八年級數(shù)學上冊14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定練習(含解析)(新版)華東師大版

1、14.1.2 直角三角形的判定、單選題1.若厶ABC三邊長a,b,c滿足.a b _25+l b -a -11+ (c-5)2=0,則厶 ABC 是 ()A.等腰三角形B 等邊三角形C.直角三角形D 等腰直角三角形答案：C解答： ABC 三邊長 a, b, c 滿足a b_25+lb-a-1|+ (c-5)2=0=0,且.a b_2520, |b-a -1| 0,(c-5) 0 a+b- 25=0,b-a- 1=0,c-5=0,-a=12,b=13,c=5,/ 122+52=132, ABC 是直角三角形.故選 C.分析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可求得三邊的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可推出這個三角形是

2、直角三角形，此題主要考查學生對非負數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理的綜合運用.2 .在平面直角坐標系中，點A 的坐標為(1 , 1)，點 B 的坐標為(11, 1),點 C 到直線AB 的距離為 5，且 ABC 是直角三角形，則滿足條件的C 點有()A. 4 個B. 5 個 C . 6 個D. 8 個答案：C解答：點 A, B 的縱坐標相等， AB/ x 軸，點 C 到距離 AB 為 5，并且在平行于 AB 的兩條直線上.滿足條件的 C 點有：(1, 6),( 6, 6),( 11, 6),( 1 , - 4),( 6,- 4),( 11,-4)故選 C.分析：當/ A=90時，滿足條件的 C 點 2

3、 個；當/ B=90時，滿足條件的 C 點 2 個；當/ C=90 時，滿足條件的 C 點 2 個.所以共有 6 個， 用到的知識點為： 到一條直線距離為某個定值的 直線有兩條. ABC是直角三角形，它的任意一個頂點都有可能為直角頂點.3 .如圖，每個小正方形的邊長為1, A, B, C 是小正方形的頂點，則/ ABC 的度數(shù)為()( 5)2( 5)2=( 10)2AC+BC=AB. ABC 是等腰直角三角形./ ABC=45 .故選 D.分析：利用勾股定理和勾股定理的逆定理判斷特殊的直角三角形，從而求取特殊角的度數(shù)，是本節(jié)的重點，也為今后學習一般三角形的余弦定理做一個準備.4.長度為 9、1

4、2、15、36、39 的五根木棍，從中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角 三角形的個數(shù)是()A. 1B. 2 C . 3D. 4答案：B解答：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知能夠搭成的三角形有9、 12、 15; 9、 36、 39; 12、 36、 39; 15、 36、 39;根據(jù)勾股定理的逆定理，知能夠搭成直角三角形的有9、12、15 和 15、36、39.故選 B.分析：首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系找到所有的三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行分析排除，此題綜合考查了三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理.5 .如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB, CD, EF, GH 四條線段，其中能構(gòu)

5、成直角三角形三邊的線段是()C. 45D.30解答：根據(jù)勾股定理可以得到:AC=BC=.5,AB=10答案：CA. CDEF, GHB. AB, EF, GHC. AB,CD GHD. AB, CD, EF答案：B解答：AB2=22+22= 8, CD=42+22=20, EF2=12+22=5, GH=32+22=13,所以 A 扌+EF=GH,故選 B.分析：先運用勾股定理算出所涉及的各條邊長的平方，再運用勾股定理的逆定理判斷是否構(gòu)成直角三角形是解此題的一般方法.6. The coord in ates of the three poi nts A. B. C on the pla ne

6、are (- 5, - 5 ),(2, - 1) and (- 1，- 2) respectively , the triangle ABC is()(英漢小詞典：right 直角的；isosceles 等腰的；equilateral 等邊的；obtuse 鈍角的)A. a right trisngleB . an isosceles triangleC. an equilateral triangleD. an obtuse triangle答案：B解答：如圖過 B 作 Y 軸的平行線，過 A 作 X 軸的平行線，兩線交于 H,由勾股定理得：AB=(-2)-(- 5) 2+ (- 1)-(-

