光學習題及答案

1、 11 已知兩個振動的解析式和試用振幅矢量法、三角函數加法和復數法合振動的振幅和初位相。解：（a）振幅矢量法合振動的振幅 A=合振動的初位相為（b）三角函數加法令 則 (c)復數法12 在楊氏實驗中，（a）氦一氖激光器發(fā)出的波長為6328的激光投射在縫的間距為0.022厘米的雙縫上，求距縫180厘米處光屏上所形成的干涉條紋的間隔；（b）若縫的間距為0.45厘米，距縫120厘米的光屏上所形成的干涉條紋的間距為0.15毫米，試求光源的波長并說明是什么顏色的光。解：（a）已知厘米，d=0.022厘米，厘米。按公式（17），得條紋的間距為厘米（b）已知厘米，d=0.45厘米，厘米，則得厘米 =5625

2、（綠色）在可見光的范圍內不同的波長引起不同的顏色感覺。各單色光的波長或頻率和顏色的對應關系如下頁表所示。根據下頁表可知光源發(fā)出的是綠色的光。13 波長為5000的綠光投射于間距d=0.022厘米的雙縫上，求距離180顏色中心頻率（Hz）中心波（A）波長范圍（）紅4.5×1014660078006220橙4.9×1014610062205970黃5.3×1014570059705770綠5.5×1014540057704920青6.5×1014480049204700藍7.0×1014430047004550紫7.3×1014

3、410045503900厘米處光屏上形成的干涉條紋兩個亮條紋間的距離為多少？若用紅光投射到此雙縫上，那么所得到兩個亮紋間的距離為多少？算出這兩種光第二級條紋位置的差距。解：根據公式（17）得相鄰亮條紋的間隔為厘米厘米令厘米14 在楊氏實驗裝置中，光源波長厘米，兩狹縫間距d為0.4毫米，光屏離狹縫距離為50厘米。試求：（a）光屏上第一亮條紋和中央亮紋之間的距離；（b）若有P點離中央亮紋的距離y為0.1毫米，問兩束光在P點的位置差是多少。（c）求P點的光強度和中央點的強度之比。解：（a）按公式（17）得（b）由圖幾何關系可知厘米由公式（1-1）得（c）由公式（1-6）得1-5 如圖1-11所示的楊

4、氏實驗中，P為光屏上第5級亮紋所在的位置?，F將玻璃片插入從S1發(fā)出的光束途中，則P點變?yōu)橹醒肓翖l紋的位置，求玻璃片的厚度h（已知光的波長為厘米，玻璃折射率n為1.5）。解：未加玻璃片時，S1、S2到P點的程差，由公式（1-1）可知為現在S1發(fā)出的光束途中插入玻璃片時，P點程差為所以玻璃片的厚度為厘米1-6 設有一薄玻璃片，厚度厘米，插入楊氏實驗中的一光束的途徑中，發(fā)現中央亮條紋移動一距離為4個亮條紋的寬度。已知光波的波長為厘米，求玻璃的折射率。解：在未加玻璃片時，由公式（1-1）可知，程差為在插入玻璃片后的程差變?yōu)楣?1-7 波長為7000的光源與菲涅耳雙鏡的相交棱之間的距離r為20厘米，這棱

5、到屏間的距離L為180厘米，若所得干涉條紋的相鄰亮紋的間隔為1毫米，求雙鏡平面之間的交角。解： 1-8 用綠的單色光（）照射肥皂，若沿著與肥皂膜平面成300角的方向觀察，看到膜最明亮。設此時干涉級為零，已知肥皂水的折射率n=1.33。試求：（a）薄膜的厚度；（b）當垂直注視時，應改用怎樣波長的光來照射，才能看到膜最明亮。解：（a）已知厘米，根據（1-12）式厘米（b）垂直入射，即垂直注視時，且得1-9 （a）如圖1-13所示尖劈形薄膜，右端的厚度h為0.005厘米，折射率n為1.5，波長為7070的光以300的入射角射到劈的上表面上，求在這個面上產生的條紋數，若以兩玻璃片之間形成的空氣尖劈代替

