(絕密)2019考研數(shù)學完整版及參考答案

1、2019考研數(shù)學完整版及參考答案 一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應(yīng)的增量與微分，若，則（ ）(A) . (B) .(C) . (D) . （2）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù). （ ）（3）設(shè)函數(shù)可微，則等于（ ）（A）.（B）（C）（D） （4）函數(shù)滿足的一個微分方程是 （A）（B）（C）（D） （5）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）（）. （B

2、）.(C).(D) . （6）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是（）(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （7）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是 (A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). （8）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）（）.（）.（）.（）.一填空題（9）曲線 的水平漸近線方程為（10）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則（11）廣義積分.（12） 微分方程的通解是（13）設(shè)函數(shù)由方程確定，

3、則 （14）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .三 、解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 試確定的值，使得，其中是當時比高階的無窮小.（16）（本題滿分10分）求 .（17）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域， 計算二重積分（18）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算.（19）（本題滿分10分） 證明：當時，. （20）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（I）驗證；（II）若，求函數(shù)的表達式. （21）（本題滿分12分）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點引L的切線，求切點，并

4、寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得.數(shù)學答案1. A【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，故應(yīng)選(). 【評注】 對于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還

5、可用拉格朗日定理求解：因為，所以單調(diào)增加，即，又，則，即.定義一般教科書均有，類似例題見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.165【例6.1】，P.193【（）】.2. B【分析】由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去計算，然后選擇正確選項.【詳解】取.則當時，而，所以為連續(xù)的偶函數(shù)，則選項（）正確，故選（）.【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.符合題設(shè)條件的函數(shù)在多教科書上均可見到，完全類似例題見2006文登最新模擬試卷（數(shù)學三）（8）.3. C【分析】題設(shè)條件兩邊對求導(dǎo),再令即可.

6、【詳解】兩邊對求導(dǎo),得.上式中令，又，可得，故選（C）.【評注】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬基本題型. 完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第2講第2節(jié)【例12】，數(shù)學復(fù)習指南理工類P.47【例2.4】，數(shù)學題型集粹與練習題集理工類P.1【典例精析】.4. D【分析】本題考查二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)及非齊次方程的特解與對應(yīng)齊次微分方程特征根的關(guān)系.故先從所給解分析出對應(yīng)齊次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齊次項形式.【詳解】由所給解的形式，可知原微分方程對應(yīng)的齊次微分方程的特征根為 .則對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為 .故對應(yīng)的齊次微分方程為 .又為原微分方程的一個特解，而

7、為特征單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項應(yīng)具有形式（為常數(shù)）.所以綜合比較四個選項，應(yīng)選（D）.【評注】對于由常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解反求微分方程的問題，關(guān)鍵是要掌握對應(yīng)齊次微分方程的特征根和對應(yīng)特解的關(guān)系以及非齊次方程的特解形式. 完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第7講第2節(jié)【例9】和【例10】，數(shù)學復(fù)習指南P.156【例5.16】，數(shù)學題型集粹與練習題集（理工類）P.195（題型演練3），考研數(shù)學過關(guān)基本題型（理工類）P.126【例14】及練習.5. C【分析】 本題考查將坐標系下的累次積分轉(zhuǎn)換為直角坐標系下的累次積分，首先由題設(shè)畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標系下累

8、次積分即可.【詳解】 由題設(shè)可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（）.【評注】 本題為基本題型，關(guān)鍵是首先畫出積分區(qū)域的圖形.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第10講第2節(jié)例4，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.286【例10.6】，考研數(shù)學過關(guān)基本題型（理工類）P.93【例6】及練習.6. D【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應(yīng)的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因為），若，則.故選（）. 【評注】 本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.相關(guān)定理見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）.251定理1及.2

9、53條件極值的求法.7. A【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().【評注】 對于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進行討論.8. B【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）.【評注】（）每一個初等變換都對應(yīng)一個初等矩陣，并且對矩陣施行一個初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.（）牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.完全類似例題及性質(zhì)見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.3

10、81【例2.19】，文登暑期輔導(dǎo)班線性代數(shù)第2講例12.9. 【分析】 直接利用曲線的水平漸近線的定義求解即可.【詳解】 . 故曲線的水平漸近線方程為 .【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在，為什么？完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第6講第4節(jié)【例12】，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本題為已知分段函數(shù)連續(xù)反求參數(shù)的問題.直接利用函數(shù)的連續(xù)性定義即可.【詳解】 由題設(shè)知，函數(shù)在 處連續(xù)，則 ，又因為 .所以 .【評注】遇到求分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性問題，一

