隨機信號分析與應(yīng)用第一章

1、隨機過程隨機過程 Tel:Q: 545850709Email: 林成林成2022-2-22本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： v隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念 v隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 v隨機過程的微分和積分計算隨機過程的微分和積分計算 v隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性 v隨機過程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)隨機過程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì) v復(fù)隨機過程復(fù)隨機過程 v正態(tài)過程正態(tài)過程 v馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈 v泊松過程泊松過程 2022-2-23 自然界中的事物變化過程可以分成兩大類 確知過程確知過程：具有確定的變化規(guī)律；每次試驗所得的變化過程相同，都

2、是時間t的同一個函數(shù) 隨機過程隨機過程：沒有確定的變化規(guī)律；每次試驗所得的變化過程不同，是時間t的不同函數(shù) 電信號是電壓或電流隨時間變化的過程，它就是據(jù)此分成兩類確知信號確知信號和隨機信號隨機信號。下面先來看兩個例子。 1.1 隨機過程的基本概念及統(tǒng)計特性隨機過程的基本概念及統(tǒng)計特性 2022-2-24正弦（型）確知信號 正弦（型）確知信號 式中：振幅、角頻率和相位都是已知的常量。 每次對高頻振蕩器作定相激勵時，其穩(wěn)態(tài)部分就是這種信號。每次激勵相當于一次試驗，由于每次試驗時，信號都相同地隨時間按上式所示確知函數(shù)而變化，因而這種信號是確知過程。 00( )cos()s tAt2022-2-25正

3、弦（型）隨機初相信號 正弦（型）隨機初相信號 式中：振幅 和角頻率 都是常量，而相位 是在區(qū)間 上均勻分布的隨機變量。 由于相位 是連續(xù)隨機變量，在區(qū)間 上有無數(shù)多個取值，即可取中的任一值 ，這時相應(yīng)有不同的函數(shù)式： 0( )cos()X tAtA0(0,2 )(0,2 )i0( )cos()iix tAt(0,2 )i2022-2-26 可見正弦（型）隨機初相信號實際上表示一族不同的時間函數(shù)，見右圖所示（圖中只畫出其中的三條函數(shù)曲線）。因此這種信號是隨機過程。 圖1.1-1 正弦（型）隨機初相信號2022-2-27 對沒有采用定相措施的一般高頻振蕩器作開機激勵時，其穩(wěn)態(tài)部分就是這種信號。 每

4、次開機作激勵時，由于振蕩器的起振相位受偶然因素影響而每次有所不同，因而高頻振蕩信號的相位作隨機變化，這是最常遇見的一種隨機信號。同理，在信號 的式中，若僅振幅是隨機變量，則為隨機振幅隨機振幅信號信號。若僅角頻率是隨機變量，則為隨機頻率隨機頻率信號信號。 ( )cos()X tAt2022-2-28 上例對每次開機作觀測，都相當于作一次隨機試驗。每次試驗所得的觀測、記錄結(jié)果 都是一個確定的時間函數(shù)，稱為樣本函數(shù)樣本函數(shù)，簡稱樣樣本或?qū)崿F(xiàn)實現(xiàn)。 所有這些樣本函數(shù)的總體或集合就構(gòu)成隨機過隨機過程程 。在每次試驗之前，我們無法確知這次試驗的結(jié)果應(yīng)該選取這個集合中的哪一個樣本，只有在大量觀測后才能知道它

5、們的統(tǒng)計規(guī)律性，即究竟以多大的概率實現(xiàn)某一樣本。( )ix t( )X t2022-2-291 樣本函數(shù)：x1(t) , x2(t), x3(t), , xn(t)，都是時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。 2 隨機性：一次試驗，隨機過程必取一個樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機性。因此，隨機過程不僅是時間t 的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為X(t,) ，簡寫成X(t,) 。 因此：因此：2022-2-210定義定義2 2：若對于每個特定的時間ti(i=1,2,), X(ti,) 都是隨機變量，則稱X(t,)為隨機過程， X(ti,)稱為隨機過程X(t)在t=ti時刻的狀態(tài)。 定義定義1 1：設(shè)隨機試驗

6、E的樣本空間S= ，若對于每個元素S ，總有一個確知的時間函數(shù)X(t,)與它對應(yīng)，這樣，對于所有的S ，就可以得到一簇時間t的函數(shù)，稱它為隨機過程。簇中的每一個函數(shù)稱為樣本函數(shù)。 1.1.1 隨機過程的定義：隨機過程的定義： 把隨機過程理解為以隨機方式把隨機過程理解為以隨機方式（具有一定概率）選取某個特（具有一定概率）選取某個特定的樣本函數(shù)。定的樣本函數(shù)。這種定義是把隨機過程這種定義是把隨機過程理解為隨時間而變化的理解為隨時間而變化的一族隨機變量。一族隨機變量。2022-2-2114 定義的理解定義的理解 ： 上面兩種隨機過程的定義，從兩個角度描述了隨機過程。具體的說，作觀測時，常用定義1，這