7、 5) 2,即：AB=25同理：A&= (- 1)-(- 5) 2+ (- 2)-(- 5) 2,即：AC=25,BC= (- 1)-(- 2) 2+ (- 1)-(- 2) 2, BC=2, AB=AC故選 B.分析：過 B 作 Y 軸的平行線，過 A 作 X 軸的平行線，兩線交于 H,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾 股定理求出 AB 的長，同理求出 AC BC 的長，比較即可得出答案，本題主要考查了等腰三角 形的判定，勾股定理的逆定理等知識點，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)點的坐標求出AB BC AC的長度.7.如圖所示方格紙中的三角形是（）A.等腰三角形C.直角三角形答案：A解答：從圖上可知： A

8、B=ACABC 是等腰三角形.故選 A.Ap/B.等邊三角形D.等腰直角三角形ADBA AECfBc分析：是等腰三角形，AB AC 分別位于兩個全等的直角三角形里，本題考查了等腰三角形 的概念和全等三角形的判定定理，根據(jù)此知識點可得解8將直角三角形三條邊的長度都擴大同樣的倍數(shù)后得到的三角形A.仍是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D 不可能是直角三角形答案： A解答：設(shè)直角三角形的三邊分別為a,b,c,且滿足a2+b2=c2,擴大相同倍數(shù)后各邊分別為na,nb，nc，因為(na)2+(nb)2= n2(a2+S)=n2c2=(nc)2，所以擴大同樣的倍數(shù)后得到的三角形仍 是直角

9、三角形，故選 A.分析： 能夠利用字母抽象的表示出題目表達的數(shù)學意義, 并運用勾股定理和勾股定理的逆定理進行分析判斷，是提高邏輯思維能力的好題目.9 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三內(nèi)角之比為 1: 2: 3B.三邊長的平方之比為 1 : 2: 3C. 三邊長之比為 3: 4: 5D. 三內(nèi)角之比為 3: 4: 5答案: D解答：A 項滿足三角形中有一個內(nèi)角為90o, B 項滿足勾股定理的逆定理，C 項符合勾股數(shù)的比例關(guān)系，唯有 D 項不是直角三角形，故選D.分析:學生能夠充分辨別三角形中角、邊、邊長的平方所能判定直角三角形的條件,是學習 了勾股定理的逆定理后,對直角三角形

10、的認識的一個新的知識體系.10. 下列說法正確的有()1如果/A+ZB=ZC,那么 ABC 是直角三角形；如果/A:ZB:ZC=1:2:3，則三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長分別為4、4、6,那么這個三角形不是直角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形.A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個答案： D解答：/A+ZB=ZC,且ZA+ZB+ZC=180。，得ZC=90,ABC 是直角三角形，故正確；2設(shè)/ A=x, / B=2x, / C=3x,則/ A+Z B=Z C,由知，該三角形是直角三角形，故正確;342=16, 62=36，顯然 42+42 工 62,不符合勾股定理的逆定理

11、，該三角形不是直角三角形，故正確；4符合直角三角形的判定方法，故正確；所以 4 個結(jié)論都正確，故選 D.分析：根據(jù)題意，一一查看選項，根據(jù)勾股定理的逆定理或有一個角為直角的三角形為直角三角形判斷選項是否正確，本題考查直角三角形的判定方法，此題中涉及到直角三角形的三種判定方法：1有一個角是直角的三角形是直角三角形；2有兩個銳角互余的三角形是直角三角形；3勾股定理的逆定理；11.有四個三角形， 分別滿足下列條件： 一個角等于另外兩個內(nèi)角之和；三個內(nèi)角之比為 3: 4： 5；三邊之比為 5: 12： 13；三邊長分別為 5, 24, 25.其中直角三角形有 ()A. 1 個 B. 2 個 C. 3

