題型最全的遞推數(shù)列求通項公式的習(xí)題

1、時間：二。二一年七月二十九日高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析之蔡仲巾千創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日各種數(shù)列問題在很多情形下 ，就是對數(shù)列通項公式的求解.特別是在一些綜合性比力強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸.我現(xiàn)在總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對年夜家有幫手.類型1 I -I解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為I ,利用累加法（逐差相加法）求解.例1.已知數(shù)列回滿足臼，求目.變式：已知數(shù)列三|,且 a2k=a2k 1+（ 1）k,a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,（I）求a3, a5 ; （II ）求 an的通項公式.類型2 L-i解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)

2、化為巨| ,利用累乘法（逐商相乘法）求解.例1:已知數(shù)列回午區(qū) 習(xí) +W滿足 ，求.叵 | 山，求百.例？?已知 ，變式：（，全國I,理15.）已知數(shù)列an,滿足a1=1,1 =一（n2）,則an的通項 兇 S類型3|_x I （其中p,q均為常數(shù)，=1）.解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：I 一 |,其中 區(qū)I ，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.例：已知數(shù)列回中，山，L = 1 ，求回.變式：（，重慶，文,14）在數(shù)列區(qū)中，若 一 I，則該數(shù)列的通項旭1變式：（.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列S滿足.（II ）若數(shù)列bn滿足 = 證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（m）證明：|類型

3、4（其中 p,q 均為常數(shù)， 一 ）.（或 I x 1,其中p,q,r均為常數(shù)）.解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以國，得：引入輔助數(shù)列臼（其中叵）,得： 也引再待定系數(shù)法解決.例：已知數(shù)列團(tuán)中，臼，X I ，求目.變式：（，全國I,理22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列區(qū)的前|回項的和I x J , I X I（I）求首項與與通項三；（n）設(shè) 兇，證明：叵類型5遞推公式為1 - I （其中p,q均為常數(shù)）.解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為| L _1其中s,t滿足因解法二（特征根法）：對由遞推公式 I TI ,|匚三J給出的數(shù)列 bJ |,方程Ll ,叫做數(shù)列|日的特征方程.若M

4、是特征方程的兩個根，那時1以|,數(shù)列回的通項為 x ，其中A,B由決定（即把和山，代入，獲得關(guān)于A、B的方程組）；那時|國|,數(shù)列h的通項為其中A,B由 i I- 決定（即把 I x 和 區(qū)I，代入 I 1= 1,獲得關(guān)于 A、B的方程組）.解法一（待定系數(shù)一一迭加法）：數(shù)列歸：, K 1,求數(shù)列回的通項公式.例：已知數(shù)列5中，LJ , 乂，| x |，求兇.變式：國滿足 I _ZI（I）證明：數(shù)列 目 是等比數(shù)列；（II ）求數(shù)列w的通項公式；時間：二。二一年七月二十九日時間：二。二一年七月二十九日（III ）若數(shù)列 國滿足證明兇是等差數(shù)列.回中，回，E ,| = |,求W日中，國是其前習(xí)項

5、和，而且 |,設(shè)數(shù)列 Lj ，求證：數(shù)列 回是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列 | K ，求證：數(shù)列兇是等差數(shù)列；求數(shù)列國的通項公式及前三項和.類型6遞推公式為日與目的關(guān)系式.（或| X）解法：這種類型一般利用 | x I 與| 消去四區(qū)I或與 L一 | 日消去國進(jìn)行求解.例：已知數(shù)列前n項和 ri .（1）求a與W的關(guān)系；（2）求通項公式W .（2）應(yīng)用類型4 （ WJ （其中p,q均為常數(shù),|i-xT ）的方法，上式兩邊同乘以占得： xl由 I |.于是數(shù)列 區(qū)J是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列，所以I 1I X |變式：（，陜西，理,20 .本小題滿分12分）已知正項數(shù)列an,其前n項和Sn滿足10Sn

6、=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求 數(shù)列an的通項an變式:（，江西，文,22 .本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn Sn2=3I求數(shù)列an的通項公式.類型 7 I 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令1_=一= I ，與已知遞推式比力，解出1回,從而轉(zhuǎn)化為是公比為|目的等比數(shù)列.例：設(shè)數(shù)列回： 口，求三.變式：（，山東，文,22，本小題滿分14分）已知數(shù)列 W中， I 1Mz I 在直線y=x上，其中n=1,2,3(I )令J(丑)求數(shù)歹U| X |(田)設(shè) I 一 I國j E的前n項和，是否存在實數(shù)|J ,使得數(shù)列 叵為等差數(shù)列？若存在試

7、求出 間 不存在，則說明理由.類型8 三| 一 |解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為lj ，再利用待定系數(shù)法求解.例：已知數(shù)列日中，I X 區(qū)I ,求數(shù)列 一 |變式：(，江西，理,21 .本小題滿分12分)已知數(shù)列 | =一= |(1)證明 I 一 I(2)求數(shù)列的通項公式an.變式：(，山東，理,22，本小題滿分14分)已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x 的圖象上，其中=1,2,3,(1)證明數(shù)列 lg(1+an) 是等比數(shù)列； 設(shè) Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求 Tn及數(shù)列 an的通項；記bn= | x | ，求bn數(shù)列的前項和 Sn

8、,并證明Sn+區(qū)| =1類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為L= I例：已知數(shù)列 an滿足：，求數(shù)列 an的通項公式.變式：(，江西，理,22,本年夜題滿分14分)1.已知數(shù)列 an滿足：a1=R，且 an=| =r |(1)求數(shù)列 an的通項公式； 證明：對一切正整數(shù) n,不等式a1 a2 an 2 n!2、若數(shù)列的遞推公式為 x ,則求這個數(shù)列的通項公式.3、已知數(shù)列三滿足 3 時， I 一U ，求通項公式.4、已知數(shù)列 an滿足： x ，求數(shù)列 an的通項公式.5、若數(shù)列 a3中,a.=1,a *1 =區(qū)nNW,求通項aj .時間：二。二一年七月二十九日時間：二。二一年七

9、月二十九日類型10解法：如果數(shù)列 國滿足下列條件：已知 目的值且對 日，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且 x |）,那么，可作特征方程 區(qū)| ,當(dāng)特征方程有且僅有一根 怛時，則 叵是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個相異的根一、即時，則a 是等比數(shù)列.例：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對 X 且求通的通項公式.例：已知數(shù)列臼滿足：對皿都有 日（1）若I國求回（2）若山求回（3）若國求兇（4）當(dāng)山取哪些值時，無窮數(shù) 列卜I不存在？變式：（，重慶，文,22，本小題滿分12分）數(shù)列_ 記 x |（I）求bl、b2、b3、b4的值；（H ）求數(shù)列 國的通項公式及數(shù)列 匕|的前n項和 已類型11 一 或 =1解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為山與臼是等差或等比數(shù)列求解.例：（I ）在數(shù)列 也I中， I -I ，求W （II ）在數(shù)列 舊 中， I x 1,求d類型12歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式：（，全國II,理,22，本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列 an的前n項和為Sn,且方程x2 anx an= 0有一根為Sn 1,n =1,2,3,（I ）求 a1,a2 ;（H ） an的通項公式類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采納累加、累乘、化歸等方法求解.例：已知數(shù)歹U 臼中，山；數(shù)歹U 回 中，| M .那時 時間：二。二一年七月二十