第六章概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念(1)

1、 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用相當(dāng)廣泛的一個(gè)數(shù)學(xué)分支數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用相當(dāng)廣泛的一個(gè)數(shù)學(xué)分支. 隨著隨著統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)-概率論概率論的發(fā)展，應(yīng)用概率論的發(fā)展，應(yīng)用概率論的知識更深入地分析隨機(jī)現(xiàn)象就成為必然的結(jié)果的知識更深入地分析隨機(jī)現(xiàn)象就成為必然的結(jié)果. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究如何有效地收集、整理和分析數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究如何有效地收集、整理和分析受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并對所研究的問題做出判斷受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并對所研究的問題做出判斷或預(yù)測，以便為采取決策和行動提供依據(jù)和建議或預(yù)測，以便為采取決策和行動提供依據(jù)和建議的一門科學(xué)的一門科學(xué). 概率論是在隨機(jī)變量的分布已知條件下概率論是在隨機(jī)變量的分布已知條件下,研

2、究隨機(jī)研究隨機(jī)變量的各種性質(zhì)變量的各種性質(zhì).例如求某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、例如求某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等等數(shù)字特征等等. 而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是在隨機(jī)變量的分布而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是在隨機(jī)變量的分布未知未知,或不完全已知的情況下或不完全已知的情況下,通過對收集整理的數(shù)據(jù)通過對收集整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)行分析,研究隨機(jī)變量的分布并做出各種統(tǒng)計(jì)推斷研究隨機(jī)變量的分布并做出各種統(tǒng)計(jì)推斷.總體總體：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中, , 把研究對象的全體稱為總體。把研究對象的全體稱為總體。個(gè)體個(gè)體：總體中的每個(gè)研究對象稱為個(gè)體：總體中的每個(gè)研究對象稱為個(gè)體.(P114).(P114) 定義定義在實(shí)際應(yīng)用中人們關(guān)心的是研究對

3、象在實(shí)際應(yīng)用中人們關(guān)心的是研究對象( (即總體即總體) )的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo), ,而這個(gè)數(shù)量指標(biāo)常常是事先而這個(gè)數(shù)量指標(biāo)常常是事先無法預(yù)知的，所以它是一個(gè)隨機(jī)變量無法預(yù)知的，所以它是一個(gè)隨機(jī)變量. .從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布或隨機(jī)變量的分布.1 總體與樣本總體與樣本從總體從總體 中抽取中抽取n n個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體, , 得到得到n n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量 ，若：，若：(1) (1) 與總體與總體 同分布；同分布；(2)(2) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .則稱則稱 為從總體為從總體( (或從或從F)F)得到的得到的容量為容量為n n

4、的簡單隨機(jī)樣本的簡單隨機(jī)樣本, ,簡稱樣本。簡稱樣本。它們的觀察值它們的觀察值 稱為樣本觀察值稱為樣本觀察值. . 抽取樣本的過程稱為抽樣抽取樣本的過程稱為抽樣. . (P115)為了研究總體的分布以及其它統(tǒng)計(jì)特性為了研究總體的分布以及其它統(tǒng)計(jì)特性, , 必須按照必須按照一定的規(guī)則從總體中抽取一部分個(gè)體一定的規(guī)則從總體中抽取一部分個(gè)體, , 根據(jù)獲得根據(jù)獲得的個(gè)體數(shù)據(jù)來對總體的分布和統(tǒng)計(jì)特性做出推斷的個(gè)體數(shù)據(jù)來對總體的分布和統(tǒng)計(jì)特性做出推斷. .定義定義1( )XF x12,nXXX12,nXXXX12,nXXX12,nXXX12,nx xx也可將樣本看成維隨機(jī)變量也可將樣本看成維隨機(jī)變量 樣

5、本觀察值相應(yīng)地記為樣本觀察值相應(yīng)地記為 .12(,)nXXX12( ,)nx xx設(shè)設(shè) 是來自總體是來自總體 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本, ,則則 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ( )XF x12,nXXX12(,)nXXX121( ,)( )nniiFx xxF x若總體具有概率密度若總體具有概率密度 , ,則樣本的概率密度為則樣本的概率密度為若總體具有分布律若總體具有分布律 , ,則樣本的分布律為則樣本的分布律為)(xfP Xx121( ,)( )nniifx xxf x111,nnniiP XxXxP Xx來自總體的樣本含有總體的信息，來自總體的樣本含有總體的信息，是總體的代表是總體的代表.我們作

