2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、2014 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題(4 月 20 日 8:00 至 10:00)一填空題(本大題共10小題，每小題7分，共70分)11.若x2，則函數(shù)f (x) = x的最小值是.X +1X2.已知函數(shù)f (x)二e.若f(a b2，則f(3a) f (3b)的值是.3.已知數(shù)列 玄f是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d,Sn為前n項(xiàng)和，且滿足a/ =S2n_),n N*，則數(shù)列CaJ的通項(xiàng)a.二.22x 3x x二04.若函數(shù)f (x)2是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是.-2x +ax,x0則f (m)的值是.7.四面體ABCD中，AB=3,CD=5， 異面直線AB和CD之間的距離為4,夾角

2、為60, 則四面體ABCD的體積為.31&若滿足ABC,AC=3,BC二m的厶ABC恰有一解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.39.設(shè)集合S=1,2,lll,8?,A,B是S的兩個(gè)非空子集，且A中的最大數(shù)小于B中的最小 數(shù)，則這樣的集合對(duì)(代B)的個(gè)數(shù)是.2 25.已知函數(shù)f(x)二lg|x2若關(guān)于x的方程f (x) -5f (x) -6 =0的實(shí)根之和為m,6.設(shè)、-都是銳角，且cos二sin( )=-5，則cos：等于.10.如果正整數(shù)m可以表示為x -4y(x,yZ),那么稱m為“好數(shù)”.問(wèn)1,2,3,2014中“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為.解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)1 1 11

3、1.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，abcz,0,求abc的值.x y z2 212.已知F1,F2分別是雙曲線C:篤-占-1(a 0,b 0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為a b(0,b),直線RB與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分1線與x軸交于點(diǎn)M.若MF2RF2，求雙曲線C的離心率.213.如圖，已知ABC是銳角三角形，以AB為直徑的圓交邊AC于點(diǎn)D，交邊AB上的 高CH于點(diǎn)E.以AC為直徑的半圓交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：AG = AE.14. (1)正六邊形被3條互不交叉(端點(diǎn)可以重合)的對(duì)角線分割成4個(gè)三角形.將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形

4、涂的顏色不同.怎樣分割并涂色可以使紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)的差最大？(2)凸2016邊形被2013條互不交叉(端點(diǎn)可以重合)的對(duì)角線分割成2014個(gè)三角形.將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、欄兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不 同.在上述分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)之差的最大值是多少？證明你的結(jié)論.2006年全國(guó)1卷理科第12題設(shè)集合I二1,2,3,4,5，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大 的數(shù)，則不同的選擇方法共有（B）A.50種B.49種C.48種D.47種解法一，若集合A、B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C52=10種；2個(gè)元素，有

5、C52=10種選法，小的給A集合，大的給B集合;3個(gè)元素，有C53=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2 00=20種方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C54=5種選法，再分成1、3;2、2;3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3X5=15種方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有C55=1種選法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1兩組,若集合中有一個(gè)元素，集合中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有C53=10種;若集合中有一個(gè)元素，集合中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有C54=5種;若集合中有一個(gè)元素，集合中有四個(gè)元素，則選法種數(shù)有C5

6、5=1種;若集合中有兩個(gè)元素，集合中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有C53=10種;若集合中有兩個(gè)元素，集合中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有C54=5種;若集合中有兩個(gè)元素，集合若集合中有三個(gè)元素，集合若集合中有三個(gè)元素，集合若集合中有四個(gè)元素，集合則選法種數(shù)有C55= 1種;則選法種數(shù)有C54=5種;則選法種數(shù)有C55= 1種;則選法種數(shù)有C55=1種;總計(jì)有49種，選解法二：集合A、B中沒(méi)有相同的元素，且都不是空集,從5個(gè)元素中選出從5個(gè)元素中選出中有三個(gè)元素,中有一個(gè)元素,中有兩個(gè)元素,中有一個(gè)元素,較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4X仁4種方法；總計(jì)為10+20+15+4=4

7、9種方法.選B.第9題的本質(zhì)與推廣2014年金海南最后一模試題設(shè)整數(shù)n3,集合P二1,2,3,，n,A,B是P的兩個(gè)非空子集記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù).(1)求a3；(2)求an.解：(1)當(dāng)n=3時(shí)，P=1,2,3 ,其非空子集為：1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,則所有滿足題意的集合對(duì)(A,B)為：(1,2 ),(1,3 ),(2,3),(1,2,3), (1,2,3)共5對(duì),所以a3=5；.3分(2)設(shè)A中的最大數(shù)為k,其中Kkn-1,整數(shù)n3,則A中必含元素k,另元素1,2,k_1可在A中，故A的個(gè)數(shù)為：C：丄+C；丄+Ck：=2

8、k,5分B中必不含元素1,2,k,另元素k 1,k 2,k可在B中，但不能都不在B中，故B的個(gè)數(shù)為：cnf=2心-1,7分從而集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為2心 2心-1 = 2n-2心，nn所以an八22-2k1=(n-1) 2nd-1 2(n -2) 2nJ1.10分k z!1-2an=C(n,2) HC(n,3)-2+C(n n) (n-1)vC(n,k)k=n C(n-1,k-1)an=n -2A(門-1)-1-(2八n-1-n)=(n-2) 2A(n-1)+12014 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽第 10 題解答題目：如果正整數(shù)加可以表示為x2-4y2(x.yeZ),那么稱刃為好數(shù)”，問(wèn)