7、樣通過觀測的試驗樣本來得到隨機過程的統(tǒng)計特性；對隨機過程作理論分析時，常用定義2，這樣可以把隨機過程看成為n 維隨機變量，n越大，采樣時間越小，所得到的統(tǒng)計特性越準確。 2022-2-212理解：理解： 一個時間函數(shù)族一個時間函數(shù)族 一個確知的時間函數(shù)一個確知的時間函數(shù)一個隨機變量一個隨機變量一個確定值一個確定值t 4 和和 都是變量都是變量t1 1 是變量而是變量而 固定固定2 固定而固定而 是變量是變量 t3 和和 都固定都固定 t若若固定為固定為i，僅時間，僅時間t變化，則得一個特定的時變化，則得一個特定的時間函數(shù)間函數(shù)X(i,t)，它是一個確定的樣本函數(shù)，即某，它是一個確定的樣本函數(shù)，

8、即某次觀測所得的記錄曲線（實現(xiàn)）。如圖次觀測所得的記錄曲線（實現(xiàn)）。如圖1.1-1中中的的x1(t), x2(t), x3(t) 。為了防止混淆，隨機過程通。為了防止混淆，隨機過程通常用大寫字母表示，如常用大寫字母表示，如X(t)、Y(t) ，而樣本則用，而樣本則用小寫字母表示，如小寫字母表示，如x(t)、y(t) 。若若t固定為固定為ti ，僅隨機因素，僅隨機因素變化，則變化，則X(, ti)蛻化蛻化為一個隨機變量，簡記為為一個隨機變量，簡記為X(ti) 。隨機變量。隨機變量X(ti)又稱為隨機過程又稱為隨機過程X(t)在在ti時的狀態(tài)。時的狀態(tài)。若若和和t均為變量，則均為變量，則X(, t

9、)為所有樣本的集合或為所有樣本的集合或所有隨機變量的總體。這才是隨機過程所有隨機變量的總體。這才是隨機過程X(t)。若若固定為固定為i ，且，且t固定為固定為ti，則，則X(i, ti)為一個確為一個確定值，簡記為定值，簡記為x(i, ti) 。2022-2-213隨機變量隨機變量 與時間無關(guān)與時間無關(guān) 隨機過程隨機過程 與時間相關(guān)與時間相關(guān) 2022-2-2141.1.2 分類分類 隨機過程可以按其狀態(tài)的不同，分成連續(xù)型和離散型。也可以按其時間參量t的不同，分成連續(xù)參量隨機過程（簡稱隨機過程）和離散參量隨機過程（簡稱隨機序列）。因此，合起來可以分成下述四類，見后圖所示（圖中僅示出其一個樣本，

10、且為按常用的等間隔取樣畫出）。 2022-2-2151 按隨機過程的時間和狀態(tài)來分類按隨機過程的時間和狀態(tài)來分類 連續(xù)型隨機過程：連續(xù)型隨機過程：其狀態(tài)X(ti)和ti時間都連續(xù);對隨機過程任一時刻 ti 的取值X(ti)都是連續(xù)型隨機變量。 離散型隨機過程：離散型隨機過程：其狀態(tài)X(ti)離散，而時間ti連續(xù);對隨機過程任一時刻 ti 的取值X(ti) 都是離散型隨機變量。對連續(xù)型隨機過程進行隨機取樣，并經(jīng)量化后保持各取樣值，即得這類隨機過程。 2022-2-216 連續(xù)隨機序列：連續(xù)隨機序列：時間t只能取某些時刻，且這時得到的隨機變量是連續(xù)型隨機變量，即狀態(tài)連續(xù)，而時間離散； 對連續(xù)型隨機

11、過程進行等間隔取樣，即得這類隨機過程。 離散隨機序列：離散隨機序列：時間t只能取某些時刻，且這時得到的隨機變量是離散型隨機變量；即狀態(tài)和時間都離散。對連續(xù)型隨機過程進行等間隔取樣，并將取樣值量化成若干個固定的離散值，例如二進制中的0、1，或十進制中的09，即得這類隨機過程，實際上即為數(shù)字序列或數(shù)字信號。 2022-2-2172 按樣本函數(shù)的形式來分類 不確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值不能被預(yù)測。例如接收機噪聲電壓波形。 確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)測。例如，樣本函數(shù)為正弦信號。 2022-2-218 3 按概率分布的特性來分類隨機過程根據(jù)其分布函數(shù)或概率密度進行

12、分類，可以分成獨立隨機過程、馬爾可夫（Markov）過程，獨立增量過程、正態(tài)（Normal）隨機過程、瑞利（Rayleigh）隨機過程等。根據(jù)隨機過程的功率譜特性，可以分成寬帶的或窄帶的，白色的或有色的。在工程技術(shù)中，還可根據(jù)隨機過程有無平穩(wěn)性，分成平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的。 2022-2-2191.1.3 隨機過程的概率分布1 一維概率分布 隨機過程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一維隨機變量。概率PX(t)x1是取值x1和時刻t1的函數(shù)，記為Fx(x1, t1)=PX(t1)x1，稱作隨機過程 X(t)的一維分布函數(shù)。 若Fx(x,t) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則有11111),(),(xtxFtxf

