【三維設(shè)計(jì)】2013屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練)第二章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)教學(xué)案(含解析)

1、知識(shí)能否憶起1 函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f(x)0?f(x)在(a,b)上為增函數(shù).f (x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的 極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2) 函數(shù)的極大值：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b) =0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f(x) 0，右側(cè)f(x)v0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的 極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.3.函數(shù)的最值(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函

2、數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值.(2) 若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增，則 f_Lal 為函數(shù)的最小值，fLbl 為函數(shù)的最大值； 若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減，則fal 為函數(shù)的最大值，fbl 為函數(shù)的最小值.小題能否全取1. (教材習(xí)題改編)若函數(shù)f(x) =x3+ax2+ 3x- 9 在x=- 3 時(shí)取得極值，則a等于()A. 2B. 3C. 4D. 5解析：選 D /f(x) = 3x+ 2ax+ 3,f ( 3) = 0,a= 5.12第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)基礎(chǔ)知謂要打年J I C H U Z H D 5 H I Y A固本源得星礎(chǔ)甘2. (2012 遼寧咼考)函數(shù)y

3、= ?x- Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()12解析：選 B 函數(shù)y= 2X Inx的定義域?yàn)?0，+m),1xIx pIy=xx=x，令yw0,則可得 00,函數(shù)f(x) =x3ax在1 ,+)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是 _ .解析：f(x)=3x2a在x1,+8)上f(x)0,貝Uf(1)0?aw3.答案：31.f(x)0 與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f(x)0 能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一 定.如函數(shù)f(x)=x3在(m,m)上單調(diào)遞增，但f(X)0,所以f(X)0 是f(X)為 增函數(shù)的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f(x

4、o) = 0 是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=xo處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x= 0處有y|=0= 0,但x= 0 不是極值點(diǎn).此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).A. (1,1C. 1,+s)B. (0,1D. (0，答案：-173. 可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù) 的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.岡.關(guān)學(xué)技法得按耗分(i til：AS.JE,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題i 典題導(dǎo)入lnx+k例 1 (2012 山東高考改編)已知函數(shù)f(x) =x(k為常數(shù)，e= 2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

5、)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 ,f(1)處的切線與x軸平行.(1) 求k的值；(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.Inx+k自主解答(1)由f(x) =x,由于曲線y=f(x)在(1 ,f(1)處的切線與x軸平行，所以f (1) = 0，因此k= 1.1由(1)得f(x) =x(1 xxlnx),x (0 ,+),xe令h(x) = 1 xxlnx,x (0 ,+),當(dāng)x (0,1)時(shí)，h(x)0 ;當(dāng)x (1,+R)時(shí)，h(x)0,所以x (0,1)時(shí)，f(x)0 ;x(1,+s)時(shí)，f(x) 0,即(一x2+ 2)ex 0,/ ex 0, x2+ 2 0,解得，2vxv2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增

6、區(qū)間是(一. 2,2).(2)若函數(shù)f(x)在 R 上單調(diào)遞減，則f(x)0對(duì)x R 都成立，即x+ (a 2)x+ae 0,x (a 2)xa0對(duì)x R 都成立.2 2A= (a 2) + 4a0, 即卩a+ 40,故一 2 是g(x)的極值點(diǎn).當(dāng)一 2vxv1 或x 1 時(shí)，g(x)0，故 1 不是g(x)的極值點(diǎn).所以g(x)的極值點(diǎn)為一 2.丄由題悟法求函數(shù)極值的步驟(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求方程f(x) = 0 的根；(3) 用方程f(x) = 0 的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并形成表格；由f(x) = 0 根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷f(X)在這個(gè)根處取極值的情