12、個D. 4 個答案：B解答： (1).一個角等于另外兩個內(nèi)角之和,這個角=1X180 =90,是直角三角形;2(2)三個內(nèi)角之比為 3: 4： 5,(3)設(shè)三邊分別為5k,12k,13k,則(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k:=(13k)2,是直角三角形;(4)T52+242=25+576=601 工 252,三邊長分別為 5, 24, 25 的三角形不是直角三角形. 綜上所述，是直角三角形的有(1)( 3)共 2 個. 故選 B.分析：(1)( 2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。，求出三角形中最大的角的度數(shù)，然后即最大的53+4+5X180=X180v90,是銳角三角形

13、;可判斷；(4)根據(jù)勾股定理逆定理列式進行計算即可得解 本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，靈活求解，只要與90進行比較即可，技巧性較強12.AABC 中，/A厶B/ C 的對邊分別是 a、b、c,下列說法中，錯誤的是()2 2 2A.如果/C-/ B=/ A,那么/ C=90 B .如果/C=90,那么c-b =aC.如果(a+b)(a-b)=c2,那么/ C=90 D.如果/ A=30/ B=60,那么 AB=2BC答案：C解答：A.v/C-/B=/A, /C+/B+/A=180 2 / C=180/ C=90故此選項正確；B.v/C=90c是斜邊滿足c2-b2=a2故此選

14、項正確；C./(a+b)(a-b)=c2.a2-b2=c2.a是斜邊故此選項錯誤；D.v/A=30/B=60 / C=90, AB 為斜邊，BC 為 30角所對的邊 AB=2BC故此選項正確；故選 C分析：根據(jù)勾股定理的逆定理,三角形內(nèi)角和定理及含 30 度角的直角三角形對各個選項進 行分析,從而不難求解,此題主要考查：(1)含 30 度角的直角三角形：在直角三角形中,30角所對的直角邊等于斜邊的一半(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形13.下列說法中，正確的個數(shù)有(1已知直角三角形的

15、面積為2,兩直角邊的比為 1: 2,則斜邊長為 ;2直角三角形的最大邊長為二，最短邊長為 1,則另一邊長為 -;3在 ABC 中，若/ A:/ B:ZC=1: 5: 6，則 ABC 為直角三角形；4等腰三角形面積為 12,底邊上的高為 4，則腰長為 5.A. 1 個B . 2 個 C . 3 個D . 4 個答案：D解答：、設(shè)較短的一個直角邊為M,則另一個直角邊為 2M 所以 gMX 2M=2 解得 M=W ,2M=2 二根據(jù)勾股定理解得斜邊為所以此項正確；2、根據(jù)勾股定理解得，另一邊=,所以此項正確；3、設(shè)/ A=x,則/ B=5, / C=6x.因為x+5x+6x=180解得x=15，從而

16、得到三個角分別為 15 、75、90.即厶 ABC 為直角三角形，所以此項正確；4、已知面積和高則可以得到底邊為6,又因為是等腰三角形，則底邊上的高也是底邊上的中線，則可以得到底邊的一半為3此時再利用勾股定理求得腰長為廣一二5所以此項正確.所以正確的有四個.故選 D.分析：根據(jù)勾股定理以及三角形的內(nèi)角和定理即可解答，此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定及勾股定理等知識點.14.已知直角三角形三邊之比為1 : 1 :2，則此三角形一定是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D .等腰直角三角形答案：D解答：由直角三角形三邊之比為 1 ： 1：2，知其中兩邊相等，設(shè)三邊分別為k,k

17、,2k, 則由于k2，k2=2k2=( 2k)2，所以此三角形也是直角三角形，所以此三角形是等腰直角 三角形，故選 D.分析：有比的關(guān)系的問題一般通過設(shè)比例系數(shù)k，算出相關(guān)邊長或角的等量關(guān)系，再利用勾股定理的逆定理解題.15.下列結(jié)淪中，錯誤的有（）1Rt ABC 中，已知兩邊分別為 3 和 4，則第三邊的長為 5;2三角形的三邊分別為a、b、c,若a2+b2=c2,則/ A=903若 ABC 中，/ AZB:ZC=1: 5: 6,則這個三角形是一個直角三角形;2 24若（x-y） +M= （x+y） 成立，則 M=4c(a,b,c中c最大)，而在a,b,c三個數(shù)中c最大，如果能組成一個三角形