13、XX 隨機過程能夠看成是隨時間而變化的一族隨機變量，故可將隨機變量的概率分布概念推廣用于隨機過程，求得隨機過程的概率分布。2022-2-220若Fx(x,t) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義11111),(),(xtxFtxfXX為過程X(t)的一維概率密度，一般省寫其腳注而簡記為f(x,t) 。 一維概率分布只能描述隨機過程在任一孤立時刻的取值統(tǒng)計特性，不能反映隨機過程在各個時刻取值之間的關(guān)聯(lián)性。 隨機過程X(t)在任兩時刻t1 , t2的取值X(t1) , X(t1)構(gòu)成二維隨機變量X(t1), X(t2)。記： 稱為過程X(t)的二維分布函數(shù)。 若它對x1和x2 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義： 為

14、過程X(t)的二維概率密度。FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x221212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX2 二維概率分布 二維概率分布可以描述隨機過程在任兩時刻取值之間的關(guān)聯(lián)性; 通過積分可以求得兩個一維概率密度fX(x1; t1) 和fX(x1; t1) ，可見二維概率分布比其一維概率分布含有較多的統(tǒng)計信息，對隨機過程的描述要細致些 但它還不能反映隨機過程在兩個以上時刻取值之間的關(guān)聯(lián)性。 隨機過程X(t)在任意n個時刻t1, t2 , t3 , 的取值 構(gòu)成n維隨機變量，即n維空間中的隨機矢量 。同上可得過程X(t)的n維分布函數(shù)為

15、, 過程X(t)的n維概率密度為：3 n維概率分布 )(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( n維概率分布可以描述任意n個時刻的取值之間關(guān)聯(lián)，比其低維概率分布含有更多的統(tǒng)計特性，對隨機過程的描述更細微些。 故若隨機過程的觀測時刻點數(shù)取得越多（即維數(shù)n越大），則隨機過程的統(tǒng)計特性可以描述得越細致。 從理論上來說，要完全描述一個隨機過程的統(tǒng)計特性，需要維數(shù)n，但對工程實際來說，在許多場合僅取二維即可。2022-2-2250),;,(2121ninXttttxxxF

16、1),;,(21nXtttF0),;,(2121nnXtttxxxf121212n重(,; , , )1Xnnnfxxx t tt dx dxdx),;,(),;,(2121212121mnmmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf重若 統(tǒng)計獨立，則有 )(,),(),(21ntXtXtX);();();(),;,(22112121nnXXXnnXtxftxftxftttxxxf根據(jù)多維隨機變量的概率分布可知，隨機過程的n維概率分布具有下列主要性質(zhì)： 例：設(shè)隨機振幅信號 ，式中： 為常量， X為標準正態(tài)隨機變量。試求時刻： 、 時的一維概率密度。 tXtX0cos00t03t0

17、2t解：標準正態(tài)隨機變量X的一維概率密度為： 21exp22xfxx txxt0cosX(t)在任一時刻t的取值為由隨機變量的概率密度變換，可以求得X(t)的一維概率密度為：0022001,coscos1exp2 cos2costtttxdxfxtfxtftdxttxxtt f 故得： 時 時 時 上述結(jié)果示于下圖。由圖可知，隨機過程X(t)的一維概率密度隨時間t變化，任一時刻的取值都是正態(tài)分布，但各個時刻的方差有所不同。01 tt21111,exp22xfxt023 tt032 tt22221,exp22 0.5fxtx32333320 30 31,limexp2 cos2costtxfxt

18、xtt102030405060708090100-1.5-1-0.500.511.5tX(t)(a) 隨機振幅信號的八條樣本曲線clc;clear;A = randn(1,8);for k = 1:8 for t = 1:100 x(k,t) = A(k)*cos(0.025*pi*t); end plot(x(k,:); hold on;endxlabel(t);ylabel(X(t);grid on;axis tight;title(隨機振幅信號的八條樣本曲線);1.1.4 隨機過程的數(shù)字特征 隨機變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機過程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)。 對隨機過程的數(shù)字特征的計算

19、方法，是先把時間t固定，然后用隨機變量的分析方法來計算。 隨機過程的分布函數(shù)和概率密度是其一般統(tǒng)計特性，它們能夠?qū)﹄S機過程作完整地描述，但卻不夠簡明，而且常常難以求得。在工程技術(shù)中，一般只需采用描述隨機過程主要平均統(tǒng)計特性的幾個矩函數(shù)就夠了。它們的定義和意義只是隨機變量矩的推廣。 隨機過程X(t)在某一特定時刻t1的取值為一維隨機變量X(t1) ，其數(shù)學期望是一個確定值。隨機過程X(t)在任一時刻t的取值仍為一維隨機變量X(t) （注意此處t已固定，故X(t)已非隨機過程），將其任一取值x(t)簡記為x，根據(jù)隨機變量的數(shù)學期望定義，可得： 它是時間t的確定函數(shù)，是在任一時刻t的數(shù)學期望或統(tǒng)計平

