1)(11)(.)()(111 bandyyfybn bynbadxyfyxdy)()(2 ., :byabxyD dyfyxdyyfyxdxDnxanba )()()()(22 8.8.10.10. )(3 4 2222所所圍圍成成的的立立體體的的表表面面積積和和錐錐面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz . 6 4 2Vyxz限上的體積限上的體積所圍成的立體在第一掛所圍成的立體在第一

17、掛及三個坐標面及三個坐標面，平面，平面求由拋物柱面求由拋物柱面 9.9.1 部部分分的的面面積積的的有有限限，被被三三個個坐坐標標面面所所割割出出求求平平面面 czbyax8.8. 6 4 2Vyxz限上的體積限上的體積所圍成的立體在第一掛所圍成的立體在第一掛及三個坐標面及三個坐標面，平面，平面求由拋物柱面求由拋物柱面 oxyz426解解 所求立體可以看成是一個所求立體可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為曲頂柱體，它的曲頂為,42xz . 60, 20:yxD底為底為于是，于是， dxVD )4(2 dyxdx 60220 )4( 20602)4( dxyx 202)4(6dxx.32 9.9.

18、).0 , 0 , 0( 1 cbaczbyax部分的面積部分的面積的有限的有限，被三個坐標面所割出，被三個坐標面所割出求平面求平面oxyzcab221 yzxz 解解,1222222cacbbaab 平面方程平面方程. ybcxaccz ,acxz ,bcyz axyoxyDbdxdyyzxzAxyD 122 所求面積所求面積221 yzxz ,1222222cacbbaab axyoxyDbdxdyyzxzAxyD 122 所求面積所求面積dxdycacbbaabxyD 2222221abcacbbaab211222222 .21222222cacbba 10.10. )(3 4 2222所所圍圍成成的的立立體體的的表表面面積積和和錐錐面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz xyzo解解所求表