6、，則產生多少條紋？（b）對于兩玻璃片形成的空氣尖劈，當視線與表面正交時，看到單色光的干涉條紋寬度為0.03厘米，若兩玻璃片間是水，水的折射率n=1.33，則條紋寬度如何？解：（a）根據（1-12）式，與兩個相鄰條紋所對應的厚度變化為因此在h厚度內可能出現的條紋總數N為對于空氣尖劈，n=1，因而（b）在（1-12）式中，若,則但因尖劈的棱角很小。可見：，此處x是條紋寬度。合并上兩式，得 在這題中，都是常數。因此對于折射率不同的劈形物質，條紋寬度與折射率之間存在反比關系，即故 厘米110 （a）用為6000和為4500的兩種波長的光觀察牛頓圈。用時的第j級暗圈與用時的第j+1級暗圈重合。求用時第j

7、級暗圈的直徑。設平凸透鏡的曲率半徑為90厘米。（b）在觀察牛頓圈中，用=5000的第6個亮圈與用時的第7個亮圈重合，求波長的數值為多少？解：（a）由公式（1-3）可知，牛頓圈暗圈的半徑為即 故 厘米因此第3級暗圈直徑為厘米。 （b）由公式（1-13）可知，亮圈半徑按照題意故 111 如圖1-14所示為牛頓圈實驗裝置，平凸透鏡的曲率半徑R=10米，,平玻璃板由兩部分組成：左和右的折射率分別為和。平凸透鏡與玻璃板接觸點在這兩部分平玻璃板相接之處，中間充以折射率為1.62的二硫化碳液體。若用單色光垂直照射，在反射光中測得右邊j級亮條紋的半徑毫米，級亮條紋的半徑毫米，問入射光的波長及對左邊觀察的情況。

8、解：由于右邊,故沒有額外程差,而左邊,發(fā)生額外程差,對右邊由公式(1-13)且考慮到無額外程差,則（亮圈的半徑）故入射光的波長為由于左邊有額外程差，由公式（1-13）直接可得當光程差滿足時，得亮圈的半徑為故這相當右邊暗圈的位置。112 用單色光觀察牛頓圈，測得某一級亮圈的直徑為3毫米，在它外邊第5個亮圈的直徑為4.6毫米，所用平凸透鏡的凸面的曲率半徑為1.03米，求此地單色光的波長。解：由公式（113）可知，j級亮圈和j+5級亮圈的位置分別為式中分別為和級亮圈的直徑。113 在反射光中觀察到某種波長光的牛頓圈的第j=1級亮圈和j=2級亮圈的間隔為1毫米，試求第j=19級和第j=20級亮圈之間的

9、間隔。解：由公式（113）可得，j=1和j=2級亮圈的半徑分別為又根據題意可知毫米兩邊平方得 而 =12.70-12.39=0.31毫米114 在很薄的尖劈形板上用垂直入射光投射，從反射光中看到相鄰暗條紋間的距離為5毫米，已知光的波長為5800，玻璃板的折射率為1.5，求板面間的夾角。解：板間夾角a和高度差之間的關系為115 兩塊磨光了的玻璃片之間一邊放一條厚紙，另一邊相互壓緊，玻璃片l長10厘米，紙厚h為0.05毫米，紙厚h為0.05毫米，從600的反射角觀察波長為5000的單色光源的象。試問玻璃片單位長度內能看到的干涉條紋的數目是多少？解：由公式（112），并由的幾何關系可知斜面上每一條紋

10、的寬度所對聯應的空氣尖劈的厚度的變化量為如果認為玻璃片的厚度可以忽略不計的情況下，則上式中.而厚度h所對應的斜面上包含的條紋數為故玻璃片上單位長度的條紋數為條/厘米116 為了測定如圖116所示的一細金屬絲的直徑，可把它夾在兩平晶的一端。測得兩條紋的距離為d，若金屬絲與尖劈頂點的距離為l，所用單色光的波長為，試問金屬絲的直徑是多少？解：設金屬絲的直徑為D，則由圖116的幾何關系可知117 邁克耳孫干涉儀的一塊動境移動0.2730毫米時，能數到移過1000條條紋，試問該光的波長為多少？是什么顏色的光？設。解：根據公式（114）或知，邁克耳孫干涉儀移動每一條條紋相當h的變化為現因，故 N=1000