20、均，稱為隨機過程X(t)的(瞬時)數(shù)學期望或統(tǒng)計均值，常以專用符號mx(t) 記之 (腳注在不致混淆時可以省去不寫)。 ,xXEX txfxt dxmt 1 數(shù)學期望統(tǒng)計均值是對隨機過程X(t)中的所有樣本在任一時刻t的取值進行平均，因而統(tǒng)計均值又稱集合均值（在不致混淆時可以簡稱均值）。顯然，mx(t)是某一個平均函數(shù)，隨機過程的諸樣本在它的附近起伏變化，如圖所示中的粗實線所示，它表示隨機過程中的所有樣本在任一時刻的取值（隨機變量）之分布中心。物理意義：如果隨機過程表示接收機的輸出電壓，那么它的數(shù)學期望就是輸出電壓的瞬時統(tǒng)計平均值。 2022-2-2322 均方值和方差 隨機過程X(t) 在任

21、一時刻t的取值是一個隨機變量X(t) 。把X(t)二階原點矩稱為隨機過程的均方值，dxtxfxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222( )( )( )XXtE X tm t且 隨機過程X(t)的數(shù)學期望mx(t)是確定的時間函數(shù)，因而X(t)- mx(t)仍為隨機過程，稱為中心化隨機過程，簡稱為過程X(t)的起伏; 起伏在任一時刻的取值仍為一維隨機變量，可得方差：2022-2-233 方差必為非負函數(shù)，其平方根稱為隨機過程的標準差或方差根。 方差表示隨機過程中的所有樣本在任一時刻的取值（隨機變量）對其分布中心的平均離散程度。)()(ttXD

22、X 物理意義：如果X(t)表示噪聲電壓，則均方值 和方差 分別表示消耗在單位電阻上的瞬時功率統(tǒng)計平均值和瞬時交流功率統(tǒng)計平均值。 表示瞬時直流功率統(tǒng)計平均值， 表示噪聲電壓的交流分量。2(x)x2(x)x2(x)xm(x)x 數(shù)學期望和方差只能表示隨機過程在各個孤立時刻的平均統(tǒng)計特性，不能反映隨機過程在任兩時刻的取值之間關(guān)聯(lián)。 為了表示隨機過程在任兩時刻的取值之間的關(guān)聯(lián)程度，需用二維隨機變量的二階原點矩或中心矩，這就是隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和中心化自相關(guān)函數(shù)。 3 自相關(guān)函數(shù) 相同數(shù)學期望和方差的兩個隨機過程。X(t)變化緩慢、規(guī)律性強，相關(guān)性較強；Y(t)變化激烈、波動較大，相關(guān)性不明顯。 隨

23、機過程X(t)在任兩時刻 的取值構(gòu)成二維隨機變量，將變量 和 在任兩時刻的取值 和 簡記為 和 ，記二階混合原點矩為： 稱為隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)。它表示過程X(t)在任兩時刻的取值之間的平均關(guān)聯(lián)程度。21,tt 1tX 2tX 1tx 2tx1x2x 2121112212121,;,dxdxttxxpxxtXtXEttRX 同理，記變量 和 的二階混合中心矩為： 稱為隨機過程X(t)的中心化自相關(guān)函數(shù)或自協(xié)方差函數(shù)，簡稱協(xié)方差函數(shù)。它表示過程X(t)在任兩時刻的起伏值之間的平均關(guān)聯(lián)程度。 1tX 2tX 12121122,XXXKttEX tX tEX tmtX tmt

24、21211122211,;,dxdxttxxptmxtmxXX2022-2-236比較自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 )()()()(),(111121tmtXtmtXEttKXXX )()()()()()()()(21121121tmtmtXEtmtXEtmtXtXEXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX比較自協(xié)方差和方差的關(guān)系 )()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令則2022-2-2例：求隨機相應(yīng)止弦波 的數(shù)字期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中， 為常數(shù)，是區(qū)間0， 上均勻分布的隨機變量。 0( )sin()x tt02解：由題可知： 00

25、0( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt(1)0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02Efddsin 0E同理( )0 xm t2022-2-238(2)22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知 sin2 cos2 0EE21( )2xt20

26、22-2-2390 20 101211cos()cos()22tttt(3)12( , )xR t t12 ( ) ( )E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2 )cos()2Etttt 隨機變量的概率密度與特征函數(shù)是一對傅立葉變換，且隨機變量的矩唯一地被特征函數(shù)所確定。 因此求正態(tài)分布等隨機變量的概率密度和數(shù)字特征時，利用特征函數(shù)可以顯著簡化運算。 同樣，求隨機過程的概率密度和矩函數(shù)時，利用特征函數(shù)也是如此。1.1.5 隨機過程的特征函數(shù) 隨機過程X(t)的一維特征函數(shù)被定義為： 式中x為隨機變量X(t)的取值，f(x, t)是過程X(t)的一維概率