7、況.EJ 以題試法2.設(shè)f(x) = 2x3+ax2+bx+ 1 的導(dǎo)數(shù)為f(x)，若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= 2 對(duì)稱，且f=0.求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.32解：因?yàn)閒(x) = 2x+ax+bx+ 1,故f(x) = 6x+ 2ax+b,八十，( aa2從而f(x) = 6x+ 62+b-,即y=f(x)關(guān)于直線x=詈對(duì)稱.a1從而由題設(shè)條件知一 6 = 2，即卩a= 3.又由于f=0,即 6+ 2a+b= 0,得b= 12.32(2)由(1)知f(x) = 2x+ 3x 12x+ 1,所以f(x) = 6x+ 6x 12= 6(x 1)(x+ 2),令f(

8、x)= 0,即 6(x 1)(x+ 2) = 0,解得x= 2 或x= 1,當(dāng)x(32)時(shí)，f(x)0,即f(x)在(一a, 2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x ( 2,1)時(shí)，f(x)0,即f(x)在(1,+a)上單調(diào)遞增.從而函數(shù)f(x)在x= 2 處取得極大值f( 2) = 21,在x= 1 處取得極小值f(1) = 6.Iaa*1運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題L1 典題導(dǎo)入例 3已知函數(shù)f(x) = (xk)ex.求f(X)的單調(diào)區(qū)間；求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值.自主解答f(x) = (x-k+ 1)ex.令f(x) = 0, 得x=k-1.f(x)與f(x)的情況如下：x(-g，k-1)k-1(

9、k1，+g)f (X)0+f(x)e所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一g,k- 1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k- 1,+).(2)當(dāng)k-K0,即卩kwi時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上 的最小值為f(0)=-k；當(dāng) 0k- 11，即 1k1時(shí)，即k2時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的 最小值為f(1)= (1 -k)e.一題多變/-、本題條件不變，求f(x)在區(qū)間0,1上的最大值.解：當(dāng)k- 1w0，即卩kwi時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增.所以f(x)在0,1上的最大值為f(1) = (1 -k)e.當(dāng) 0k- 11，即 1k2 時(shí)，

10、由(1)知f(x)在0，k-1)上單調(diào)遞減，在(k-1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1e上的最大值為f(0)和f(1)較大者.若f(0) =f(1)，所以一k= (1 -k)e，即k=.e Iee當(dāng) 1k- 時(shí)函數(shù)f(x)的最大值為f(1) = (1 -k)e，當(dāng)-wk1時(shí)，即k2時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減.所以f(x)在0,1上的最大值為f(0) =-k.e綜上所述，當(dāng)k二 1 時(shí)，f(x)的最大值為f(0) =-k.e 1石由題悟法求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；(2) 求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3) 將函數(shù)f(

11、x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.以題試法3.(2012 重慶高考)已知函數(shù)f(x) =ax3+bx+c在點(diǎn)x= 2 處取得極值c 16.(1) 求a，b的值；(2) 若f(x)有極大值 28,求f(x)在3,3上的最小值.解：(1)因f(x) =ax3+bx+c，故f(x) = 3ax2+b，由于f(x)在點(diǎn)x= 2 處取得極值c16，r ； = o，故有 “_f ?=c 16，12a+b= 0，12a+b= 0，即 0，故f(x)在(一a，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x ( 2,2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，+a)上為增函數(shù).由此可知f(x)在

12、X1= 2 處取得極大值f( 2) = 16+ C,f(x)在X1= 2 處取得極小值f(2) =c 16.由題設(shè)條件知 16+c= 28,得c= 12.此時(shí)f( 3) = 9+c= 21，f(3) = 9 +c= 3，f(2) = 16+c= 4，因此f(x)在3,3上的最小值為f(2) = 4.解題訓(xùn)練孤速厲f IETI X U N L 1 A N Y AOG AOX IA L)_ .A級(jí)I全員必做題1.函數(shù)f(x) =x+ elnx的單調(diào)遞增區(qū)間為( )A.f(a)f(b)B.f(a) =f(b)解析：選 C 依題意得，當(dāng)x(g,c)時(shí)，f當(dāng)x (c,e)時(shí)，f(x)f(b)f(a).一

