流體力學(xué)第6章流體運動微分方程

1、1 6 流體流動微分方程 基本內(nèi)容基本內(nèi)容：l掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)l熟悉熟悉Navier-Stokes方程方程l了解了解Euler方程方程 2 最大優(yōu)點在于對定常流動，當(dāng)已知控制面在于對定常流動，當(dāng)已知控制面上流動的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和上流動的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和平均速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動的詳平均速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動的詳細(xì)情況，給一些工程問題的求解帶來方便。細(xì)情況，給一些工程問題的求解帶來方便。 缺點不能得到控制體內(nèi)各處流動的細(xì)節(jié)，不能得到控制體內(nèi)各處流動的細(xì)節(jié)，而這對深入研究流體運動是非常重要的。而這對深入研究流體運動是非

2、常重要的。 這一章中我們將推導(dǎo)微分形式的守恒方程。3 流體流動微分方程包括流體流動微分方程包括:l連續(xù)性方程連續(xù)性方程l運動方程運動方程 連續(xù)性方程連續(xù)性方程是流體是流體質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)描述。的數(shù)學(xué)描述。 運動方程運動方程是流體是流體動量守恒動量守恒的數(shù)學(xué)描述。的數(shù)學(xué)描述。二者都是基于流場中的點建立的微分方程。二者都是基于流場中的點建立的微分方程。46.1 6.1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx 連續(xù)性方程反映流動過程遵循質(zhì)量守恒。連續(xù)性方程反映流動過程遵循質(zhì)量守恒?，F(xiàn)取微元體如圖。現(xiàn)取微元體如圖。5dxdyvdxdzvdyd

3、zvzyx輸出微元體的質(zhì)量流量為輸出微元體的質(zhì)量流量為：dxdydzzvvdxdzdyyvvdydzdxxvvzzyyxx)()()(輸入微元體的質(zhì)量流量輸入微元體的質(zhì)量流量：zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx6則輸出與輸入之差為則輸出與輸入之差為：dxdydzzvyvxvzyx)()()(微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為：dxdydzt7根據(jù)質(zhì)量守恒原理有根據(jù)質(zhì)量守恒原理有：0)()()(tzvyvxvzyx或或0)(tv該式即為直角坐標(biāo)系下的該式即為直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程連續(xù)性方程。由于。由于未作任何假設(shè)，該方程適用于層流和湍流、未作任何假設(shè)

4、，該方程適用于層流和湍流、牛頓和非牛頓流體。牛頓和非牛頓流體。8 對對不可壓縮流體不可壓縮流體，=常數(shù)，有常數(shù)，有/t=0，則，則連續(xù)性方程為連續(xù)性方程為0v不可壓縮流體的連續(xù)性方程不僅形式簡單，而不可壓縮流體的連續(xù)性方程不僅形式簡單，而且應(yīng)用廣泛，且應(yīng)用廣泛，。 0)(tv9在直角坐標(biāo)系中可表示為在直角坐標(biāo)系中可表示為0zvyvxvzyx對平面流動對平面流動0yvxvyx( (柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。) )10例題例題：不可壓縮流體的二維平面流動，：不可壓縮流體的二維平面流動，y方向方向的速度分量為的速度分量為xyyvy2試求試求x方向的速度分量，

5、假定方向的速度分量，假定x=0時，時，vx=0。11解：不可壓縮流體的平面運動滿足連續(xù)性方程解：不可壓縮流體的平面運動滿足連續(xù)性方程0yvxvyx由已知條件得由已知條件得012yxvx積分得積分得)()21 (yfxyvxvy=y2-y-x12根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件x=0時時vx=0代入上式得代入上式得)(0)21 (0yfy故有故有0)(yf所以所以xyxxyvx2)21 (13例題例題：不可壓縮流體的速度分布為：不可壓縮流體的速度分布為 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0若此流場滿足連續(xù)性方程和無旋條件，試求若此流場滿足連續(xù)性方程和無旋條件，試求A，B，C，D所滿足的條件。不計重

6、力影響。所滿足的條件。不計重力影響。14解：由連續(xù)方程可知解：由連續(xù)方程可知0yvxu則有則有0 DA又由于流動無旋，則有又由于流動無旋，則有xvyu則有則有0CBu=Ax+By, v=Cx+Dy, w=015練習(xí)：練習(xí)：有一個三維不可壓流場，已知其有一個三維不可壓流場，已知其x向和向和y向的分向的分速度為速度為)(322zxyzxyvzyxvyx求其求其z向的分速度的表達(dá)式。當(dāng)向的分速度的表達(dá)式。當(dāng)x=0，z=0時，時，vz=2y。2y2zv2zzx答案：166.26.2不可壓縮粘性流體運動微分方程不可壓縮粘性流體運動微分方程 在運動著的不可壓縮粘性流體中取微元平在運動著的不可壓縮粘性流體中