27、密度，它與一維特征函數(shù)C(, t)構(gòu)成一對傅立葉變換，即有： ,j X tj xXCtEeefxt dx1,2j xXfxtCt ed 將上式兩端各對變量 求偏導(dǎo)n次，得： 因而過程X(t)的n階原點矩函數(shù)為： 利用該式即可以求得隨機過程的數(shù)學期望和均方值。,nnnj xXnCtjx efxt dx 0,nnnnXnEXtx fxt dxjCt 隨機過程的二維特征函數(shù)被定義為： 式中： ， 是過程的二維概率密度，它與 構(gòu)成二重傅立葉變換對，即有： 11221212,; ,jX tjX tXcttEe1 12 22121212,; ,jxjxefxxttdx dx 2211,tXxtXx2121

28、2,; ,fxxtt1212,; ,XCtt1 1222121212121221,; ,; ,2jxjxXfxxttCttedd 將上式的兩端各對變量 和 求一次偏導(dǎo)，得： 因而過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為：121 1222121212212121212,; ,; ,jxjxXCttx x efxxttdx dx 122121221212121212120,; ,; ,XXRttx x fxxttdx dxftt 利用特征函數(shù)的性質(zhì)，還可求得過程X(t)的方差和協(xié)方差函數(shù)分別為： 220,j E X tXDX teCt 1122122121212120,; ,jE X tjE X tXXKtteC

29、tt 例116：已知隨機過程X(t)在t時刻的取值服從正態(tài)分布，其一維概率密度為： 試求這時隨機過程X(t)的特征函數(shù)，并求此時的數(shù)學期望、方差、均方值。 解：由一維特征函數(shù)的定義式可得：221,exp22xmfxt 22,1exp22j X tj xXCtEeep xt dxxmjxdx 作變量代換： ，得： 可以求得數(shù)學期望和均方值分別為： 因而方差為： 。mxy22211,expexp222j xXyCtejydyjm 10,XEX tjCtm 2222220,XEXtjCtm 222tXEtXEtXD2022-2-2471.2 連續(xù)時間隨機過程的微分和積分連續(xù)時間隨機過程的微分和積分

30、1.2.1 隨機過程的連續(xù)性 1 預(yù)備知識：對于確定性函數(shù) ，若)(xf0)()(lim00 xfxxfx則 在 處連續(xù)。)(xf0 x2022-2-2482 隨機過程 連續(xù)性定義 如果隨機過程 滿足 )(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt則稱 依均方收斂意義下在t點連續(xù)，簡稱隨機過程 在t點均方連續(xù)。)(tX)(tX2022-2-2493 隨機過程 的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則 連續(xù))(tX)(tX)()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX 因此，如果對 時刻，函數(shù) 在 點上連續(xù)，則隨機過程 必在點t上連續(xù)。 21,tt),(21ttRXttt2

31、1)(tX2022-2-2504 隨機過程 均方連續(xù)，則其數(shù)學期望連續(xù) )(tX證：2222YEYEYEY)()()()(22tXtTXEtXttXE 由均方連續(xù)的定義， ，則不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0（均值的平方不可能小于0) ,即 0 t)()(tXttXY設(shè)0)()()()( tXEttXEtXttXE 注意 為確定性函數(shù)，可知連續(xù)?？蓪⒋私Y(jié)果寫成 ，)(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt2022-2-2511.2.2 隨機過程的導(dǎo)數(shù) 預(yù)備知識： 對于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學給出的可導(dǎo)定義如下： 一階可導(dǎo)： 如果 存在，則 在t處可導(dǎo)，記為 。 ttft

32、tft )()(lim0)(tf)(tf 2022-2-252二階可導(dǎo)： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，則 二階可導(dǎo)，記為 ),(tsftstsf ),(2若2022-2-2531 隨機過程可導(dǎo)的定義 如果隨機過程 滿足 ( )X t20()( )lim( )0tX ttX tEX tt 則稱 在t時刻具有均方倒數(shù) ，表示為 )(tX0( )()( )( )tdX tX ttX tX tlimdtt ( )X t2022-2-2542 判別方法 0)()()()(lim2222211110,21 ttXttXttXttXEtt)()()()(

33、222221111ttXttXttXttXE ),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX 判斷一個隨機過程是否均方可微的方法是采用柯西準則,即 而2022-2-255若 時，存在二階混合偏導(dǎo)12ttt21212( ,)Rx t ttt 222121212121212( ,)( ,)( ,)20Rx t tRx t tRx t ttttttt 則)()

34、()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt = = 可見，隨機過程X(t)在t處均可微的充分條件為：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時，存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在 2121212),(ttXttttR2022-2-2563 數(shù)字特征 (1)隨機過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學期望等于其數(shù)學期望的導(dǎo)數(shù) )()(tXEdtddttdXE證明： )()(lim)(0ttXttXEdttdXEt ttmttmttXttXEXXtt)()(lim)()(lim00dttdmtmXX)()(2022-2-257（2）隨機過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù) 2121221),

35、()()(ttttRtXtXEX 證明： )()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt)()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt21212),(ttttRX)()(21tXtXE2022-2-2581.2.3 隨機過程的積分 1 預(yù)備知識 對于確定性函數(shù) ，)(xf baniiixfdxxf10)(lim)( 其中 ，1 iiixxx nixi,.,2 , 1,max 2022-2-2592 隨機過程積分的定義