13、 2 一3. (2012 陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x) = -+ Inx，則()x1A. x=為f(x)的極大值點(diǎn)1B. x= 2 為f(x)的極小值點(diǎn)C. x= 2 為f(x)的極大值點(diǎn)D. x= 2 為f(x)的極小值點(diǎn)2 1x2解析：選 D 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+g) ,f(x) = 2 + -=，當(dāng)x= 2 時(shí),f(x) =0;當(dāng)2 時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以x= 2 為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).4.(2012 大綱全國卷)已知函數(shù)y=x3 3x+c的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=( )A. 2 或 2C. 1 或

14、1D. 3 或 1解析：選 A 設(shè)f(x) =x3 3x+c,對(duì)f(x)求導(dǎo)可得，f(x) = 3x2 3,令f(x) = 0,可得x=1,易知f(x)在(g,1),(1,+g)上單調(diào)遞增，在(1,1)上單調(diào)遞減.若f(1) = 1 3+c= 0，可得c= 2;若f( 1) = 1+ 3+c= 0，可得c= 2.Inx5.右f(x) = , eae 時(shí)，f(x)f(b).6. 函數(shù)f(x) =x- 3x- 1，若對(duì)于區(qū)間3,2上的任意xi,X2,都有 |f(xi) f(X2)|wt,A. (0,+g)B. (g,0)C. (g,0)和(0,+g)D. R解析：選 A 函數(shù)定義域?yàn)閑(0,+g)

15、,f(x)=1+0,故單調(diào)增區(qū)間是(0,+g).(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是A.B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)(x)0 ；f(x)0.因此，函數(shù)f(x)在(一g.g)上是增函數(shù)，又abc，所以B. 9 或 32. (2012 “江南十?！甭?lián)考)已知定義在 R 上的函數(shù)(C.f(a)l則實(shí)數(shù)t的最小值是()A. 20B. 18C. 3D. 0解析：選 A 因?yàn)閒(x)= 3x2 3 = 3(x 1)(x+ 1)，令f(x) = 0,得x= 1,所以1,1 為函數(shù)的極值點(diǎn).又f( 3) = 19,f( 1) = 1 ,f(1)

16、= 3,f(2) = 1,所以在區(qū)間 3,2上f(X)max=1 ,f(x)min= 19.又由題設(shè)知在區(qū)間3,2上f(X)maxf(X)minWt,從而t 20,所以t的最小值是20.327.已知函數(shù)f(x) =x+mx+ (耐 6)x+ 1 既存在極大值又存在極小值，貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ .解析：f(x) = 3x2+ 2mx+ m+6= 0 有兩個(gè)不等實(shí)根，即= 4 吊12X(耐 6)0.所以n6 或n 3.答案：(一a, 3)U(6 ,+)&已知函數(shù)f(x) = x3+ax2 4 在x= 2 處取得極值，若 m 1,1，貝U f(m)的最小 值為_ .解析：求導(dǎo)得f(x)

17、= 3x2+ 2ax,由f(x)在x= 2 處取得極值知f (2) = 0,即3X4+ 2aX2= 0,故a= 3.由此可得f(x) = x3+ 3x2 4,f(x) = 3x2+ 6x.由此可得f(x)在 (1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，所以對(duì)m 1,1時(shí)，f(m)min=f(0) = 4.答案：49._已知函數(shù)y=f(x) =x3+ 3ax2+3bx+c在x= 2 處有極值，其圖象在x= 1 處的切線平 行于直線 6x+ 2y+ 5= 0，則f(X)極大值與極小值之差為 _.2解析：Ty = 3x+ 6ax+ 3b,3X2 +6aX2+3b=0a= 1,3X1 +6a+3b=