11、所對應的h為故 根據12題的附表可知，這是綠色的光。118 如圖117所示透鏡表面通常覆蓋一層如一類的透明薄膜，其目的是利用干涉來降低玻璃表面的反射。為了使氦-氖激光器發(fā)出的波長為6328的激光毫不反射地透過，這覆蓋層至少需多厚？解：若光是沿垂直方向（圖中為任意角度）入射到玻璃上的氟化鎂層的。我們的目的是使氟化鎂上下表面反射出來的兩光束對6328是干涉相消。由于上下表面的反射都是由光密介質反射到光疏介質，所以無額外程差。因此光程差為如果光程等于半波長的奇數倍即公式（1-4b），則滿足消反射光條件。因此有膜的厚度可取很多值，但至少應該具有的厚度是119 在兩種情況下，獲得干涉條紋：一種是由兩束光

12、的迭加；另一種是由三束光迭加，每束光的振幅都相等，二相鄰光束之間的位相差都是50，求這兩種情況下迭加的強度與中央亮條紋強度之比。解：設每束光的振幅為A0，對二束光的迭加后該處的光強由公式（16）可知為對多光束干涉而方，由公式（115）可知（參見*P.56） 120 平行平面玻璃板的厚度h0為0.1厘米，折射率為1.5，在為6328的激光中觀察干涉條紋。當溫度升高10時，在垂直方向觀察，發(fā)現有兩個新的干涉條紋向外移動，試計算玻璃的線膨脹系數。解：根據公式（111）可知其中h0和h1分別為溫度過變化前后的玻璃板的厚度?，F 故 而溫度變化時h的變化可用下式表示為線膨脹系數。當時由此得將代入上式，得度

13、-1121 A為平凸透鏡，B為平玻璃板，C為金屬柱，D為框架，A、B之間有空隙，圖中繪出的是接觸的情況。而A固結在框架的邊緣上。溫度變化時，C發(fā)生伸縮，而A、B、D都假設不發(fā)生伸縮。用波長為6328的激光垂直照射。試問：（a）在反射光中觀察時，看到牛頓圖條紋移向中央，這表示金屬柱C的長度在增加還是縮短？（b）若觀察到有10個亮條紋到中央而消失，問C的長度變化是多少毫米？解：（a）在反射光中觀察到牛頓圈的亮條紋的位置由公式（113）得確定，由上式可知干涉級隨著厚度的增大而增大，即隨著薄膜厚度增加，任一指定的級條紋將縮小其半徑，所以各條紋就逐漸收縮而在中心處消失，薄膜h的厚度增加相當于金屬柱C的長

14、度在縮短。 （b）每當光程差改變，或h改變，在視場中不可看到一條條紋移過，所以j每增減一個單位，h就跟著增減。而級數的變化相當條紋的移動，已知條紋移動10分，那么C的長度變化為毫米122 將焦距為50厘米的會聚透鏡中央部分C切去，余下的A、B兩部分仍舊膠合起來，C的寬度為1厘米圖119（a）。在對稱軸線上距透鏡25厘米的P點置一單色點光源，其波長為6328的激光，而同一軸線上透鏡的另一邊50厘米處置一光屏D，屏面垂直于軸線。說明光屏上出現的干涉圖樣是怎樣的？并計算條紋的間隔？解：如圖119（b）中的透鏡是由A、B兩部分膠合而成，這兩部分的主軸都不在該光學系統(tǒng)的中心軸線上。A部分的主軸在系統(tǒng)中心

15、線下方0.5厘米處；B部分的主軸則在中心線上方0.5厘米處，、分別為A、B部分透鏡的焦點。由于單色點光源P經凸透鏡A和B后所成的象是對稱的，故本題僅需分析點光源P經凸透鏡B的成象位置即可。 根據符號法則（參見本書P79）可知厘米厘米厘米由象的橫向放大率可知象的橫向位置為厘米故所成的虛像在透鏡B的主軸下方1厘米處，也就是在光學系統(tǒng)的對稱軸下方0.5厘米處。同理，單色點光源P經透鏡A所成的虛象在光學系統(tǒng)的對稱軸上方0.5厘米處，其光路圖中僅繪出點光源P經凸透鏡B的成象。此時，虛象和就構成了相干光源。它們之間的距離d為1厘米。所以相干光源、發(fā)出的光束在屏上干涉所形成的干涉條紋，其相鄰暗紋的間距可按下