36、隨機過程 在確定區(qū)間 上的積分Y是一個隨機變量，即 ( )X t, a bbadttXY)(若有 0)(lim120niiitttXYEi則稱 為隨機過程 在 上的積均方積分niiibattXmildttXY10)(. .)(, a b( )X t可以推廣到帶有“權(quán)函數(shù)”的隨機過程的積分 badthXtY),()()(2022-2-2603 數(shù)字特征 （1）隨機過程積分的數(shù)學期望等于隨機過程數(shù)學期望的積分。 badttXEYE)(niiittXmilE10)(. .niiittXEmil10)(. .badttXE)(baXdttm)(證明：2022-2-261（2）隨機過程積分的均方值和方差

37、 隨機過程積分的均方值等于隨機過程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；其方差為隨機過程協(xié)方差的二重積分。 )()(22112babadttXdttXEYE babadtdttXtXE)()(2121 babadtdttXtXE2121)()( babadtdttXtXE2121)()( babaXdtdtttR2121),(2022-2-262222YEYEY babababaXdttXEdttXEdtdtttR22112121)()(),( babaXXXdtdttmtmttR212121)()(),( babaXdtdtttK2121),(2022-2-263(3) 隨機過程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對隨機過

38、程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對t1,后對t2積分） 101)()(tdXtY202)()(tdXtY120021)()(),(ttYdXdXEttR 1200)()(ttddXXE 1200),(ttXddR2022-2-2641.3 平穩(wěn)隨機過程及其遍歷性平穩(wěn)隨機過程及其遍歷性 一一 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程1 嚴平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程(1) 定義定義 如果對于任意的如果對于任意的n和和 ，隨機過程，隨機過程 X(t)的的 N 維概率密度滿足：維概率密度滿足：)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X則稱則稱X(t) 為嚴平穩(wěn)（或

39、狹義）隨機過程為嚴平穩(wěn)（或狹義）隨機過程 。2022-2-265(2) 一、二維概率密度及數(shù)學特征一、二維概率密度及數(shù)學特征 嚴平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度與時間無關(guān)嚴平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度與時間無關(guān)111( )()XXE X tx fx dxm222111( )( )XXE Xtx fx dx 22111( )()()XXXD X txmfx dx1令11( ;0)( )tXXfxfx );();(1111txftxfXX2022-2-266嚴平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度只與嚴平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度只與 t1, t2的的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān) 121

40、21212( ,; , )( ,;,)XXfx x t tfx x tt12212令11(;0,)( ,; )tXXfx xttfx x t 12121212( ,),(,; )( )XXXRt tx x fx x t dt dxR t 212( , )( )( )XXxXKt tK tR tm21211( ,)( )( )( )XXXXXRt tmt mtR tm2022-2-267(3)嚴平穩(wěn)的判斷嚴平穩(wěn)的判斷 按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其需要知道其n維概率密度，可是求維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難維概

41、率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個：嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個： (1) 若若X(t)為嚴平穩(wěn)，為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則為任意正整數(shù)，則 與時與時間間t無關(guān)。無關(guān)。 )(tXEk (2) 若若X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻t0， X(t0)具有相具有相同的統(tǒng)計特性。同的統(tǒng)計特性。2022-2-2682 寬平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)隨機過程XXmtm)()()(22tXEtX若隨機過程若隨機過程 X(t)滿足滿足)(),(),(2121XttXRXXEttR則稱則稱X(t

42、)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴平穩(wěn)過程的均方值有界，則嚴平穩(wěn)過程的均方值有界，則此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對于正態(tài)過程，嚴平此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對于正態(tài)過程，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。2022-2-269二二 平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性質(zhì)性質(zhì)2 )()(XXRR)()(XXKK偶對稱性偶對稱性 性質(zhì)性質(zhì)3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK極值性極值性證：證：任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負值，即任何正函數(shù)的數(shù)字期望恒為非負

43、值，即0)()(2tXtXE0)()()(2)(22tXtXtXtXE對于平穩(wěn)過程對于平穩(wěn)過程X(t)，有，有)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2XXXKK2022-2-270對周期性平穩(wěn)過程對周期性平穩(wěn)過程X(t)=X(t+T)，T為周期，為周期，有有 。 性質(zhì)性質(zhì)4 )()(TRR證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到證：由自相關(guān)函數(shù)的定義和周期性條件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性質(zhì)性質(zhì)5 若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則

44、含含有同一個周期分量。有同一個周期分量。 )(XR2022-2-271若平穩(wěn)隨機過程若平穩(wěn)隨機過程X(t)不含有任何周期分量，不含有任何周期分量，則則性質(zhì)性質(zhì)6 2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK對于此類非周期的平穩(wěn)過程，當增大對于此類非周期的平穩(wěn)過程，當增大 時，隨機時，隨機變量變量X(t)與與X(t+)之間的相關(guān)性會減弱；在之間的相關(guān)性會減弱；在 的極限情況下，兩者相互獨立，故有的極限情況下，兩者相互獨立，故有證：證：)()(lim)(limtXtXERX2)()(limXmtXEtXE亦即亦即2)()(limXXXmRR同理，可求得同理，可求得0)()(limXXKK2