11、般從定義入手.本題還考查了積分上限函數(shù)的求導(dǎo)，洛必達法則和等價無窮小代換等多個基本知識點，屬基本題型.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第1講第1節(jié)【例13】，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考過該類型的試題，本題屬重點題型.11. 【分析】利用湊微分法和牛頓萊布尼茲公式求解.【詳解】 .【評注】 本題屬基本題型，對廣義積分，若奇點在積分域的邊界，則可用牛頓萊布尼茲公式求解，注意取極限.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第5講第6節(jié)【例1】，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩

12、邊積分即可【詳解】 原方程等價為，兩邊積分得，整理得.（）【評注】 本題屬基本題型.完全類似公式見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.139.13. 【分析】本題為隱函數(shù)求導(dǎo)，可通過方程兩邊對求導(dǎo)（注意是的函數(shù)），一階微分形式不變性和隱函數(shù)存在定理求解.【詳解】 方法一：方程兩邊對求導(dǎo)，得.又由原方程知，.代入上式得.方法二：方程兩邊微分，得，代入，得.方法三：令，則，故.【評注】 本題屬基本題型.求方程確定的隱函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)或微分時，不必寫出其導(dǎo)數(shù)或微分的一般式完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第2講第2節(jié)【例14】，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.50【例2.12】.14. 【分析】 將矩陣方程改寫

13、為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.【評注】 本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.類似題2005年考過.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班線性代數(shù)第1講例6，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.378【例2.12】15.【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于的多項式，要聯(lián)想到的泰勒級數(shù)展開式，比較的同次項系數(shù)，可得的值.【詳解】將的泰勒級數(shù)展開式代入題設(shè)等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .【評注】題設(shè)條件中含有高階無窮小形式的條件時，要想到用麥克勞林公式或泰勒公式求解.要熟練掌握常用函數(shù)的泰勒公式.相應(yīng)公式見數(shù)學復(fù)習指南理工類P.124表格.16.【分

14、析】題設(shè)積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法.【詳解】.令，則，所以 .【評注】被積函數(shù)中為兩種不同類型函數(shù)乘積且無法用湊微分法求解時，要想到用分部積分法計算；對含根式的積分，要想到分式有理化及根式代換.本題為基本題型，完全相似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第3講第3節(jié)【例6】，數(shù)學復(fù)習指南理工類P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分，又積分區(qū)域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可.【詳解】 積分區(qū)域如右圖所示.因為區(qū)域關(guān)于軸對稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. 【評注】只要見到積分區(qū)域具有對稱性

15、的二重積分計算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計算.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第10講第1節(jié)例1和例2，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. （）的計算需利用（）的結(jié)果.【詳解】 （）因為，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.19. 【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故

16、當時，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.20利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計算方法求出代入即可得（I）.按常規(guī)方法解（II）即可.【詳解】 （I） 設(shè)，則.，.將代入得.（II） 令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.【評注】 本題為基礎(chǔ)題型，著重考查多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算及可降階方程的求解.完全類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班高等數(shù)學第8講第1節(jié)【例8】，數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】 （I）利用曲線凹凸的定義來判定；（II）先寫出切線方程，然后利用 在切線上 ； （III）利用定積分計算平面圖形的面積. 【詳解

17、】 （I）因為 故曲線L當時是凸的.（II）由（I）知，切線方程為，設(shè)，則，即整理得 .將代入?yún)?shù)方程，得切點為（2，3），故切線方程為，即.（III）由題設(shè)可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點坐標為，設(shè)的方程，則由參數(shù)方程可得，即.由于（2，3）在L上，則.于是. 【評注】 本題為基本題型，第3問求平面圖形的面積時，要將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程求解.完全類似例題和公式見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.187【例6.40】.22. 【分析】 （I）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（II）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】 （I） 設(shè)是方程組的3個線性無關(guān)的解，其中 .則有.則是對應(yīng)齊次線性方程組的解，且線性無關(guān).（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個2階子式，所以.因此.（II） 因為.又，則 .對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解.選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).【評注】 本題綜合考查矩陣的秩，初等變換，方程組系數(shù)矩陣的秩和基礎(chǔ)解系的關(guān)系以及方程組求解等多個知識點，特別是第一部分比較新穎. 這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會越來越多.完全類似例題見數(shù)學復(fù)習指南（理工類）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】.23. 解： 由矩陣的各行元素