16、式計算得到式中為相干光源到屏的距離，d為相干光源、之間的距離。故厘米光屏上出現的干涉圖樣是一族如圖120所示的雙曲線。如果切去部分C的寬度為1毫米時，相干光源和之間的距離將是1毫米，那么相鄰暗條紋的間隔為0.06328厘米，此時肉眼將易于觀察到條紋。123 在洛埃鏡中，光源S和它的虛象位于鏡后方20厘米的平面內（參見圖121）。鏡長為30厘米，并在它的右邊緣B處入一毛玻璃屏幕。如果從S到鏡的垂直距離為2毫米，試計算從右邊緣到第一明紋的距離。解：由相長條件（1-3b）及公式（1-8）得所以，條紋的間隔為，又因洛埃鏡面反射時，將會產生半波損失，右邊緣處將是暗條紋的位置，而第一明條紋（嚴格說來是0級

17、明條紋）離開鄰近暗條紋的距離是條紋間距的故將米代入上式得米=0.0475毫米124 如圖122（a）所示的是用牛頓圓測平凸透鏡的曲率半徑的示意圖，其原理如下：將一塊曲率半徑很大的平凸透鏡放在平晶上，則在透鏡與平晶之間形成一個自接觸點O向外逐漸加厚的空氣薄層。當鈉光燈發(fā)出的的單色光通過450傾角的的玻璃片（裝在讀數顯微鏡的物鏡下方）照到平凸透鏡上，在這個空氣薄層的上下表面相繼反射的光發(fā)生相干迭加，通過讀數顯微鏡可以看到以接觸點為中心的明暗相間的同心圓圈。其中暗圈的直徑Dj和平凸透鏡的曲率半徑R的關系根據式（113）得（）因此，根據入射光的波長和暗圈的直徑，可測定平凸透鏡的曲率半徑。實驗中暗圈的直

18、徑采用讀數顯微鏡來測定，轉動讀數顯微鏡的手輪，并數到第j個暗圈記下讀數dj，再向中心的另一側移動，也移到第j個暗圈處記下讀數，則第j級暗圈的直徑。實驗分別測定了和，并重復測量三次，其實驗記錄如下表：手輪讀數（厘米）d14d13d12d11d1011.71561.72831.73791.84841.862221.70301.71401.72621.83821.850331.70261.71381.72361.83461.8488平均1.70711.71871.72921.84041.8538手輪讀數（厘米）d-10d-11d-12d-13d-1412.36512.36932.37902.3007

19、2.321422.35282.36362.37622.38682.398332.34622.35822.37082.38292.3925平均2.35472.36372.37532.35682.3707 試根據上述數據計算平凸透鏡的曲率半徑R，并計算平凸透鏡的曲率半徑的平均值及其誤差。 解：根據題目給出的公式得所j和代入上式，將計算的Rj填入下表中。并計算平凸透鏡的曲率半徑的平均值及誤差。（厘米）j 14 13厘米=1.334米厘米米 （厘米）j 12 11厘米=1.476米厘米=1.056米（厘米）10厘米=1.064米由上表得平凸透鏡的曲率半徑的平均值為米此時絕對誤差分別為故平均誤差為米最后

20、得凸透鏡的曲率半徑為米21 點光源S發(fā)出波長為5500的光投射在直徑2為4.2毫米的小孔上，孔距光源6米，屏距孔5米。試問在屏上看到的衍射圖樣中，中央亮點的強度比障礙物不存在時大還是??？解：根據菲涅耳圓孔衍射的合振幅大小取決于波面上露出帶有數目，其數值由（2-3）式確定。將=0.21厘米，R=600厘米，=500厘米，厘米代入上式，得因為為奇數，故較沒有障礙物時的中央亮點強度大。22 單色平面波經過半徑、分別為2.5毫米和5毫米的小孔。極點到觀察點的距離為60厘米，波長為5560。分別計算波面包含多少個菲涅耳半波帶？解：根據菲涅耳圓孔衍射，合振幅大小取決于波面上露出帶的數目k，其數值由（23）