9、:1,2.3. -.2014中“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為_(kāi) 答案：881 (B解答：由平方數(shù)或模4余1或被4整除知，x:-4y2或模4余1或被4整除，心x= xk+設(shè)x2-4y2= 4kkeZ，則當(dāng)廠? o、時(shí)可得 ； ，所以x+2y = 4/r + ly = k刃=4A: + l,AreZ都罡好數(shù)，3 1W 2014B0 A:503 ,共有504個(gè)；設(shè)-AyAk.keZ,易御x為偈數(shù)，故可設(shè)x=2*2-k.ke Z , af ,k+1當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，令=,可解得 , ,故m+lc為奇數(shù)都是好數(shù)，x +y = kk-1y=當(dāng)1SES2014時(shí)為滿足1SZS5O3的奇數(shù)，共有出|11 + 1 = 252加二

10、僅簽18（本題滿分80分.毎小題20分）11-已知ab,c為正實(shí)數(shù)，d=y=d. 2+丄牡=0；求心的值.ill證明1設(shè)a1-ycf=p O W a=pltb= p c- pz. 10分ill丄.1所以abc- p p/ p =. 15分囚+2=0 xy所以a6c= p = l. 20分12己知甘巧分別楚雙曲線C：=I（a0.bQ）的左右條點(diǎn).點(diǎn)“的坐標(biāo)為（0b）, 直線 F/與雙曲線C的兩條漸近線分別交Q彌點(diǎn).線段，0的垂“平分線與*紬 交于點(diǎn)M.若MF2=FlF2求雙曲線C的離心率.解：設(shè)雙曲線C：-p=l（a0.b0）的半焦距長(zhǎng)為c則點(diǎn)丹，巧的坐標(biāo)分別（一 G0）. （c0）從而r線F/

11、的方程為士+扌=】雙曲線c：弓一令=I的漸近線方程為4-p=o.消去 紂.bJx2 2fi2cxa2c2-0.；9由韋達(dá)定理得：線段 磴中點(diǎn)的坐標(biāo)（年，）.因此PQ中垂線的方程是：廣= 一敢-非） 另一方而，由陽(yáng)=*斤則M（2c.0）.或A/（0, OX舍去）.由此可得.c+歹=2c 即a=6 故e=yji. 20分10分衽上式中.令y=0得M（c+芳，0）.15分13如陽(yáng).已知ZUHC&tft偷三角彤.以肋為趙“的廚文血*點(diǎn)幾交 gB1的爲(wèi)C7/千以為交8/）妙KK儀于點(diǎn)&求遲AG-AE.SEW：連MBE. CG.因?yàn)闉閃他90.BG1AC.又日住中由射影定理羽A-AlbAB

12、.因?yàn)?C為N所以Z4GCW,任 23中（HWB定理 ACPAD-AC. g 舟 ZRDC=ZBHC=9O*所以乩C. D 四點(diǎn)共隨 從而tfJWtl定丹feM“二“. 所以AAG1UPAEAG.正六邊他3條互不交叉仲點(diǎn)可以貫合）的對(duì)角線分割成4個(gè)三角慎辭個(gè)三角彤 區(qū)域涂上紅.董兩IffllfiZ-,便得有公共邊的三角形涂的濮色不 間屯樣分割并涂色可以使紅色三和宓個(gè)舷與査色三角序個(gè)數(shù)的苓星大？（2）凸2016邊形披2013條互不交叉（塔點(diǎn)可以貫合）的對(duì)角線分割成2014個(gè)三角形將甜個(gè)三和形區(qū)域涂上 ft.ii兩種嶽色2on公共邊的三用 形涂的廉色不同莊上處分抽并滌色的所和桃中.紅色三角形個(gè)救與

13、直色三角形個(gè)效Z量的最大值足參少？證明你的結(jié)論.15分20分A B(D 3條對(duì)角線分御4個(gè)三角形，相外的兩個(gè)涂色相畀.紅色三角影又有it色三角彤.不妨設(shè)紅色三舸形多于苣色三角形.則苣色三瀚形至少有丨個(gè).紅 色三角影矽J個(gè).紅色三角形個(gè)做顯色三角形個(gè)數(shù)2蘢不超過(guò)3-1-2.如圖連按VCCE 以.&4CE 除苴色.其余3個(gè)三角彤涂何色.丫為2.故紅色三角彤個(gè)ttMfi色三角彤個(gè)數(shù)Z雄的最大位為2. . 5分2) 2013條業(yè)不交叉(細(xì)直可以腹含)的對(duì)飭找分卅成2014亍二用彤.如個(gè) 衍形M城彷紂、 比兩科龍色2便得棄公共邊的三角形渝的滋色不樹(shù).設(shè)紅色三如庇多F藍(lán)色三角彤抑個(gè)直色三角彤三條邊中至少右條時(shí)如線的羨辺個(gè)對(duì)角絞的條數(shù)只Ife為1.2或3.櫥條對(duì)角歿只F-個(gè)譽(yù)色三角彤設(shè)邊中恰穴”n3)條對(duì)角找的il色三角形的個(gè)數(shù)為E刷對(duì)和找條C(m2mT炳產(chǎn)2013. ii色三角形個(gè)盼嚴(yán) M 轄嚴(yán) 竽-671.紅色三角彤個(gè)tt紅色三角彫個(gè)效與苣色三角形個(gè)ftZ 1M3-67I-672.注意対凸6邊影中紅色三角彤個(gè)MtS色三角形個(gè)ttZ的大位為2ltH6邊形的謖均為紅色： 敘定凸弘邊形中.紅色三角形個(gè)色三