18、 3 b=0. y= 3x 6x,令 3x 6x= 0,貝U x= 0 或x= 2. f(x)極大值一f(x)極小值=f(0) f(2) = 4.答案：42110.已知函數(shù)f(x) =ax+blnx在x= 1 處有極值-.求a,b的值；判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.b解：(1) f(x) = 2ax+x1又f(x)在x= 1 處有極值 2f .11if1= 2，陽|a=2，. $2即 $2f 1 = 0,2a+b= 0.解得a= 2，b= 1.12由(1)可知f(x)=十2 InX,其定義域是(0,+),由f(x)0，得 0 x0，得x1.所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,

19、1)，單調(diào)增區(qū)間是(1，+).1311. (2012 重慶高考)設(shè)f(x) =alnx+ -x+-x+ 1，其中a R，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸.(1) 求a的值；(2) 求函數(shù)f(x)的極值.解：(1)因f(x) =alnx+I+ |x+ 1,a13故f(x)=尹+ x2x2由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f (1),13=0，從而a - + 2= 0，解得a= 1.13(2)由(1)知f(x) = Inx+ 2x+20)，I13(X)=x &+ 2且f(x) =xxxX+l X1x23x 2x 12X2:x+

20、x 121( 1令f(x) = 0,解得xi= 1,X2= 3 因X2= 3 不在定義域內(nèi)，舍去.當(dāng)x (0,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1,+s)上為增函數(shù).故f(x)在x= 1 處取得極小值f(1) = 3.12.已知函數(shù)f(x) =xax+ 3x.(1) 若f(x)在x 1,+s)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若x= 3 是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在x 1 ,a上的最大值和最小值.解：(1)If(x) = 3x 2ax+ 30在1 ,+)上恒成立，二aw占卜+ xjin= 3(當(dāng)x= 1 時(shí)取最小值). a 的取值范圍為(一33.(2)Tf (3) = 0,即即 27 6a+

21、 3= 0,一32a= 5,f(x) =x 5x+ 3x,x 1,5,2f(x) = 3x 10 x+ 3.1令f(x) = 0,得X1= 3,X2= 3(舍去).當(dāng) 1x3 時(shí)，f(x)0，當(dāng) 3x0,即當(dāng)x= 3 時(shí)，f(x)取極小值f(3) = 9.又f(1) = 1,f(5) = 15,f(x)在1,5上的最小值是f(3) = 9,最大值是f(5) = 15.B級(jí)重點(diǎn)選做題1.設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a,b,c R).若x= 1 為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),解析：選 D 因?yàn)閒(x)ex =f(x)ex+f(x)(ex) = f(x) +f (x)ex,且x= 1 為函

22、數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f(1) +f (1) = 0;選項(xiàng) D 中，f(1)0 ,f (1) 0 ,不滿 足f (1) +f(1) = 0.2.(2012 沈陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測)已知定義在 R 上的奇函數(shù)f(x)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f(X), 當(dāng)x(a,0時(shí)，恒有xf(x)F(2x1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()B.-l2D. ( 2,1)解析：選 A 由F(x) =xf(x)，得F(x) =f(x) +xf(x) =xf (x) f( x)0，所以F(x)在(a,0)上單調(diào)遞減，又可證F(x)為偶函數(shù)，從而F(x)在0 ,+)上單調(diào)遞增，故原不等式可化為32x 13,解得1x0),n為正整數(shù)，a,b為常數(shù).曲 線y=f(x)在(1 ,f(1)處的切線方程為x+y= 1.(1) 求a,b的值；(2) 求函數(shù)f(x)的最大值.解：因?yàn)閒(1) =b,由點(diǎn)(1 ,b)在x+y= 1 上，可得 1 +b= 1,即卩b= 0.因?yàn)閒(x) =anxn1a(n+ 1)xn，所以f (1) =a.又因?yàn)榍芯€x+y= 1 的斜率為一 1, 所以一a= 1，即a= 1.故a= 1,b= 0.nn n+1(2)由(1)知，f(x) =x(1 x) =xx,f(x) = (n+