自主招生高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何基本定理

1、（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）1 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 中線定理（巴布斯定理）設(shè)ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長(zhǎng)：3 垂線定理：高線長(zhǎng)：4 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平分線長(zhǎng)：（其中為周長(zhǎng)一半）5 正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）6 余弦定理：7 張角定理：

2、8 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BDAD2·BCBC·DC·BD9 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）10 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角11 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ACBD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊12 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)

3、的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)13 拿破侖三角形：在任意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AEBFCD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BC

4、E、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心 14 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理15 歐拉（Euler）線：歐拉（Euler

5、）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr16 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和17 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為ABC的重心，則；（3）設(shè)G為ABC的重心，過(guò)G作DEBC交AB于D，交AC于E，過(guò)G作PFAC交AB于P，交BC于F，過(guò)G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為ABC的重心，則；（P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最小； 三

6、角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）18 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則19 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)

7、的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點(diǎn)K，則；（5）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則；20 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；（2）設(shè)O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和21 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別

8、記為旁心性質(zhì)：（1）（對(duì)于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設(shè)的連線交ABC的外接圓于D，則（對(duì)于有同樣的結(jié)論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圓半徑等于ABC的直徑為2R22 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，23 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： 24 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）25 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線交邊CA于Q，C的平分線交邊AB于R，B的平分線交邊CA

9、于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線26 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線27 塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是··=128 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中點(diǎn)M29 塞瓦定理的逆定理：（略）30 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三

10、條角分線交于一點(diǎn)31 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)32 西摩松（Simson）定理：從ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）33 西摩松定理的逆定理：（略）34 關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上35 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交

11、于一點(diǎn)36 史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過(guò)線段PH的中心37 史坦納定理的應(yīng)用定理：ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于ABC的鏡象線38 牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線 39 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線40 笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊

12、或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線41 笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線42 波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 43 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)44 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三

13、點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)45 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)46 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)47 卡諾定理：通過(guò)ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線48 奧倍爾定理：通過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線49 清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、