第3章 流體運動學(xué)1

1、1第3章 流體運動學(xué)n第一節(jié)第一節(jié) 描述流體的兩種方法描述流體的兩種方法n第二節(jié)第二節(jié) 流動的分類流動的分類n第三節(jié)第三節(jié) 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念n第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)性方程連續(xù)性方程n第五節(jié)第五節(jié) 流體微團運動分析流體微團運動分析3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法3.1.1 3.1.1 流場流場通常，將充滿著運動流體的空間稱為流場，將表示流體運動特征的物理量稱為流動參數(shù)，如速度、密度、壓強等。所以流場又是上述物理量的場。流體運動學(xué)主要研究流場中各個運動參數(shù)的變化規(guī)律，以及這些運動參數(shù)之間的關(guān)系等問題。3.1.2 3.1.2 研究流體運動的方法研究流體

2、運動的方法 拉格朗日法 歐拉法3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法51. 1. 拉格朗日法（質(zhì)點法）拉格朗日法（質(zhì)點法） 把流體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤每一個質(zhì)點，描述其運動過程中流動參數(shù)隨時間的變化，綜合流場中所有流體質(zhì)點，來獲得整個流場流體運動的規(guī)律，這種方法叫做拉格朗日法。實質(zhì)是一種質(zhì)點系法。3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法61. 1. 拉格朗日法（質(zhì)點法）拉格朗日法（質(zhì)點法） 取某一起始時刻t0質(zhì)點的坐標(biāo)位置（a,b,c）作為該質(zhì)點的標(biāo)志。圖圖 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOaxbyzct0tMt 時刻，流體質(zhì)點運動到空間位置（x,y,

3、z）可表示為：式中，（a，b，c，t）=拉格朗日變數(shù) （a，b，c） 對應(yīng)流體質(zhì)點 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法71. 1. 拉格朗日法（質(zhì)點法）拉格朗日法（質(zhì)點法） 不同（a，b，c），t 不變，表示在選定時刻流場中流體質(zhì)點的位置分布。給定（a，b，c），t 變化時，該質(zhì)點的軌跡方程確定；流體質(zhì)點的速度為( , , , )( , , , ) ( , , , )xx a b c tdyy a b c tdtzz a b c t( , , , )( , , , )( , , , )xyzx a b c tut

4、y a b c tutz a b c tut3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法8222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxxyyyzzzu a b c tx a b c taa a b c tttua b c ty a b c taaa b c tttu a b c tz a b c taa a b c ttt流體質(zhì)點的加速度為3.1 研究流體運動的兩種方法9 問題 1 每個質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點2 數(shù)學(xué)上存在難以克服的

5、困難3 實用上，不需要知道每個質(zhì)點的運動情況 因此，除個別情況（如研究波浪運動、臺風(fēng)路徑等）外，該方法在工程上很少采用。而用另一種方法歐拉法。( , , , )( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法102. 2. 歐拉法（空間點法）歐拉法（空間點法） 不研究各個質(zhì)點的運動過程，而著眼于流場（充滿運動流體的空間）中的空間點，即通過觀察質(zhì)點流經(jīng)每個空間點（x,y,z）上的運動要素隨時間t變化的規(guī)律，把足夠多的空間點綜合起來而得出整個流體運動的規(guī)律，這種方法叫做歐拉法（流場法）。該

6、方法不能表示個別流體質(zhì)點從起始到終了的全部運動過程，因為同一個空間點在不同時刻由不同的流體質(zhì)點所占據(jù)。所謂某點的速度或壓強是指流體質(zhì)點經(jīng)過該空間點時所具有的速度或壓強。3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法112. 2. 歐拉法（空間點法）歐拉法（空間點法） 采用歐拉法，可將流場中任何一個運動要素表示為空間坐標(biāo)（x，y，z）和時間t 的單值連續(xù)函數(shù)。( , , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t式中， (x, y, z, t )稱為歐拉變數(shù)。( , , )( , , )( , , )pp x y z tx y

7、z tTT x y z t對速度場，表示為： 壓強場： 密度場： 溫度場： 3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法12令 (x, y, z) 為常數(shù)， t 為變數(shù)令 (x, y, z) 為變數(shù)， t 為常數(shù)表示在某一固定空間點上，流體質(zhì)點的運動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。表示在同一時刻，流場中流動參數(shù)的分布規(guī)律。即在空間的分布狀況。例如：瞬時速度場、瞬時壓力場。3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法133.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法 v 研究速度和加速度的分布可以用歐拉法，但是從速度求加速度卻必須用拉格朗日法，即必須用“質(zhì)點的

