直線和圓弧的生成算法

1、第3章直線和圓弧的生成算法3.1 直線圖形的生成算法數(shù)學上的直線是沒有寬度、由無數(shù)個點構成的集合，顯然，光柵顯示器只 能近地似顯示直線。當我們對直線進行光柵化時，需要在顯示器有限個像素中， 確定最佳逼近該直線的一組像素，并且按掃描線順序，對這些像素進行寫操作， 這個過程稱為用顯示器繪制直線或直線的掃描轉換。由于在一個圖形中，可能包含成千上萬條直線，所以要求繪制算法應盡可能地快。本節(jié)我們介紹一個像素寬直線繪制的三個常用算法：數(shù)值微分法（DDA）、中點畫線法和Bresenham算法。3.1.1 逐點比較法3.1.2 數(shù)值微分（DDA）法設過端點R（x0 ,y。、P1（X1 y）的直線段為L（Po

2、R）,則直線段L的斜率為”也 要在顯示器顯示也 必須確定最佳逼近£的氟素集合口我們從 內(nèi)一兩L的起點Po的橫坐標X0向L的終點Pi的橫坐標xi步進，取步長=1（個像素），用L 的直線方程y=kx+b計算相應的y坐標，并取像素點（x,round（y）作為當前點的坐 標。因為：y+1= kxi+1+b=k1xi+b+ k x=yi+k x所以，當X =1;yi+i = y+ko也就是說，當x每遞增1, y遞增k(即直線斜率)。根據(jù)這個原理，我們可以寫出DDA ( Digital Differential Analyzer )畫線算法程序。DDA畫線算法程序:void DDALine(in

3、t x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x；float dx, dy, y, k ;dx = x1-x0 ； dy=y1-y0 ;k=dy/dx, ； y=y0 ；for (x=x0 ； x< x1 ； x+) drawpixel (x, int(y+0.5), color);y=y+k;注意：我們這里用整型變量color表示像素的顏色和灰度。舉例：用DDA方法掃描轉換連接兩點P0 (0,0)和P1 (5,2)的直線段xint(y+0.5)y+0.5000100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.5圖3.1.1直線段的

4、掃描轉換注意：上述分析的算法僅適用于|k|<1的情形。在這種情況下，x每增加1,y最多增加1。當|k| 1時，必須把x, y地位互換，y每增加1, x相應增加 1/k。在這個算法中，y與k必須用浮點數(shù)表示，而且每一步都要對y進行四舍五 入后取整，這使得它不利于硬件實現(xiàn)。動畫演示：數(shù)值微分畫線算法(DDA)用仍用方筑益柏轉換盤盤兩直 亞3G笈P (5,2)的去俵包O 一為起始點一為當前象親點o 為終止點522.。| 0. 5Word資料3.1.3 中點畫線法假定直線斜率k在01之間，當前像素點為(”,yp),則下一個像素點 有兩種可選擇點Pi (xp+1,yp)或P2 (xp+1,yp+1

5、 )。若Pi與沁的中點(xp+1,yp+0.5) 稱為M, Q為理想直線與x=xp+1垂線的交點。當M在Q的下方時，則取P2應 為下一個像素點；當M在Q的上方時，則取Pi為下一個像素點。這就是中點畫 線法的基本原理。圖3.1.2中點畫線法每步迭代涉及的像素和中點示意圖下面討論中點畫線法的實現(xiàn)。過點(xo,y。)、(xi, yi)的直線段L的方程式為 F(x, y)=ax+by+c= 0,其中，a=yo-yi, b=xi-xo, c=xoyi-xiyo,欲判斷中點 M 在 Q 點 的上方還是下方，只要把 M代入F (x, y),并判斷它的符號即可。為此，我們 構造判別式：d= F(M)= F(x

6、o+i, yp+0.5)= a(xp+i)+ b(yp+0.5)+ c當d<0時，M在L(Q點)下方，取8為下一個像素；當d>0時，M在L(Q點)上方，取Pi為下一個像素；當d=0時，選Pi或P2均可，約定取Pi為下一個像素； 注意到d是xp,yp的線性函數(shù)，可采用增量計算，提高運算效率。若當前像素處于d 0情況，則取正右方像素Pi(xp+1, yp),要判下一個像素 位置，應計算 di = F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)= d + a,增量為 a。若d<0時，則取右上方像素P2(xp+1, yp+1)0要判斷再下一像素，則要計 算 d2=