7、取微元平行六面體流體微團(tuán)，作用在流體微元上的各法行六面體流體微團(tuán)，作用在流體微元上的各法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。17zyxxx xy xzyy yx yz zyzz zxfxfzfy xy xy+xdx xz xz+xdxxxxx+xdx zy zy+zdz zx zx+zdzzzzz+zdzdzdydx yx yx+ydy yz yz+ydyyyyy+ydy18 對流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，則沿對流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，則沿x軸軸方向的運動微分方程為方向的運動微分方程為DtDvdxdydzdxdydzzdxdydzdxdyydzdxdydzdxxdydzdxdy

8、dzfxzxzxzxyxyxyxxxxxxxx)()()(19化簡后得化簡后得DtDv)zyx(1fxzxyxxxx同理得同理得DtDv)yxz(1fDtDv)xzy(1fzyzxzzzzyxyzyyyy以應(yīng)力表示的運動方程20將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式zvpxvzvyvpzvyvxvpxvyvzzzzxzxyyyyzyzxxxyxxy2)(2)(2)(代入上式的第一式并整理得：代入上式的第一式并整理得：21)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxx

9、同同理理得得不可壓縮粘性流體的運動微分方程，也不可壓縮粘性流體的運動微分方程，也叫叫Navier-Stokes方程，簡稱方程，簡稱N-S方程。方程。vvtvDtvD)(22 法國工程師和物理學(xué)家。特別對力學(xué)法國工程師和物理學(xué)家。特別對力學(xué)理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的納維爾納維爾. .斯斯托克斯（托克斯（NavierNavier-Stokes-Stokes）方程）方程就用他和斯托克就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程實際斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程實際的的彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1826年，他提出年，他提出彈性彈性模量模量概

10、念。納維爾通常被認(rèn)為是概念。納維爾通常被認(rèn)為是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人奠基人。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是N-S方程，方程，流體力學(xué)的基本方程。流體力學(xué)的基本方程。 23 英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。英國力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。18451845年斯托克斯在年斯托克斯在論運動中流體的內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和論運動中流體的內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和運動的理論運動的理論中給出粘性流體運動的基本方程中給出粘性流體運動的基本方程組，后稱組，后稱納維納維- -斯托克斯方程斯托克斯方程，流體力學(xué)中最，流體力學(xué)中最基本的方程組。基本的方程組。 斯托克斯在數(shù)學(xué)方面以場論中關(guān)于線積分和面積分之斯托克

11、斯在數(shù)學(xué)方面以場論中關(guān)于線積分和面積分之間的一個轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。間的一個轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。 納維納維從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運動方程推廣，從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運動方程推廣，18211821年獲得粘年獲得粘性流體運動方程。性流體運動方程。18451845年年斯托克斯斯托克斯從連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型和牛頓關(guān)于從連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型和牛頓關(guān)于粘性流體的規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運動的基本方程組，后稱納維粘性流體的規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運動的基本方程組，后稱納維- -斯托克斯方程。斯托克斯方程。 24N-S方程方程理想流體理想流體=0=0理想流體理想流體歐拉運動歐拉運動微分

12、方程微分方程 定常流動定常流動歐拉歐拉平衡平衡微分方程微分方程25 萊昂哈德萊昂哈德歐拉歐拉 （Leonhard Euler） 17071783 瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大的瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一兩位數(shù)學(xué)家之一。歐拉是第一個使用歐拉是第一個使用“函數(shù)函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)一詞來描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的人，例如：的表達(dá)式的人，例如：y = F(x) (函數(shù)的定義由萊布尼函數(shù)的定義由萊布尼茲在茲在1694年給出年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一。者之一。歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變歐拉

13、在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻(xiàn)。分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻(xiàn)。 26vpfvvtv21)(各項意義為：各項意義為：非定常項；非定常項； 對流項；對流項； 單位質(zhì)量流體的體積力；單位質(zhì)量流體的體積力； 單位質(zhì)量流體的壓力差；單位質(zhì)量流體的壓力差； 擴(kuò)散項或粘性力項擴(kuò)散項或粘性力項N-S方程的矢量形式為方程的矢量形式為27 由于引入了廣義牛頓剪切定律，故由于引入了廣義牛頓剪切定律，故N-S方方程只適用于牛頓流體程只適用于牛頓流體，處理非牛頓流體問題處理非牛頓流體問題時可用以應(yīng)力表示的運動方程。時可用以應(yīng)力表示的運動方程。 NavierNavier-Stokes-Stok