8、觀點”研究問題，因為加速度是某一質(zhì)點在單位時間內(nèi)的速度變化，為了求這一個質(zhì)點的加速度，就必須跟蹤這個質(zhì)點觀察它的速度的變化情況。v 所選空間點不是任意的空間點，而是流體質(zhì)點在流動過程中先后經(jīng)過的位置，是同一軌跡上的空間點，即流體質(zhì)點在流場中空間位置（x,y,z），都應(yīng)該與運動過程中的時間變量有關(guān)，不同時刻，每個流體質(zhì)點應(yīng)該有不同的空間坐標(biāo)。14 液體質(zhì)點通過任意空間坐標(biāo)時的加速度：式中， (ax , ay , az) 為通過空間點的加速度分量。 ttzyxuattzyxuattzyxuazzyyxxd),(dd),(dd),(d3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法15對

9、某一流體質(zhì)點來說，歐拉變數(shù)（x,y,z）和時間t都變，而且 （x,y,z）是時間 t 的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，則d ( , , , )dd ( , , , )dd ( , , , )dxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz()duuuudtta = 寫為矢量形式,ijkxyz 為矢量微分算子。3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法16zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuu

10、tuttzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 時變加速度分量（三項） 位變加速度分量（九項）ut()uu3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法17v 從歐拉法來看，不同空間位置上的液體流速可以不同；v 在同一空間點上，因時間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分為： u 遷移加速度（位變加速度）：同一時刻，不同空間點上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。u 當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）：同一空間點，不同時刻上因流速不同，而產(chǎn)生的加速度。3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法18質(zhì)點導(dǎo)數(shù)()xyzduuuud

11、tttxyz質(zhì)點物理參數(shù)對時間的變化率。密度的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)： xyzduuudttxyz()dudtt物理參數(shù)的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)=當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)+遷移導(dǎo)數(shù)3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法BArr19(a, b, c) : 質(zhì)點起始坐標(biāo) t : 任意時刻(x, y, z) : 質(zhì)點運動的位置坐標(biāo)(a, b, c , t ) : 拉格朗日變數(shù)(x, y, z) : 空間固定點（不動） t : 任意時刻(x, y, z , t ) : 歐拉變數(shù)拉格朗日法歐拉法3.1 3.1 研究流體運動的兩種方法研究流體運動的兩種方法20 牛頓流體和非牛頓流體的流動；理想流體和實際流體的流動，可壓縮流體和

12、不可壓縮流體的流動；單相流體和多相流體的流動等。3.2 3.2 流動的分類流動的分類 穩(wěn)定流動和不穩(wěn)定流動；層流流動和湍流流動；有旋流動和無旋流動；亞聲速流動和超聲速流動等。 一元流動、二元流動、三元流動。213.2.1 穩(wěn)定流動和不穩(wěn)定流動3.2 3.2 流動的分類流動的分類22若流場中 各空間點上的運動要素都不隨時間變化，這種流動稱為穩(wěn)定流動，或稱為定常流動或恒定流動。即( , )( , )( , )xxyyzzuux y zuux y zuux y z( ,)( ,)( ,)pp x y zx y zTT x y z0. ttptututuzyx ?0 xyzaaa()duuuudtta

13、 =3.2 3.2 流動的分類流動的分類23若流場中 如果流場中每一空間點上的部分或所有運動參數(shù)隨時間變化，則稱為不穩(wěn)定流動，也稱為非恒定流動或非定常流動。即( , , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t,0yxzuuuttt3.2 3.2 流動的分類流動的分類243.2 3.2 流動的分類流動的分類2222,0cxcyuvwxyxy,0uxt vytw 穩(wěn)定流動非穩(wěn)定流動253.2.2 一元、二元和三元流動“維維/ /元元”是指空間自變量的個數(shù)。是指空間自變量的個數(shù)。 流場中流體的運動參數(shù)僅是流場中流體的運動參數(shù)僅是一個一個坐標(biāo)的