45、022-2-272性質(zhì)性質(zhì)7 若平穩(wěn)過程含有平均分量若平穩(wěn)過程含有平均分量(均值均值) ，則相，則相關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于 , 即即2Xm2Xm則則 。2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)是非周期的，是非周期的，由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得由協(xié)方差函數(shù)的定義，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)是非周期，則有是非周期，則有2)(XXmR證：證：)()0()0(2XXXXRRK且在且在t=0時時,可得可得2022-2-273平穩(wěn)隨機過程必須滿足平穩(wěn)隨機過程必須滿足對所有對所有 均成立。

46、均成立。 性質(zhì)性質(zhì)8 0)(deRjX自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。注：注：相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線2022-2-274平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間此值在此值在1，1之間。之間。 表示不相關(guān)，表示不相關(guān)， 表表示完全相關(guān)。示完全相關(guān)。 表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻起表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻起伏值（隨機變量與均值之差）之間符號相同可能性大。伏值（隨機變量與均值之差）之間符號相同可能性大。 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)22)()0()

47、()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr2022-2-275相關(guān)時間相關(guān)時間 當相關(guān)系數(shù)中的時間間隔大于某個值，可以認為兩個當相關(guān)系數(shù)中的時間間隔大于某個值，可以認為兩個不同時刻起伏值不相關(guān)了，這個時間就稱為相關(guān)時間。不同時刻起伏值不相關(guān)了，這個時間就稱為相關(guān)時間。 通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于0.05的時間間隔的時間間隔 ，記做，記做相關(guān)時間相關(guān)時間, 即即: 時的時間間隔時的時間間隔 為相關(guān)時間。為相關(guān)時間。05. 0)(0Xr0 有時我們用鉅形（高為有時我們用鉅形（高為 ,底為底為 的矩形）面積的矩形）面積等于陰影面積等于陰影面積( 積分的一半）

48、來定義相關(guān)時間，即積分的一半）來定義相關(guān)時間，即1)0(Xr0)(Xr00)( drX物理意義物理意義相關(guān)時間相關(guān)時間 越小，就意味著相關(guān)系數(shù)越小，就意味著相關(guān)系數(shù) 隨隨 增加而降落增加而降落的越快，這表明隨機過程隨時間變化越劇烈。反之，的越快，這表明隨機過程隨時間變化越劇烈。反之， 越越大，則表時隨機過程隨時間變化越慢。大，則表時隨機過程隨時間變化越慢。 0)(Xr02022-2-276例：已知平穩(wěn)隨機過程例：已知平穩(wěn)隨機過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 RX(t

49、)=（100cos10t）+（100e-10|t|+100） = RX1(t)+ RX2(t)式中，式中，RX1(t)=100cos10t是是X(t)中周期分量的自相關(guān)中周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值函數(shù)，此分量的均值mx1=0; RX2(t)=100e-10|t|+100是是X(t)的非周期分量的自相關(guān)，的非周期分量的自相關(guān)，由性質(zhì)由性質(zhì)6，可得，可得22( )10XXmR 1222210( )( )300( )300 100200 xxxXXXmmmE XtRoRX oM 所以有所以有解：解：2022-2-277三三 遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性 1 遍歷性過程的定義遍歷性過程

50、的定義 如果一個隨機過程如果一個隨機過程 X(t),它的各種時間平均（時間足它的各種時間平均（時間足夠長）依概率夠長）依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均收斂于相應(yīng)的集合平均,則稱則稱X(t)具有嚴具有嚴格遍歷性格遍歷性,并稱它為嚴遍歷過程。并稱它為嚴遍歷過程。 嚴遍歷性的定義嚴遍歷性的定義 寬遍歷性的定義寬遍歷性的定義 設(shè)設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程是一個平穩(wěn)隨機過程,如果其均值和相關(guān)函數(shù)如果其均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性都具有遍歷性,則稱則稱X(t)為寬為寬(或廣義或廣義)遍歷過程遍歷過程,或簡稱或簡稱遍歷過程。遍歷過程。2022-2-278定義定義果它依概率果它依概率1收斂于集合均值，即收斂于集合

51、均值，即則稱則稱X(t)均值具有遍歷性。定義時間自相關(guān)函數(shù)為均值具有遍歷性。定義時間自相關(guān)函數(shù)為 則稱則稱X(t)自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性 。如果它依概率如果它依概率1收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt為時間均值，如為時間均值，如2022-2-2792 遍歷過程的實際應(yīng)用遍歷過程的實際應(yīng)用 一般隨機過程的時間平均是隨機變量，但遍歷過程一般隨機過程的時間平均是隨機變量，

52、但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間T不可不可能無限長，只要足夠長即可。能無限長，只要足夠長即可。 3 遍歷過程和平穩(wěn)過程的關(guān)系遍歷過程和平穩(wěn)過程的關(guān)系 遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）2022-2-2804 遍歷過程的兩個判別定理遍歷過程的兩個判別定理 均值遍歷判別定理均值遍歷判別定理 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程X(t)