14、es方程是不可壓流體理論中最根本的非線性偏微分方程組，是描述不可壓縮粘性流體運動最完整的方程，是現(xiàn)代流體力學(xué)的主干方程 。286.36.3基本微分方程組的定解條件基本微分方程組的定解條件 N-S方程有四個未知數(shù)，vx、vy、vz和p，將N-S方程和不可壓縮流體的連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可通過積分求解，得到四個未知量。一般而言，通過積分得到的是微分方程的通解，再結(jié)合基本微分方程組的定解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才能得到具體流動問題的特解。291.1.初始條件初始條件 對非定常流動，要求給定變量初始時刻對非定常流動，要求給定變量初始時刻t=t0的空間分布的空間分布),(),(),()

15、,(0000zyxppzyxvvzyxvvzyxvvzzyyxx顯然，對于定顯然，對于定常流動，不需常流動，不需要初始條件。要初始條件。302.2.邊界條件邊界條件 所謂邊界條件，是包圍流場每一條邊界上的流場所謂邊界條件，是包圍流場每一條邊界上的流場數(shù)值。不同種類的流動，邊界條件也不相同。流體流數(shù)值。不同種類的流動，邊界條件也不相同。流體流動分析中最常遇到的三類邊界條件如下：動分析中最常遇到的三類邊界條件如下：（1）固體壁面）固體壁面 粘性流體與一不滲透的，無滑移的固體壁面相接粘性流體與一不滲透的，無滑移的固體壁面相接觸，在貼壁處，流體速度觸，在貼壁處，流體速度wvv 若流體與物面處于熱平衡態(tài)

16、，則在物面上必須保持溫若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫度連續(xù)度連續(xù)wTT 31（2）進(jìn)口與出口）進(jìn)口與出口 流動的進(jìn)口與出口截面上的速度與壓強的流動的進(jìn)口與出口截面上的速度與壓強的分布通常也是需要知道的，如管流。分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液體）液體-氣體交界面氣體交界面 液體液體-氣體交界面的邊界條件主要有兩個：氣體交界面的邊界條件主要有兩個： 運動學(xué)條件運動學(xué)條件，即通過交界面的法向速度應(yīng)相等。，即通過交界面的法向速度應(yīng)相等。 壓強平衡條件壓強平衡條件，即液體的壓強必須與大氣壓和表，即液體的壓強必須與大氣壓和表面張力相平衡。面張力相平衡。32 根據(jù)這些初始條件和邊界

17、條件，我們可對根據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到符合實際流動的求解結(jié)果。符合實際流動的求解結(jié)果。 但實際上，只有極少數(shù)的問題可求出理論但實際上，只有極少數(shù)的問題可求出理論解，解，通常采用數(shù)值解法通常采用數(shù)值解法。33例題例題：不可壓縮粘性流體在距離為：不可壓縮粘性流體在距離為b的兩個大水的兩個大水平板間作定常層流流動，假定流體沿流動方向平板間作定常層流流動，假定流體沿流動方向的壓強降已知，求的壓強降已知，求: （1 1）兩板固定不動兩板固定不動;（2 2）下板固定上板以等速下板固定上板以等速U沿流動方向運動；沿流

18、動方向運動；兩板間流體運動的速度分布。兩板間流體運動的速度分布。流向流向yxb34解：由于流體水平運動，則有解：由于流體水平運動，則有0,0zyxfgff由于流動是一維的，有由于流動是一維的，有vy=vz=0；由于流動是定常的，有由于流動是定常的，有0tvtvtvzyx35)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxxvvtvDtvD)(36所以所以N-S方程可簡化為方程可簡化為)2() 1 ()(12222ypgyvxvxpxvvxxxx由連續(xù)方程可得由連續(xù)方程可得)3(0 xvx37將式將式(3)代入式代入式(1)得得)4(22dyvdxpx思考題：為什么上式右端偏導(dǎo)數(shù)改寫成全導(dǎo)數(shù)？思考題：為什么上式右端偏導(dǎo)數(shù)改寫成全導(dǎo)數(shù)？對上式進(jìn)行兩次積分