14、函數(shù)。坐標(biāo)的函數(shù)。流場中流體的運動參數(shù)是流場中流體的運動參數(shù)是兩個兩個坐標(biāo)的函數(shù)。坐標(biāo)的函數(shù)。流場中流體的運動參數(shù)依賴于流場中流體的運動參數(shù)依賴于三個三個坐標(biāo)時的流動。坐標(biāo)時的流動。3.2 3.2 流動的分類流動的分類26 實際上，任何實際液體流動都是三維流，需考慮運動要素在三個空間坐標(biāo)方向的變化。( , , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t 由于實際問題通常非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)上求解三維問題的困難，所以流體力學(xué)中，在滿足精度要求的前提下，常用簡化方法，盡量減少運動要素的“維”數(shù)。3.2 3.2 流動的分類流動的分類27 例如，下圖所示

15、的帶錐度的圓管內(nèi)黏性流體的流動，流體質(zhì)點運動參數(shù)，如速度，即是半徑r 的函數(shù)，又是沿軸線距離的函數(shù)，即：穩(wěn)定流動u=u (r，x)，非穩(wěn)定流動u=u (r，x，t ) 。顯然這是二元流動問題。u3.2 3.2 流動的分類流動的分類28 工程上在討論其速度分布時，常采用其每個截面的平均值u。就將流動參數(shù)如速度，簡化為僅與一個坐標(biāo)有關(guān)的流動問題，這種流動就叫一維流動，即：穩(wěn)定流動u=u (x)，非穩(wěn)定流動u=u (x，t ) 。3.2 3.2 流動的分類流動的分類u29如圖所示的繞無限翼展的流動就是二維流動，二維流動的參數(shù)以速度為例，可寫成：( , ) ( , ) xyuu x y iu x y

16、j3.2 3.2 流動的分類流動的分類3.2 3.2 流動的分類流動的分類例例：已知平面流場的速度分布為 ，求流場中加速度表達式。ytxuyxtuyx22解：解： yuuxuutuaxyxxxx25222txytxtyxtxyuuxuutuayyyxyy 23222tytytxyxty jytyixtxa2235d ( , , , )dd ( , , , )dd ( , , , )dxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz313.3 3.3 流體運動

17、學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念3.3.1 跡線和流線 流體質(zhì)點不同時刻流經(jīng)的空間點所連成的線，即流體質(zhì)點在一段時間內(nèi)運動的軌跡線。由拉格朗日法引出的概念。 ktcbazjtcbayitcbaxr,dturd質(zhì)點的位置矢量：323.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念3.3.1 跡線和流線從該方程的積分結(jié)果中消去時間t，便可求得跡線方程式。dttzyxudztzyxudytzyxudxzyx,給定速度場 ，流體質(zhì)點經(jīng)過時間 移動了距離 ，該質(zhì)點的跡線微分方程為：tzyxu,rddt333.3.1 跡線和流線 某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點的速度方向都與

18、該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質(zhì)點所組成的曲線。由歐拉法引出。 圖 34 流線 s 3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念343.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念3.3.1 跡線和流線任一時刻t，曲線上每一點處的切向量 都與該點的速度向量 相切。則：kdzjdyidxrdtzyxu,0urd),(),(),(tzyxudztzyxudytzyxudxzyx流線微分方程：t 是方程的參數(shù)。353.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念363.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念流線的基本特性1. 流線和跡線相重合。 在

19、定常流動時，因為流場中速度場不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。2. 流線不能相交和分支。 通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向。3. 流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。4. 流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。373.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念流線的特例駐點：速度為0的點；奇點：速度為無窮大的點（源和匯）。 圖 源 圖圖 匯匯 駐點奇點383.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 在流場

20、中任取一不是流線的封閉曲線C，過曲線上的每一點作流線，這些流線所組成的管狀表面稱為流管。C393.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。v流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。v因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流束：微小截面積的流束。 如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流。總流：微小流束： 注意 403.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 處處與流線相垂直的截面稱為有效斷面。有效

21、斷面可能是曲面，或平面。u 在直管中，流線為平行線，有效截面為平面； u 在有錐度的管道中，流線收斂或發(fā)散，有效截面為曲面。3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 單位時間內(nèi)流過有效斷面的流體量，稱為流量。 流體量有三種表示方法：流量體積流量：單位時間通過有效斷面的流體體積。用“Q”表示，單位：m3/s，L/s，m3/h重量流量：單位時間通過有效斷面的流體重量。用”G”表示，單位：N/s，kgf/s，噸/時GgQ質(zhì)量流量：單位時間通過有效斷面的流體質(zhì)量。用“ ”表示，單位：kg/smQQmQAQudA3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 常把通過某一有效斷