18、，則有a+Jbc成立，即(a+b)2(c)：即a+b+2abc(由a+bq,則不等式成立,從而滿足兩邊之和大于第三邊，則以a,b,c的長為邊的三條線段能組成一個三角形，故正確；a+b,c+h,h這三個數(shù)c+h一定最大，(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h(c+h)2=c2+h2+ 2ch,又 2ab=2ch=4SAABC 二(a+b)2+h2=(c+h)2,根據(jù)勾股定理的逆定理即以 a+b, c+h, h 的長為邊的三條線段能組成直角三角形，故正確；假設(shè)a=3,b=4,c=5,則1,1,1的a b c長為1,1,1,以這三個數(shù)的長為邊的三條線段不能組成直角三角形，故錯誤.345分析：充分

19、運用勾股定理和勾股定理的逆定理結(jié)合三角形成立的三邊關(guān)系進行判斷判斷分析，是學生綜合所學知識體系進行辯證提高的一個過程.19._ 已知|m- J2 |+ Jn -2 + (p-J2 )2=0 則以m n、p為三邊長的三角形是 _三角形.答案：等腰直角解答：根據(jù)題意得， m-2=0,n- 2=0, p-2=0,解得nr2,n=2,p=2, m=p又22+22=22=4,即m+p2=n2,以m n、p為三邊長的三角形是等腰直角三角形.故答案為：等腰直角.分析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出m n、p的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進行解答即可.本題考查了絕對值非負數(shù)，算術(shù)平方根非負數(shù)，平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾

20、個非負數(shù)的和等 于 0，則每一個算式都等于 0 列式是解題的關(guān)鍵.20. 已知x,y,z均為正數(shù)，且|X- 4|+ (y- 3) 2+y z -8=0,若以x,y,z的長為邊長畫三角形，此三角形的形狀為 _ .答案：直角三角形解答：根據(jù)題意得，x- 4=0,y- 3=0,y+z- 8=0,解得x=4,y=3,z=5,/ x2+y2=42+32=25=z2,此三角形是直角三角形.故答案為：直角三角形.分析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y、z的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷即可得到此三角形是直角三角形.本題考查了絕對值非負數(shù)，平方數(shù)非負數(shù)，算術(shù)平方根非負數(shù)的性 質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0,則每

21、一個算式都等于 0 列式是解題的關(guān)鍵，還考查了勾股定理逆定理的運用.三、解答題(共 5 小題)21. 一如圖，在 ABC 中，AB=41cm BC=18cm BC 邊上的中線 AD=40cm ABC 是等腰三角形嗎？為什么?答案：ABC 是等腰三角形解答： ABC 是等腰三角形，理由是： BC=18cm BC 邊上的中線為 AD/ BD=CD=9cm/ AB=41cm BC=18cm AD=40cmAB=1681,BD+Aj=1681 ,ABBD+AD, AD 丄 BC/ BD=CD AC=AB ABC 是等腰三角形.分析：由已知可得 BD 的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可判定AD 垂直 BC

22、從而根據(jù)可利用勾股定理求得 AC 的長，此時發(fā)現(xiàn) AB=AC 即該三角形是等腰三角形此題主要考查學生對 勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定線段的垂直平分線性質(zhì)的理解及運用.22.當a、b、c為何值時，代數(shù)式a -3 b2 C2-10b -8c - 6有最小值？并求出這個最小值和此時以a、b、c值為邊的三角形的面積.答案：a=3,b=5,c=4,這個最小值為-35,以 a、b、c 值為邊的三角形的面積為12.解答：Ta3 b2c210b8c 6=a-3+b2- 10b+25- 25+c2- 8C+16 - 16+6 =a -3+ (b- 5)2+ (c-4)2- 35,- 2 2 a-3 0,(