7、 F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b，增量為 a+ b。畫線從(xo,yo) 開始，d 的初值 do=F(xo+1, yo+o.5)=F(xo, yo)+a+o.5b,因 F(xo, yo)=o,所以 do= a+o.5b。由于我們使用的只是d的符號，而且d的增量都是整數(shù)，只是初始值包 含小數(shù)。因此，我們可以用2d代替d來擺脫小數(shù)，寫出僅包含整數(shù)運算的算法 程序。中點畫線算法程序:void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2, d, x,

8、y ；a=y0-y1 ; b=x1-x0 ； d=2*a+b ；d1=2*a ； d2=2* (a+b)；x=x0; y=y0 ;drawpixel(x, y, color);while (x<x1) if (d<0) x+ ; y+ ; d+=d2; else x+； d+=d1;drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */舉例：用中點畫線方法掃描轉換連接兩點P0 (0,0)和P1 (5,2)的直線段。a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6

9、 ,xyd00110-321331-14255215圖3.1.3中點畫線法問題1:若上述算法往下取二步(i=2),則算法和像素的取法將變成怎樣?問題2:與DDA法相比，中點法的優(yōu)點是什么?動畫演示：中點畫線算法用中支詼假力俊扣盤搶排連接國直亞9G和制(52)的支修段d=F(M)=F (jp+1, yptJL 5) =a (sp+1 > +b (yp+0.5)+a a=y0-yl=-2: W1-j(O5; d0=2*a+b= 1 ;d1=2*a= ;d2=2*(a+b) =6 a以正石用象系為卜一個家靠位置一水電收右上方發(fā)黃力下，個象然他附3.1.4 Bresenham 算法Bresenh

10、am算法是計算機圖形學領域使用最廣泛的直線掃描轉換算法。仍 然假定直線斜率在01之間，該方法類似于中點法，由一個誤差項符號決定下 一個像素點。算法原理如下：過各行各列像素中心構造一組虛擬網(wǎng)格線。按直線從起點到終點的順序計算直線與各垂直網(wǎng)格線的交點，然后確定該列像素中與此交點 最近的像素。該算法的巧妙之處在于采用增量計算，使得對于每一列，只要檢查一個誤差項的符號，就可以確定該列的所求像素。如圖2.1.4所示，設直線方程為yi+產(chǎn)yi+k(x+xi)+k。假設列坐標像素已經(jīng) 確定為x,其行坐標為yio那么下一個像素的列坐標為 x+1,而行坐標要么為V，要么遞增1為yi+ 1。是否增1取決于誤差項d

11、的值。誤差項d的初值d0=0, x坐標每增加1, d的值相應遞增直線的斜率值k,即=十七一旦d1,就 把它減去1,這樣保證d在0、1之間。當d >0.5時，直線與垂線x=x+1交點 最接近于當前像素僅i, yi)的右上方像素(x+1, y+1);而當d<0.5時，更接近于 右方像素(x+1, y)。為方便計算，令e = d 0.5, e的初值為-0.5,增量為k。 當e0時，取當前像素(x, yi)的右上方像素(x+1, yi+1);而當e<0時，取僅i, yi)右方像素(xi+1, y)。圖3.1.4 Bresenham算法所用誤差項的幾何含義O Bresenham畫線算法

12、程序： void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int x, y, dx, dy;float k, e;dx = x1-x0 ； dy = y1-y0 ； k=dy/dx ；e=-0.5 ; x=x0,; y=y0 ;for (i=0 ； i<dx ； i+) drawpixel (x, y, color);x=x+1 ； e=e+k;if (e 0) y+； e=e-1;舉例：用Bresenham方法掃描轉換連接兩點P0 (0,0)和P1 (5,2)的直線段xye00-0.510-0.121-0.731-0

13、.342-0.952-0.5圖 3.1.5 Bresenham 算法上述Bresenham算法在計算直線斜率與誤差項時用到小數(shù)與除法。可以改 用整數(shù)以避免除法。由于算法中只用到誤差項的符號，因此可作如下替換： 2*e*dx。改進的Bresenham畫線算法程序:void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) dx = x1-x0, ； dy = y1- y0, ; e=-dx;x=x0 ； y=y0;for (i=0; i<dx; i+)drawpixel (x, y, color);x+ ； e=e+2*

