第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布ppt課件

1、5.1 總體與樣本5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4 三大抽樣分布5.5 充分統(tǒng)計(jì)量 p 的大小如何； p 大約落在什么范圍內(nèi)； 能否以為 p 滿(mǎn)足設(shè)定要求如 p 0.05。 5.1 總體與個(gè)體總體的三層含義：例5.1.1 調(diào)查某廠(chǎng)的產(chǎn)質(zhì)量量，以0記合格品，以1記不合格品，那么 總體 = 該廠(chǎng)消費(fèi)的全部合格品與不合格品 = 由0或1組成的一堆數(shù)假設(shè)以 p 表示這堆數(shù)中1的比例不合格品率，那么該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表示：X 0 1P 1 p pX01p0.9830.017X01p0.9150.085例5.1.2 在二十世紀(jì)七十年代后期，美國(guó)消費(fèi) 者購(gòu)買(mǎi)日產(chǎn)SONY彩電的熱情

2、高于購(gòu)買(mǎi)美產(chǎn) SONY彩電，緣由何在？ 1979年4月17日日本刊登調(diào)查報(bào) 告指出N(m, (5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從(m5 , m+5)上的均勻分布。緣由在于總體的差別上！圖5.1.1 SONY彩電彩色濃度分布圖等級(jí) I II III IV美產(chǎn) 33.3 33.3 33.3 0 日產(chǎn) 68.3 27.1 4.3 0.3樣本具有兩重性 一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽 取前無(wú)法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī) 變量，用大寫(xiě)字母 X1, X2, , Xn 表示； 另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測(cè)就有確定的 觀測(cè)值，因此，樣本

3、又是一組數(shù)值。此時(shí)用小 寫(xiě)字母 x1, x2, , xn 表示是恰當(dāng)?shù)?。?jiǎn)單起見(jiàn)，無(wú)論是樣本還是其觀測(cè)值，樣本普通均用 x1, x2, xn 表示，應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。表5.1.2中的樣本觀測(cè)值沒(méi)有詳細(xì)的數(shù)值，只需一個(gè)范圍，這樣的樣本稱(chēng)為分組樣本。 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) ( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (

4、480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13 獨(dú)立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 它樣品的取值 - x1, x2, , xn 相互獨(dú)立。要使得推斷可靠，對(duì)樣本就有要求，使樣天性很好地代表總體。通常有如下兩個(gè)要求： 隨機(jī)性: 總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等時(shí)機(jī) 被選入樣本 - xi 與總體X有一樣的分布。11(,.,)().nniiF xxF x例5.1.5 設(shè)有一批產(chǎn)品共N個(gè)，需求進(jìn)展抽樣檢 驗(yàn)以了解其不合格品率p?，F(xiàn)從中采取不放回

5、抽樣抽出2個(gè)產(chǎn)品，這時(shí)，第二次抽到不合格 品的概率依賴(lài)于第一次抽到的能否是不合格 品，假設(shè)第一次抽到不合格品，那么P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1)P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)5.2.1 閱歷分布函數(shù)5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，假設(shè)將樣本觀測(cè)值由小到大進(jìn)展陳列,為 x(1), x(2), , x(n)，那么稱(chēng) x(1), x(2), , x(n) 為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù) (1)( )(1)( )0, ( )/ ,1,2,.,11,kknnxxFxk nxx x

6、knxx 例5.2.1 某食品廠(chǎng)消費(fèi)聽(tīng)裝飲料，現(xiàn)從消費(fèi)線(xiàn)上 隨機(jī)抽取5聽(tīng)飲料，稱(chēng)得其凈重單位：克 351 347 355 344 351x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355這是一個(gè)容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：其閱歷分布函數(shù)為表5.2.1 例5.2.2 的頻數(shù)頻率分布表 組序 分組區(qū)間 組中值 頻數(shù) 頻率 累計(jì)頻率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95