53、的均值具有遍歷性的充要條件的均值具有遍歷性的充要條件平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性充要條件 自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理 式中：式中：0)()21 (1lim202dmRTTTXTX0)()()21 (1lim120211dRBTTTTX)()()()()(111tXtXtXtXEB2022-2-281證：證：. .012Tl i mTXXTm dtmT原命題等價于：原命題等價于： . . .11( )( )( )22TTl i ml i mTTTTEX tEX t dtE X t dtTT2. .201( )0(1)( )02XT

54、l i mTXtDX tR tmdtTT. .1( ) ( )2Tl i mTTDX tDX t dtT . .1( )2Tl i mTTDX t dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX tm dtT. .221( ) 4XTl i mTTEX tm dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX t dtmT2022-2-2821212. .21( )( )4XXTTl i mTTTE X tmX tmdt dtT2112. .21()4XTTl i mTTTK tt dt dtT2121212121),(),(21uttJ12tt 12ttu設(shè)設(shè)22ut21ut則則t1t2-T

55、T2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu22022-2-2832. .01( )0(1)02Tl i mTtDX tdtTT)(2141lim )(22222duKdTtXDXTTTTT于是于是dKTTXTTT)()2(41lim222dmRTTXXTTT)()(21 (21lim222dmRTTXXTT)()(21 (1lim220)()( RR從而命題得證。從而命題得證。2022-2-284對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相對于正態(tài)平穩(wěn)隨機過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則可以證明此過程具有遍連續(xù)，則可以證明此過程具有遍歷性的一個充分條件為歷性的一個充分條件為)(XRdR

56、X0)(注意：注意：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷的，我們總是先假設(shè)判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷的，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以其是遍歷的，然后看是否滿足定義要求（即時間平均以概率概率1 1等于統(tǒng)計平均），一般不用兩個判別定理。等于統(tǒng)計平均），一般不用兩個判別定理。 5.2022-2-285例：設(shè)例：設(shè) ,式中式中a， 為常數(shù)，為常數(shù)， 是是在上均勻分布的隨機變量。試問：在上均勻分布的隨機變量。試問：X(t)是否平穩(wěn)？是否平穩(wěn)？是否遍歷？是否遍歷？0( )cos()X tat0020( )( )( ).( )cos().2XmtE X tx tfdatd 0Xm( ,)

57、( )()XR t ttE X t X tt0002coscos(22)2aEttt 02cos( )2XatR t故故X(t)是寬平穩(wěn)隨機過程。是寬平穩(wěn)隨機過程。解：2),()(22attRtXEX2022-2-2860. .1( )( )cos()2l i mTAX tX tatdtT00. .cossin0l i mTaTT0002. . .11cos(22 )(cos.)222TTl i ml i mTTTTattdtt dtTT 0022. .20cos.cos222l i mTaaTttT故故X(t)也是寬遍歷隨機過程。也是寬遍歷隨機過程。)()(),(tXtXttX2022-2-

58、2871.4 隨機平穩(wěn)隨機過程隨機平穩(wěn)隨機過程一一 兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布 設(shè)有兩個隨機過程設(shè)有兩個隨機過程 和和 ,它們的概率密度它們的概率密度)(tX)(tY分別為分別為2211( ,; , )Xnnf x xx t tt2211(,; ,)Ymmf y yyt tt定義這兩個過程的定義這兩個過程的(n+m)維聯(lián)合分布函數(shù)為：維聯(lián)合分布函數(shù)為： 1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmFxxyytt tt1111( ),.( ); ( ),. ()nnmmp X txX tx Y tyY ty2022-2-288定義這兩個過程的定義這兩個過程的(n+m)

59、維聯(lián)合概率密度為：維聯(lián)合概率密度為：1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmfxxyytt tt1）若兩個過程的）若兩個過程的n+m維聯(lián)合概率分布給定，則它們的維聯(lián)合概率分布給定，則它們的全部統(tǒng)計特性也確定了。全部統(tǒng)計特性也確定了。注注2）可以由高維聯(lián)合分布求出它們的低維聯(lián)合概率分布。）可以由高維聯(lián)合分布求出它們的低維聯(lián)合概率分布。3）若兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布不隨時間平移而）若兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布不隨時間平移而變化，即與時間的起點無關(guān)，則稱此二過程為聯(lián)合變化，即與時間的起點無關(guān)，則稱此二過程為聯(lián)合嚴平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依。嚴平穩(wěn)或嚴平穩(wěn)相依。mnmnmnXYmnyyxxttttyyx

60、xF111111), ,;,;,;,(2022-2-289 設(shè)兩個隨機過程設(shè)兩個隨機過程 和和 ，它們在任意兩個，它們在任意兩個時刻時刻t1，t2的取值為隨機變量的取值為隨機變量 、 ,則定義它們則定義它們的互相關(guān)函數(shù)為：的互相關(guān)函數(shù)為：二二 兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù) )(tX)(tY)(1tX)(2tY121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 式中，式中， 1212( , )( , ; , )XYft tx y t t是隨機過程是隨機過程 和和的二維聯(lián)合概率密度。的二維聯(lián)合概率密度。)(tX