22、面的流量Q與該有效斷面面積A相除，得到一個均勻分布的速度v。 dAQu AvAQvAu(y)yqvv圖 有效截面為平均流速3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念 平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。 使流體運動得到簡化（使三維流動變成了一維流動）。在實際工程中，平均流速是非常重要的。 3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念例例：給定二元流動的速度場 ，解：解： 121211(1),1 ,1331 ,1ttttdxdyxtytdtdtxc etyc

23、etcceexetyet 由跡線微分方程積分得：當(dāng)t=1時，過（x,y）=(1,1)的質(zhì)點有：最后得此質(zhì)點的跡線方程為：xuxt求（1） t=1時過（1,1）點的質(zhì)點的跡線； （2）過（1,1）點的流線方程。yuyt 3.3 3.3 流體運動學(xué)的基本概念流體運動學(xué)的基本概念例例：給定二元流動的速度場 ，解：解： 1212(2)()()(1)()()(1)t=1(1)(1)4dxdyxtytxtytcctxtyttxy 由流線方程積分得：過(1,1)空間點有：所以此流線方程為：若當(dāng)時，此流線方程為：可見，流線和跡線不一致。xuxt求（1） t=1時過（1,1）點的質(zhì)點的跡線； （2）過（1,1）

24、點的流線方程。yuyt 練習(xí)練習(xí)1.1.歐拉法研究歐拉法研究_的變化情況的變化情況(A) 每個質(zhì)點的速度 (B) 每個質(zhì)點的軌跡(C) 流經(jīng)每個空間點的流速(D) 流經(jīng)每個空間點的質(zhì)點軌跡2.2.什么叫時變（當(dāng)?shù)兀┘铀俣?，什么叫位變（遷移）加什么叫時變（當(dāng)?shù)兀┘铀俣?，什么叫位變（遷移）加速度？速度？答：通過空間固定點的流體質(zhì)點速度隨時間的變化率稱為當(dāng)?shù)丶铀俣龋涣黧w質(zhì)點所在的空間位置的變化而引起的速度變化率稱為遷移加速度。C練習(xí)練習(xí)4.4.用解析法分析液體質(zhì)點運動的基本方法有哪兩種？我用解析法分析液體質(zhì)點運動的基本方法有哪兩種？我們常采用哪種方法？為什么？們常采用哪種方法？為什么？答：有拉格朗日

25、法和歐拉法兩種基本方法。我們常采用歐拉法，因為用拉格朗日法需要了解各流體質(zhì)點運動的歷史況，這在數(shù)學(xué)上會遇到很多困難，而且分析流體運動往往只需要了解流動空間中各運動要素之間的關(guān)系，沒有必要弄清楚逐個流體質(zhì)點的運動，故常用歐拉法。練習(xí)練習(xí)5.5.定常流動中，定常流動中，_A.A.加速度為零加速度為零 B.B.流動參數(shù)不隨時間而變流動參數(shù)不隨時間而變C. C. 流動參數(shù)隨時間變化流動參數(shù)隨時間變化 D.D.速度為常數(shù)速度為常數(shù)6.6.一維流動是指一維流動是指_A.A.恒定流動恒定流動 B.B.均勻流動均勻流動 C.C.層流運動層流運動D.D.運動要素只與一個坐標(biāo)有關(guān)的流動運動要素只與一個坐標(biāo)有關(guān)的流動BD練習(xí)練習(xí)7.7.若流動流體的物理參數(shù)只是若流動流體的物理參數(shù)只是_的函數(shù)，則稱該流動的函數(shù)，則稱該流動為二維流動。為二維流動。A.A.一個空間變量和時間一個空間變量和時間 B.B.兩個變量兩個變量C.C.二個空間變量和時間二個空間變量和時間 D.D.兩個空間變量兩個空間變量8.8.流體流動時，流場各空間點的參數(shù)不隨時間變化，僅流體流動時，流場各空間點的參數(shù)不隨時間變化，僅隨空間位置而變，這種流動稱為隨空間位置而變，這