21、式確定。因為入射的是平面波，故，將厘米厘米，厘米，厘米代入上式，得23 當單色平面波照射到一小圓孔上，將其波面分成波帶，求第個帶的半徑。若圓孔中心O到觀察點P的距離為1米，單色光波長為4500，求此時第一半波帶的半徑。解：如圖2-10所示，可知將上式兩邊平方，得略去項，則將厘米，厘米代入上式，得厘米24 平行單色光自左方垂直入射到一個圓形小孔的屏上，設此孔象照相機光圈那樣可以改變大小。試問：（a）小孔半徑應滿足什么關系時，才能使得此小孔右方軸線上距小孔中心4米處的P點分別得到極大值和極小值；（b）P點最亮時，小孔直徑應為多大？設此光的波長為500。解：（a）根據上題結論將厘米，厘米代入，得厘米

22、當為奇數時，P點為極大值；K為偶數時，P點為極小值。（b）P點最亮時，小孔的直徑為厘米25 波長為4500的單色平面波入射到不透明的屏A上，屏上有半徑為0.6毫米的小孔及一與小孔同心的環(huán)形縫，其內外地人半徑各為0.6毫米及0.6毫米。求證在距屏A為80厘米的屏B上出現的衍射圖樣中央亮點的強度比屏A不存在時大16倍。解：如果屏A上只有一個半徑為0.6毫米的小孔，對于衍射圖樣中心亮點，波面露出的半波帶數為如果屏上小孔半徑為0.6毫米，則同理小孔半徑為0.6毫米，則k=2。所以，同心環(huán)形縫的存在，實際上只遮蔽了k=2的那個半波帶，如果k=2的那個帶沒有被遮蔽，則合振動的振幅由（21）式得現在遮蔽了k

23、=2的那個帶，則如果認為則則而當完全移去屏A時，則振幅應當為，所以兩種情況下屏B上的中央亮點強度之比應為26 一個環(huán)形波帶片的第八個半波帶的直徑為5毫米，試求此波帶片的焦距，所用的是波長為6328的激光。解：將（23）式改寫成式中 即波帶片的焦距公式毫米27 用波長為510-5厘米的平行光垂直照射寬度為0.02厘米的狹縫，縫后置一焦距為60厘米的透鏡，在此透鏡的焦平面處置一光屏，求衍射圖樣中心至第二暗條紋的距離。解：由夫瑯和費單縫衍射的第二最小值的位置公式（26）可知厘米28 平面波的波長為4800，垂直照射到寬度為0.4毫米的狹縫上，會聚透鏡的焦距為60厘米。分別計算當縫的兩邊到P點的位相差

24、為時，P點離焦點的距離。 解：如圖212所示，設P點離焦點的距離為y，透鏡的焦距為，縫寬為b，則位相差和程差的關系式（11）為故 當縫的兩邊到P點的位相差為時，P點離焦點的距離為毫米當縫的兩邊到P點的位相差為時，P點離焦點的距離為毫米29 波長為5461的平行光垂直地射在1毫米寬的縫上，若將焦距為100厘米的透鏡置于縫的后面，并使光聚焦到屏上，問衍射圖樣的中央到第一最小值、第一次最大值和第三最小值的距離各是多少？解：根據單縫衍射圖樣的最小值位置的公式（26）得第一、第三最小值的位置分別為毫米毫米 由單縫衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式（27）得 毫米210 白光形成的單縫衍射圖樣中，其

25、中某一波長的第三個最大值與波長6000的光波的第二次最大值重合，求該光波的波長。解：由單縫衍射次最大值的位置公式（2-7）得 由例13附表可查得對應的光為紫色光211 單色平行光束斜入射到單狹縫上，與縫面法線之間的夾角為；縫的寬為b，波長為，透鏡L的焦距為，屏置在L的焦平面上。試問：（a）衍射圖樣中央主最大位置P0出現在O點的上方還是下方？（b）縫面上任取一點，從縫的邊緣B點和M點所發(fā)次波沿著一個指定的衍射方向（即沿著與縫面法線成角的方向）到達屏上對應點時的位相差等于多少？（c）P點的合振幅的解析形式如何？（d）衍射圖樣中央亮條紋兩側第一最小值位置各離中央主最大值P0的角距離是多少？解：（a）

26、衍射圖樣中央最大位置P0出現在如圖213（a）所示的O點的上方，其數值OP0為（b）要計算P點的合振幅，必須考慮到它們的位相關系；這取決于BD面到P點的光程關系，而BD面垂直于入射方向，并作BN垂直于衍射方向。因為BN面上各點沿著衍射方向通過透鏡而到達P點的光程都相等。這樣，只要計算從平面BD到平BN的各條平行直線段之間的光程差就可以了。為沿著衍射角進行的任一路程，令，則。那么從縫的邊緣B點和M點所發(fā)次波沿著與縫面法線成角的方向到達屏上對應點P的位相差為（c）P點的振幅由式（24）及上式得（d）衍射圖樣中央亮條紋兩側第一最小值位置各離中央主最大值P0的角距離各為即 當和較小時，衍射圖樣中央亮紋

