同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)第五章課件

1、定理定理1 1對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證明證明, 對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為復(fù)復(fù)向向量量的的特特征征值值為為對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 說明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣, 的的表示表示xx共共軛軛復(fù)復(fù)向向量量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因?yàn)榈驗(yàn)?, 0 , 即

2、即.是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , 以取實(shí)向量以取實(shí)向量從而對應(yīng)的特征向量可從而對應(yīng)的特征向量可系系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由由是實(shí)系數(shù)方程組是實(shí)系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)的特征值的特征值由于對稱矩陣由于對稱矩陣 EAxEAAiii ., 221212121正交正交與與則則若若是對應(yīng)的特征向量是對應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值是對稱矩陣是對稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理ppppA 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對對稱稱 TTTAppp11111

3、,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT. , 41素素的的對對角角矩矩陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對對角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對對稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理nAAPPPnA 證明證明,21s 它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21. ,)( , , 3個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量恰恰有有對對應(yīng)應(yīng)特特征征值值從從而而的的秩秩則則矩矩陣陣重重根根的的特特征征方方程程的的是是階階對對稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理rrnE

4、AREArAnA ).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理1（對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定）和定理理3( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個(gè)個(gè)即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實(shí)特征向量關(guān)的實(shí)特征向量個(gè)線性無個(gè)線性無恰有恰有對應(yīng)特征值對應(yīng)特征值rrsiiii PPAPP11.,11個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的對角元素含的對角元素含其中對角矩陣其

5、中對角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量兩兩正交個(gè)單位特征向量兩兩正交.n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130

6、004)2(A例例 對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣為對角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ) 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEAi, 0 得得由由對對, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 得得由由對對, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2

7、213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故故它它們們必必兩兩兩兩正正交交的的特特征征向向量量個(gè)個(gè)不不同同特特征征值值的的是是屬屬于于由由于于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對對, 02, 21 xEA 1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對對, 0

8、4, 432 xEA .110,00132 ,32恰好正交恰好正交與與 .,321兩兩正交兩兩正交所以所以 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交陣于是得正交陣 2102121021010,321 P.400040002 1 APP則則1.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征值的重?cái)?shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄繂挝换?；量單位化?4)最后正交化最后正交化 .2det, 2的的值值試試求求行行列列式式的的秩秩為為且且滿滿足足階階實(shí)實(shí)對對稱稱矩矩陣陣設(shè)設(shè)AErAAAAn 使得使得故存在可逆