14、dy;if (e 0) y+; e=e-2*dx;動畫演示： Bresenham 畫線算法:用方?？巯噢D穩(wěn)屈曩愚魚P0。.切備W (5)的直我期*d 0, 5, d+k, k-dv/dx»'戶QHlr取與前兼索加在匕以朱春為下 個以意-為當前象素點一為，一個象素點O 為初始點o -為終止點1 0-U.5-0. JU " -o. 5 -o. 52 5 3-0.73 1-0. 731 20, 1-055 2-0.9-0. 5rep1 ay3.2 圓弧的掃描轉換算法這一節(jié)我們來討論圓弧的掃描轉換算法。3.2.1 圓的特征圓被定義為到給定中心位置(xc,yc)距離為r的點集

15、。圓心位于原點的圓有 四條對稱軸x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圓弧上一點(x,y),可以得到其關于四條對 稱軸的其它7個點，這種性質稱為圓的八對稱性。因此，只要掃描轉換八分之一 圓弧，就可以求出整個圓弧的像素集。顯示圓弧上的八個對稱點的算法：void CirclePoints(int x,int y,int color) drawpixel(x,y,color); drawpixel(y,x,color);drawpixel(-x,y,color); drawpixel(y,-x,color);drawpixel(x,-y,color); drawpixel(-y,x,color);

16、drawpixel(-x,-y,color); drawpixel(-y,-x,color);3.2.2 中點畫圓法如果我們構造函數(shù)F(x,y)=x2+y2-R2,則對于圓上的點有F(x,y)=0 ,對于圓外的點有F(x,y)>0,對于圓內(nèi)的點F(x,y)<0 。與中點畫線法一樣,構造判別式：d= F(M)= F(xp+1,yp-0.5)=( xp+1)2+(yp-0.5)2- R2若d<0,則應取Pi為下一像素，而且再下一像素的判別式為：d= F(xp+2,yp-0.5)=( xp+2)2+(yp-0.5)2- R2=d+2xp+3若d冷，則應取P2為下一像素，而且下 一像

17、素的判別式為：d= F(xp+2,yp-1.5)=( xp+2)2+(yp-1.5)2- R2=d+2( xp- yp)+5我們這里討論的第一個像素是(0,R),判別式d的初始值為：do=F(1,R-0.5)=1.25- R圖3.2.1當前像素與下一像素的候選者中點畫圓算法：MidPointCircle(int r int color) int x,y;float d;x=0; y=r; d=1.25-r;circlepoints (x,y,color);while(x<=y) if(d<0) d+=2*x+3;else d+=2*(x-y)+5; y-;x+;circlepoin

18、ts (x,y,color);為了進一步提高算法的效率，可以將上面的算法中的浮點數(shù)改寫成整數(shù)，將乘法運算改成加法運算，即僅用整數(shù)實現(xiàn)中點畫圓法。動畫演示：中點畫圓算法:圓的對稱性假設已知小同心在原點的圜 上 點a, 丫）根據(jù)對稱性可得 另外L個八分網(wǎng)上的對榔直.二:中點畫圓算法判別式的構造考慮中心在原點，舉獨為R的四的第二個A 分圓.假定需坐標為心的賽素中.與該圈強 最近的祿素已定,為巴加那么，下一 1、。%冏瓢心近的象素只能是口豫常正右方 的Pl&p+If Vr）或右下方的P（Yp+l,昨一D兩 者之一.構造函數(shù)：所以，沿正右方向,d的增量為2小十；，此時FM4時,M在囪外,總距離眥瓠 更近”則應取P九曾FOO=。時，Pi 與巴任取個：我們約定聯(lián)IF檢設M是內(nèi)和匕的中點,即5) 那么.當FOOS時.M在做內(nèi),這說明巴 鹿總同菰更近.應取因作為下 奧素.構璉判別式為：介丹“尸四¥,+1,丁0.5)(片十1尸十(廣。5)二爐若d<0,則應取P1為下一象素，而且再下一個象嚷的判別式為rf=>X/>+2f >-O.5)=(A)>+2)-+(匕“().5尸-/?工=+2勾43而若d”0,則P2是卜一象素，而且下一象素的判別式為二代加+2g".5尸(而十力十0/，3)二代 =J+(2x-+3)+(- 2)+