27、兩側第一最小值位置各離中央最大值P0的線距離分別近似地為 212 鈉光通過寬為0.2毫米的狹縫后，投射到與縫相距300厘米的照相板上。所得第一最小值和第二最小值間的距離為0.885厘米，問光的波長為多少？若改用波長為40的軟x射線作此實驗，則上述兩個最小值之間的距離為多少？解:如果近似按夫瑯和費單縫衍射處理,則根據公式(2-6)得第二最小值和第一最小值之間的距離近似地為那么 如果改用（厘米）厘米 213 計算下列情況下星球象的衍射圖樣中央亮斑的半徑：（a）直徑為3厘米，焦距為9厘米的照相機的照相底片上；（b）直徑為10厘米，焦距為150厘米的望遠鏡的焦平面上，已知單色光的波長為5000。解：根

28、據夫瑯和費圓孔衍射圖樣的第一最小值位置的公式（210），得得 厘米厘米故中央亮斑的半徑分別為厘米和厘米。214 一束直徑為2毫米的氦-氖激光器發(fā)出6328的激光束投向月球。已知月球和地面的距離為公里，問在月球上得到的光斑的直徑有多大？如果這激光束經擴束器擴展成直徑為2米和5米時，再發(fā)向月球，試問在月球表面上的光斑各為多大？解：根據夫瑯和費圓孔衍射圖樣的第一最小值位置表式（210），得那么愛里斑的直徑為將 毫米，R=1毫米，毫米代入上式，得毫米=290公里如果經擴束成2米時，即擴展103倍，那么光斑縮小103倍即光斑直徑為290米。如果經擴束成5米時，即擴展2500倍，那么光斑的直徑為116米。

29、215 用一個每毫米有500條縫的衍射光柵觀察鈉光譜線（），問平行光（a）垂直入射和（b）以入射角300入射時，最多能觀察到第幾級譜線？解：（a）根據光柵方程（213）得 可見j的最大值與的情況相對應（真正等于1時，光就不能到達屏上）。根據已知條件厘米，并取，則得（此處j只能取整數，分數無實際意義）即能得到最大為第三級的光譜線。 （b）根據平行光傾斜入射時的光柵方程式（214），可得同樣，取，則得即能得到最大為第五級的光譜線216 波長范圍為40007000的平行光垂直地射到光柵常數為0.002毫米的平面透射光柵，為了在透鏡L的焦平面上得到該波長范圍的第一級（j=1）光譜的寬度為50毫米。問透

30、鏡L的焦距至少應該是多少毫米？解：由光柵方程式（213），得波長4000和7000的第一級主最大的衍射角分別為第一級可見光譜衍射角范圍弧度而 式中l(wèi)為可見光譜所占的線寬度。厘米217 一平面透射光柵，每厘米刻有4000條線，計算在第二級光譜中，氫原子的譜線間的角間隔（以度為單位）。已知的波長分別為6560和4100，假設光是正入射。 解：根據題意可知米對于第二級光譜，由光柵方程式（213），得對于氫原子的譜線對于氫原子的譜線故求得 218 一束平行白光垂直入射在每毫米50條的光柵上，問第一級光譜的未端和第二級光譜的始端的衍射角之差是多少？（可見光的波長范圍為76004000）解：由光柵方程得

31、式中 毫米弧度219 用可見光（76004000）照射光柵，一級光譜和二級光譜是否重迭？二級和三級又怎樣？解：根據光柵方程可得 一級和二級不重迭而 二級和三級光譜部分交迭。220 有一衍射光柵用氦-氖激光器發(fā)出6328的激光照射時，中央最大值和第二十級主最大值之間的衍射角為。試求該光柵1厘米內的縫數是多少？解：根據光柵方程式（213）條/厘米221 用波長為6240的單色光照射一光柵，已知該光柵的縫寬b為0.012毫米，不透明部分的寬度為0.029毫米，縫數N為103條。試求：（a）單縫衍射圖樣的中央角寬度；（b）單縫衍射圖樣中央寬度內能看到多少級光譜？（c）譜線半寬度為多少？解：（a）單縫衍