6、統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)就是樣本我們作統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)就是樣本. . 但樣本中包含的但樣本中包含的信息比較分散，一般不能直接用于統(tǒng)計(jì)推斷信息比較分散，一般不能直接用于統(tǒng)計(jì)推斷. . 為了為了把分散在樣本中的信息集中起來，我們針對不同的把分散在樣本中的信息集中起來，我們針對不同的問題構(gòu)造各種適當(dāng)?shù)臉颖竞瘮?shù)問題構(gòu)造各種適當(dāng)?shù)臉颖竞瘮?shù). .設(shè)設(shè) 是來自總體的一個(gè)樣本，是來自總體的一個(gè)樣本，若樣本的函數(shù)若樣本的函數(shù) 中不含未知參數(shù)，中不含未知參數(shù)，則稱則稱 是一統(tǒng)計(jì)量是一統(tǒng)計(jì)量. . (P116) 定義定義2 212,nXXX),(21nXXXg),(21nXXXg若若 是樣本的觀察值是樣本的觀察值, ,則則 是

7、是 觀察值觀察值.12,nx xx),(21nxxxg),(21nXXXg常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量: :(1)(1)樣本均值樣本均值(2)(2)樣本方差樣本方差 (3)(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差(4)(4)樣本階樣本階( (原點(diǎn)原點(diǎn)) )矩矩(5) (5) 樣本階中心矩樣本階中心矩niiXnX11niiXXnS122)(11niiXXnSS122)(1111nkkiiAXn11()nkkiiBXXn1,2,k 2,3,k 設(shè)為相互獨(dú)立且均服從的隨機(jī)變量，稱設(shè)為相互獨(dú)立且均服從的隨機(jī)變量，稱服從自由度為服從自由度為n n的的 分布，記為分布，記為 . . (P118) 定義定義1 1統(tǒng)計(jì)量的分布

8、稱為抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布. .下面介紹三種由下面介紹三種由正態(tài)總體演化而來的統(tǒng)計(jì)量的分布：正態(tài)總體演化而來的統(tǒng)計(jì)量的分布： 2 2分布、分布、 t t 分布和分布和F F分布分布2 2 常用統(tǒng)計(jì)量的分布常用統(tǒng)計(jì)量的分布 222212nXXX2)(22nnXXX,210,1N 分布的概率密度為分布的概率密度為 及其曲線及其曲線2122210( )2( )200nxnxexnf xx 分布具有如下性質(zhì)分布具有如下性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1 設(shè)設(shè) 則則 , ., .性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè) , , ,并且兩者相互并且兩者相互 獨(dú)立獨(dú)立, ,則則 . . 222( ),n2()En2()2Dn221

9、1()n2222()n2221212()nn設(shè)設(shè)X 2(n)，對于給定的對于給定的 ：0 1，稱滿足條件稱滿足條件 的點(diǎn) 為分布的上為分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn).(P120) 定義定義2 2222( )( )( )nPnf x dx)(2nXN(0,1),Y 2(n),X與與Y相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量服從自由度為服從自由度為n n的的t t分布分布,記為記為.(P120) 定義定義3 3nYXt )(ntt分布的概率密度為分布的概率密度為)(nt1221()2( )(1)( )2nnxf xnnnx f xfx性質(zhì)性質(zhì) (1)分布的概率密度具有對稱性分布的概率密度具有對稱性, ,

10、即即. .(2) (2) 分布的概率密度的極限是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布的概率密度的極限是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的概率密度, , 即即)(nt)(nt 221lim( )2xnf xxe分布的概率密度曲線為分布的概率密度曲線為)(nt設(shè)設(shè)，對于給定的對于給定的 ：0 1，稱滿足條件稱滿足條件 的點(diǎn) 為分布的上為分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn) (P120) 定義定義( )( )( )tnP ttnf x dx)(ntt nt)()(1ntnt注注設(shè)設(shè),，X與與Y相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量服從第一自由度為服從第一自由度為 ，第二自由度為，第二自由度為 的的F F分布分布記為記為 (P121) 定義定義 分布的概率密度為分布的概率密度為21()Xn22()Yn12X nFY n1n2n12( ,)FF n n12( ,)F n n1112112221212122()()20( )() ()(1)2200nnnnnnnxnxnn