淺談數(shù)學(xué)分類討論思想

1、 淺談數(shù)學(xué)分類討論思想 溫寶壯 （山西省平遙縣職業(yè)學(xué)校， 山西 平遙 031100） 【摘要】在解數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答分類討論的思想在解決某些數(shù)學(xué)問題時，其解決過程包括多種情形，需要根據(jù)所研究的對象存在的差別，按一定標準把原問題分為幾個不同的種類，并對每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論進行匯總，最終使得整個問題在總體上得到解決 【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想，分類討論，原則，歸納【作者簡介】溫寶壯（1982），女，漢族，籍貫：山西省平遙縣，單位：山西省平遙縣職業(yè)學(xué)校，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育，學(xué)歷：大學(xué)本科，職稱：講師。 數(shù)學(xué)思

2、想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓針對數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識的緊密聯(lián)系，要求我們在學(xué)好數(shù)學(xué)的同時要重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習與深入。 分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜

3、合各類結(jié)果得到整個問題的解答。它是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。 分類討論思想的本質(zhì)與意義：針對研究數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和差異點將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類，在對劃分的每一種類分別進行研究和求解的一種方法。揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，使所學(xué)知識條理化。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思想條理性和概括性。通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答這種思想對于簡化

4、研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，這種思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學(xué)生對學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置分類討論思想的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此基礎(chǔ)上減少分類，簡化分類討論過程分類討論思想的原則: 同一性原則，互斥性原則，相稱性原則，層次性原則。 同一性原則：分類應(yīng)按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)可以通過集合的思想來解釋，如果把研究對象看作全集，是的子集并以此分類，且，則稱這種分類符合同一性原則如：把三角形分為

5、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是滿足要求的。但是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形，這種分類就不正確，此種分類同時使用了按邊、按角兩個分類標準。 互斥性原則：分類后的每個子項應(yīng)當互不相容，即做到各個子項相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項即對于研究對象，是的子集，且作為分類的標準，若，則稱這種分類符合互斥性原則如：某班有9個同學(xué)參加球類和田徑兩項比賽，其中有6人參加球類比賽，5人參加田徑比賽，如把這9個人分成參加球類比賽和參加田徑比賽兩類，這就犯了子項相容的邏輯錯誤。因為必須有2人既參加球類比賽，又參加田徑比賽。 相稱性原則：分類應(yīng)當相稱，即

6、劃分后子項外延的總和（并集），應(yīng)當與母項的外延相等如：某人把有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩類，這個分類是不相稱的，因為子項的外延總和小于母項的外延。事實上有理數(shù)中還包括零。 層次性原則：分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿足需要為止如：對一個數(shù)進行劃分，最大層次是實數(shù)，實數(shù)又分為有理數(shù)與無理數(shù)，有理數(shù)可以分為正有理數(shù)、負有理數(shù)和零，無理數(shù)可以分為正無理數(shù)和負無理數(shù)，當然，還可以繼續(xù)深化。分類討論思想解決問題的一般步驟是：討論的對象及討論對象的取值范圍的確定；正確選擇分類的標準，進行合理分類（分類時需要做到四

7、大原則）；逐步討論解決問題；歸納并作出結(jié)論。分類討論思想的原因類型 （1）概念型：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的，如絕對值、直線的斜率等；（2）性質(zhì)型：運用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；如等比數(shù)列的前n項和的公式、數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系式；（3）運算型：涉及的數(shù)學(xué)運算要求分類討論，如除法中的除數(shù)、不等號的方向等；（4）幾何型：涉及的圖形具有不確定性，如形狀、位置等；（5）含參型：求解的數(shù)學(xué)問題中含有參變量，如含參函數(shù)、方程、不等式等；（6）化歸型：有的數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜或非常規(guī)，分類解決簡捷，如排列、組合實際問題等； 另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性?？偠灾诸愑懻撍枷朐谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中起著很重要的作用，學(xué)好分類討論思想，不僅僅有利于我們對所學(xué)知識的歸納，有利于我們應(yīng)對平常的學(xué)習任務(wù)，更為我們?nèi)粘Ｉ钪薪鉀Q實際問題提供了一定的幫助。由于分類討論一般過程較為冗長，敘述較為煩瑣，且極易在完備上造成失誤，因此它并非一定是解決問題的上策或良策，希望