32、射圖樣的中央角寬度由（28）式，得弧度 （b）單縫衍射圖樣包絡下的范圍內共有光譜級數由下列式子確定式中d為光柵的光柵常數。所以看到的級數為3。（c）譜線的半角寬度由式（215），得令 弧度222 波長為5000及5200的光射到光柵常數為0.002厘米的衍射光柵上。在光柵后面用焦距為2米的透鏡把光會聚在屏上。試求這兩波長的光的第一級光譜線間的距離和第三級光譜線間的距離。解：根據光柵方程式（213），得即 在第一級光譜中，j=1，因此在第三級光譜中，j=3，因此設y為譜線與中央條紋間的距離，為光柵與屏間的距離即透鏡的焦距，則由于衍射角很小，所以，因此波長為5000與5200的第一級普線間的距離為

33、同理，可以求出第三級譜線間的距離為223 圖215所示的是用平面光柵測定氦-氖激光的波長的示意圖，圖中x為級主最大離開中央最大值的線距離，為光屏離開光柵的距離，若已知平面光柵的光柵常數毫米。對x和重復三次測量的數據如下表：測量次數123（毫米）28.428.528.6（毫米）449644964526試根據光柵方程計算氦-氖激光的波長，并求出波長測量的誤差。解：根據光柵方程式（213），得可知，對于確定的光柵（即d一定），單色光入射時，對一級光譜而言，則根據已知的光柵常數d，并測出衍射角后，即可算出入射光的波長。在光柵平面到屏的距離足夠大時，可得如近似式故由圖可知所以由已知d，測出和x之后，即可

34、求出波長。123平均值（毫米）28.428.528.628.5(毫米)449644964526450663176339631963258-1469故氦-氖激光的波長為實驗的相對誤差E為224 巖鹽（NaCl）的晶體結構是簡單的立方點陣，其分子量M為58.5，密度為2.17克/厘米3。（a）試證相鄰兩離子間的平均距離為式中 /摩爾為阿伏伽德羅常數；（b）用倫琴射線照射晶面時，第二級光譜的最大值在掠射角為10的方向上出現，試計算倫琴射線的波長。解：（a）如圖示216所示氯化鈉晶體的晶胞模型，黑色點和白色點分別表示鈉離子和氯離子。晶胞的棱邊為d，那么兩離子間的平均距離d0為?，F先計算晶胞的棱邊長d，

35、由于每個晶胞包含四個NaCl分子，那么密度為這里，NaCl分子的質量由下式給出所以晶胞的棱邊由上面兩式聯立解得那么相鄰兩離子間的平均距離d0為 (b)根據布喇格方程 在j=2時31 試證雙鏡兩次反射定理:光線被兩個鏡面作了兩次反射時,反射線和入射線的交角,等于兩個鏡面交角的兩倍。解：由幾何學外角公式 而故 32 兩面鏡子E和E1，它們夾角是15°，假如一平行光束沿鏡面E的垂直方向投射到鏡面上去，試問光束可以在兩個鏡面之間反射幾次？解：在第五次反射時的反射角為也就是說反射光束和鏡面E平行，因此不可能再入射到E上去，即不會發(fā)生反射現象。33 長米的平面鏡豎直掛在墻上，鏡的上邊離地米。一人

36、立于鏡面，其眼離地米，離墻1米，求地面上能使此人在鏡內所見到的離墻最近及最遠之點，并作光路圖。解：，設此人在鏡內所見到的離墻最近及最遠點分別為和，由題意可知米 a=1米米 米由EFGACG及EFDBCD得及解得 米 米34 是一塊平玻璃板的兩個平面，n是空氣的折射率，是玻璃的折射率。和是第一個界面處的入射角和折射角，d是玻璃的厚度，是折射線和入射線之間的位移距離（側向位移），是折射線和入射線的延長線被法線所截的距離，求和。解：從幾何關系可知又 根據公式（3-1），即得當角和都很小時，可近似地認為故 35 水槽中盛水，深20厘米，槽底置一點光源。水的折射率為1.33，水面上浮一不透光的紙片，使人