7、5 (187，197 192 1 0.05 100合計(jì) 20 1一、直方圖直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)懷變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長(zhǎng)條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無(wú)變化。把每一個(gè)數(shù)值分為兩部分，前面一部分百位和十位稱(chēng)為莖，后面部分個(gè)位稱(chēng)為葉，然后畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)的左側(cè)寫(xiě)上莖，右側(cè)寫(xiě)上葉，就構(gòu)成了莖葉圖。如：二、莖葉圖數(shù)值 分開(kāi) 莖 和 葉 112 11 | 2 11 和 264677072747676798081828283858688919192939393959595979

8、799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我們用這批數(shù)據(jù)給出一個(gè)莖葉圖，見(jiàn)下頁(yè)。圖5.2.3 測(cè)試成果的莖葉圖 4 7 0 2 4 6 6 9 0 1 2 2 3 5 6 8 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7 7 9 0 0 2 4 6 6 7 8 8 2 2 4 6 8 9 9 2 3 5 6 8 3 在要比較兩組樣本時(shí)，可畫(huà)出它們的背靠背的莖葉圖。甲車(chē)間 6 2 0 5 6 乙車(chē)間8 7 7 7 5 5 5 4 2 1 1 6 6 7 7 8 8 8 7 7 6 6 4 4 2 1 7 2

9、 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 8 7 6 6 5 3 2 8 0 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 7 3 2 1 0 9 0 2 3 5 8 5 3 0 0 10 7 留意：莖葉圖保管數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較 大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)， 莖葉圖并不適用。5.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布當(dāng)人們需求從樣本獲得對(duì)總體各種參數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1 設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣 本，假設(shè)樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有任 何未知參數(shù)。那么稱(chēng)T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的

10、分布 稱(chēng)為抽樣分布。按照這一定義：假設(shè) x1, x2, , xn 為樣本，那么 以及閱歷分布函數(shù)Fn(x)都是統(tǒng)計(jì)量。而當(dāng), 2 未知時(shí)，x1, x1/ 等均不是統(tǒng)計(jì)量。雖然統(tǒng)計(jì)量不依賴(lài)于未知參數(shù)，但是它的分布普通是依賴(lài)于未知參數(shù)的。下面引見(jiàn)一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布。niiniixx121,定義5.3.2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱(chēng)為樣本均值，普通用 表示，即思索：在分組樣本場(chǎng)所，樣本均值如何計(jì)算？ 二者結(jié)果一樣嗎？ xx= (x1+xn)/n定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測(cè)值與均值的偏向平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，樣本均值的根本性質(zhì)：定理5

11、.3.1 假設(shè)把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱(chēng)為偏向，那么樣本一切偏向之和為0，即 最小，其中c為恣意給定常數(shù)。1()0.niixx2()ixx樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3 設(shè)x1, x2, , xn 是來(lái)自某個(gè)總體的樣本，x為樣本均值。(1) 假設(shè)總體分布為N(, 2)，那么xx的準(zhǔn)確分布為N(, 2/n) ; 假設(shè)總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,那么n 較大時(shí) 的漸近分 布為N(, 2/n) ,常記為 。xAN(, 2/n)這里漸近分布是指n 較大時(shí)的近似分布.稱(chēng)為樣本規(guī)范差。s*= s*2定義5.3.3稱(chēng)為樣本方差，其算術(shù)平方根在n 不大時(shí)，常用

12、作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱(chēng)為樣本規(guī)范差。221*1()niisxxn2211()1niisxxn在這個(gè)定義中， ( xi x )2n1稱(chēng)為偏向平方和的自在度。其含義是：x在 確定后, n 個(gè)偏向x1x, x2x, , xnx能自在取值，由于只需n1個(gè)數(shù)據(jù)可以自在變動(dòng)，而第n個(gè)那么不 (xi x ) = 0 .稱(chēng)為偏向平方和，中樣本偏向平方和有三個(gè)不同的表達(dá)式：( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx它們都可用來(lái)計(jì)算樣本方差。思索：分組樣本如何計(jì)算樣本方差？樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴(lài)于總體的分布方式。定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有二階矩，