23、b-5)0,(c-4) 0,代數(shù)式a -3 b2c2-108c 6有最小值時，a=3,b=5,c=4,這個最小值為-35,以a、b、c值為邊的三角形為直角三角形，直角邊為a和c,以a、b、c值為邊的三角形的面積為 12.分析：首先把a_3 b2c2-108c 6進行配方得：a-3+b2- l0b+25- 25+c2-8c+16- 16+6,進一步整理得：a_3+ (b- 5)2+ (c - 4)2-35,分析可知，a_3 0,(b - 5)2 0,( c- 4)2 0,即可推出最小值為-35,a=3,b=5,c=4,此時三角形為直角 三角形直角邊長度為4 和 3,所以面積為 12.本題主要考查

24、完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，關(guān)鍵在于利用完全平方公式對原代數(shù)式進行配方分析a、b、c的值.23.已知 a, b, c 為正數(shù)，滿足如下兩個條件：a+b+c=32b ca c ab a bc 1- 十-十-=bccaab 4是否存在以a,b,c為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.答案：以a,b,c為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90 解答：解法1:將兩式相乘，得(c_ + a + b_ )(a + b + c) = 8,bccaab即:(b_c)2二a2_(c_a)2二b2. (a_b)2二c2,8,bccaab即(b_c)2二a24. (c_a)2二

25、b2* . (a_b)2二c2= ,bccaab即(b二c)2二a2,(c二a)2二b2,(a_b)2二c2=0,bccaab即(bc_a)(bca) . (c _a_b)(c_a _b) . (a_b_c)(a_b -c) = bccaab即 也_c_ a(b - c - a) -b(c - a + b) +c(a + b + c) = 0,abc即(b_2ab _a2_b2+c2 =0，abc(b c a)22即-c -(a -b) =0，abc即(b_c+a)(c+a _b)g _a +b) =0，abc所以b-c+a=0 或c+a-b=0 或c-a+b=0,即b+a=c或c+a=b或c

26、+b=a.因此，以a,b,c為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90 .解法 2:結(jié)合式，由式可得32二2a32二2b32二2C =1,bc caab 4變形，得10242(a2+b2+c2)=abc4_ 2 2 2 2又由式得(a+b+=1024，即a+b+c=1024 - 2 (ab+bc+ca),、1代入式，得1024 - 2(1024 -2(ab bc ca) abc，4即abc=16 (ab+bc+ca)- 4096.(a- 16)(b- 16)(c- 16) =abc- 16 (ab+bc+ca) +256(a+b+c)-163=-4096+256X32-163=0,所以a

27、=16 或b=16 或c=16.結(jié)合式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a.因此，以a,b,c為三邊長可構(gòu)成一個直角三角形，它的最大內(nèi)角為90 .分析：解法一：根據(jù)已知，將兩式相乘，運用平方差公式、完全平方式、提取公因式將乘積 分解為(b二c_a)(c-a-b)(c -a b) = 0.再根據(jù)每個因式都可能等于零，及勾股定理，abc判斷三角形為直角三角形.最大角度也就是90解法二：將式變形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判斷三角形的為直角三角形.最大角度也就是90.本題考查因式分解的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵是運用因式分解、等式變形求出a、b、c三角形三邊的關(guān)系.24.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距 13nmile 的 A, B 兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C 地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行 120 nmile，乙巡邏艇每小時航行50n mile，航向為北偏西 40 ,問：甲巡邏艇的航向是多少？解答：AC=120XA =12(nmile) , BC=50XA =5(nmile)，又因為 AB=13nmile ,所以60 60AC+BC=A，所以 ABC 是直角三角形，可知/CAB+/ CBA=9C，由/ CBA=5C，知/CA