13、即 E(x)= , Var(x)=2 , x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，那么E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 樣本均值和樣本方差的更普通的推行是樣本矩，這是一類(lèi)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量。定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱(chēng)為樣本 k 階原點(diǎn)矩， 特別，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。 稱(chēng)為樣本k階中心矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。 bk = (xi x)k/nx樣本偏度1反映了總體分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線(xiàn)在其峰值附近的峻峭程度。定義： 1 = b3/b23/2 稱(chēng)為樣本偏度

14、， 2 = b4/b22 稱(chēng)為樣本峰度。x另一類(lèi)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量是次序統(tǒng)計(jì)量。一、定義5.3.7 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱(chēng)為該樣本的第i 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，它的取值 是將樣本觀測(cè)值由小到大陳列后得到的第 i 個(gè) 觀測(cè)值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱(chēng)為該樣本 的最小次序統(tǒng)計(jì)量，稱(chēng) x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。xp我們知道，在一個(gè)樣本中，x1, x2,xn 是獨(dú)立同分布的，而次序統(tǒng)計(jì)量 x(1), x(2), x(n) 那么既不獨(dú)立，分布也不一樣，看下例。 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927

15、p127 0 1 2我們可以清楚地看到這三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不一樣的。(2)x1327727p727 0 1 2進(jìn)一步，我們可以給出兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的結(jié)合分布，如，x(1) 和x(2) 的結(jié)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)由于 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨(dú)立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，二、單個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布定理5.3.5 設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為F(x)， x1, x2,

16、xn為樣本，那么第k個(gè) 次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0 x1. 從該總體抽得一個(gè)容量為5的樣本， 試計(jì)算 P(x(2)1/2)。解：有兩種求法：從古典概型出發(fā)；從次序統(tǒng) 計(jì)量密度函數(shù)出發(fā)。例5.3.8 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣 本，試求第 k 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布。三、多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的結(jié)合分布對(duì)恣意多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量可給出其結(jié)合分布，以?xún)蓚€(gè)為例闡明：定理5.3.6 在定理5.3.5的記號(hào)下，次序統(tǒng)計(jì) 量 (x(i), x(j), (i j) 的結(jié)合

17、分布密度函數(shù)為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)在實(shí)踐中經(jīng)常用到。如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程 x(n) x(1)/2。樣本極差是一個(gè)很常用的統(tǒng)計(jì)量，其分布只在很少幾種場(chǎng)所可用初等函數(shù)表示。令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) = x(n)R 1 R ，那么例5.3.9 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，那么(x(n), x(1)的結(jié)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1

18、這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1)(1)rnnRprn nyryyn nrr樣本中位數(shù)也是一個(gè)很常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量，它也是次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，通常如下定義：更普通地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數(shù)，為偶數(shù)(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若是整數(shù)定理5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處延續(xù)且 p(xp) 0，那么特別，對(duì)樣本中位數(shù)，當(dāng)n時(shí)近似地有當(dāng)n 時(shí)樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為2(1),pppppmNxn p x0.50.520.5

19、1,4mNxn p x例5.3.10 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)= 1/(1+(x)2) , x +m0.5 AN(, 2/4n) .次序統(tǒng)計(jì)量的運(yùn)用之一是五數(shù)概括與箱線(xiàn)圖。在得到有序樣本后，容易計(jì)算如下五個(gè)值：最小觀測(cè)值 xmin= x(1) , 最大觀測(cè)值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來(lái)大致描畫(huà)一批數(shù)據(jù)的輪廓。5.4 三大抽樣分布大家很快會(huì)看到，有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以規(guī)范正態(tài)變量為基石而

20、構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)踐中有廣泛的運(yùn)用，這是由于這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)中的“ 三大抽樣分布 。定義5.4.1 設(shè) X1, X2, Xn, 獨(dú)立同分布于規(guī)范 正態(tài)分布N(0,1) ，那么2= X12+ Xn2的分布稱(chēng) 為自在度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。當(dāng)隨機(jī)變量 2 2(n) 時(shí)，對(duì)給定 (01)，稱(chēng)滿(mǎn)足 P(2 12(n) 的 12(n) 是自在度為n1的卡方分布的1 分位數(shù).分位數(shù) 12(n) 可以從附表3 中查到。該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 22,Var()2Enn5.4.2 F 分布定義5.4.2 設(shè)X

21、1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨(dú)立， 那么稱(chēng) F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自在度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱(chēng)為分子自 由度，n 稱(chēng)為分母自在度。當(dāng)隨機(jī)變量F F(m,n) 時(shí)，對(duì)給定 (01) ，稱(chēng)滿(mǎn)足 P(F F1(m,n) =1 的F1(m,n) 是自在度為m 與 n 的F 分布的1 分位數(shù)。由 F 分布的構(gòu)造知 F(n,m) = 1/F1(m,n)。該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布 定義 5.4.3 設(shè)隨機(jī)變量X1 與X2 獨(dú)立， 且X1 N(0,1), X2 2(n), 那么稱(chēng)t=X1/ X2/n的分布為自在度為n

22、 的t 分布，記為t t(n) 。 t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的分布，與規(guī)范正態(tài)分布的密度函數(shù)外形類(lèi)似，只是峰比規(guī)范正態(tài)分布低一些尾部的概率比規(guī)范正態(tài)分布的大一些。 n1時(shí), t 分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0； n2時(shí)，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當(dāng)自在度較大 (如n30) 時(shí)， t 分布可以用 正態(tài)分布 N(0,1)近似。 自在度為1的 t 分布就是規(guī)范柯西分布， 它的均值不存在；當(dāng)隨機(jī)變量t t(n) 時(shí)，稱(chēng)滿(mǎn)足P(t t1(n) =1的 t1(n) 是自在度為 n 的 t 分布的1分位數(shù).分位數(shù) t1(n) 可以從附表4中查到。譬如 n=10,=0.05，那么從附

23、表4上查得t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于0 對(duì)稱(chēng), 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系t(n1)= t1(n1)定理5.4.1 設(shè) x1, x2, xn 是來(lái)自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為和x = xi/n s2= (xix)2/(n1)(3) (n1) s2/2 2(n1)。 那么有(1) x與 s2 相互獨(dú)立；(2) x N(, 2/n) ；推論5.4.3 設(shè) x1, x2, xn 是來(lái)自N(1, 12) 的 樣本，y1, y2, yn 是來(lái)自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨(dú)立，那么有特別，假設(shè)12 =22 ，

24、那么F=sx2/sy2 F(m1,n1)221222/(1,1)/xysFF mns推論5.4.4 在推論5.4.3的記號(hào)下，設(shè) 12 =22 = 2 ， 并記那么2)()(2) 1() 1(1122222nmyyxxnmsnsmsminiiiyxw)2(11)()(21nmtnmsyxw5.5.1 充分性的概念例5.5.1 為研討某個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)的打靶命中率，我們 對(duì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)展測(cè)試，觀測(cè)其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其他8次都命中。這樣的 觀測(cè)結(jié)果包含了兩種信息：(1) 打靶10次命中8次；(2) 2次不命中分別出如今第3次和第6次 打靶上。第二種信息對(duì)了解該運(yùn)發(fā)動(dòng)的命中率是沒(méi)有什么協(xié)助

25、的。普通地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)展n 次觀測(cè)，得到 x1, x2, xn，每個(gè)xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+xn ，T為觀測(cè)到的命中次數(shù)。在這種場(chǎng)所僅僅記錄運(yùn)用T 不會(huì)喪失任何與命中率 有關(guān)的信息，統(tǒng)計(jì)上將這種“樣本加工不損失信息稱(chēng)為“充分性。樣本 x=(x1,x2,xn) 有一個(gè)樣本分布F (x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。統(tǒng)計(jì)量T =T (x1,x2,xn) 也有一個(gè)抽樣分布FT(t) ，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量T 替代原始樣本并且不損失任何有關(guān) 的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布 FT(t) 像 F(x) 一樣概括了有關(guān) 的一切信息，這即是說(shuō)在統(tǒng)計(jì)量 T 的取值為 t 的情況下樣本 x 的條件分布 F(x|T=t) 已不含 的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。定義5.5.1 設(shè) x1, x2, , xn 是來(lái)自某個(gè)總體 的樣本，總體分布函數(shù)為F ( x ; )，統(tǒng)計(jì) 量 T =