37、從水面上無論哪一角度去看時都看不到光，計算這紙片最小面積應該是多少，形狀應該怎樣？解：如圖333所示，點光源發(fā)出的光在紙片邊緣發(fā)生全反射，故人看不見光。在公式（31）中，。（臨界角），故 紙面應是圓形，其直徑為厘米其面積為厘米236 一層2厘米厚的乙醇（）浮在4厘米深的水（）上，沿著正入射方向向下看時，水底距乙醇層表面的象似深度。解：設水和乙醇的實際厚度分別為和；水、乙醇的折射率分別為空氣的折射率為n .從乙醇中看水底的象似深度由公式（32）得為從空氣中看乙醇和水的總的象似深度為故 = =0.0448米=4.48厘米37 玻璃棱鏡的折射棱角A為60°，對某一波長的光其折射率n為1.6

38、。試計算（a）最小偏向角；（b）此時的入射角；（c）能使光線掠過棱鏡的側面時的最小入射角。解：（a）將A=60°，n=1.6代入公式（31）和（34），得得最小偏向角（b）將最小偏向角及A代入公式（34）得得（c）如圖335所示，令時所對應的入射角為則根據公式（31）而 由公式（31）得38 如圖336（a）所示的是一種恒偏向棱鏡，它相當于兩個30°60°90°棱鏡和一個45°45°90°棱鏡，其折射率為1.56。一條光線從a點處進入棱鏡，然后在棱鏡中沿光路ab行進，ab平行于cd線。（a）試繪出這光線的光路圖，從棱鏡的左外

39、方開始，經過棱鏡，然后折射到空氣中。（b）試證明在空氣中原來入射的方向和最后出射的方向間的夾角為。解：（a）其光路圖如圖336（b）所示（b）由折射定律公式（31），得由圖336（b）可知39 一物體在曲率半徑為12厘米的凹面鏡的頂點左方4厘米處，求象的位置及橫幾放大率，并作出光路圖。解：高斯法：由公式（37）得厘米，s=4厘米代入公式（38）得求厘米。由橫向放大率公式（314）（由球面反射得牛頓法：x=2厘米，厘米，代入式，得厘米這表示象點在象焦點右方18厘米處，即在球面鏡頂點右方12厘米處，為一放大的正立的虛象。橫向放大率公式（315）310 一個高為5厘米的物體放在球面鏡前10厘米處，造

40、成1厘米高的虛象。試求：（a）此鏡的曲率半徑；（b）此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：（a）由公式（314）得厘米代入高斯式（38）得厘米（b）由r為正可知該面鏡為凸的。311 某觀察者通過一塊薄玻璃片去看在凸面鏡中他自己的象。他移動著玻璃片，使得在玻璃片中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面鏡的焦距為10厘米，眼睛距凸面鏡頂點的距離為40厘米，問玻璃片距觀察者眼睛的距離為多少？解：由物象公式（38）得由于經凸面鏡所成的虛象和玻璃反射所成的虛象重合，故眼睛距玻璃片AB的距離為厘米312 兩個凹面反射鏡M1和M2的曲率半徑依次為0.5米和2米，兩鏡中心O1和O2相距2米，發(fā)光點在連線上，米

41、，計算下列情況中象的位置：（a）由M1、M2反射一次;(b)反射后,再反射一次.(c) 依次經由再由M1反射一次。解：（a）由新笛卡兒符號法則，可知將米和米代入高斯公式（38）得（b）將米和米代入高斯公式（38）得（c）將米代入高斯公式（38）得各次成象位置的示意圖如圖339所示。313 一直徑為4厘米的長玻璃棒，折射率為1.5，其一端磨成曲率半徑 2厘米的半球形。長為0.1厘米的物垂直置于棒軸上離棒的凸面頂點8厘米處。求象的位置及大小，并作光路圖。解：已知厘米，s=-8厘米。代入物方焦距公式（310）厘米象方焦距公式（311）厘米根據公式（35）得 厘米因是正的，故所成的象是實象，它在棒內離

42、頂點12厘米處。橫向放大率公式（314）由此得象長厘米314 欲使由無窮遠發(fā)出的近軸光線通過透明球體而成象在右半球面的頂點處，問這透明球體的折射率應為多少？解：設球體的直徑為D，將代入球面折射物象公式（39）得 故 315 直徑為1米的球形魚缸的中心處有一條小魚，水的折射率為1.33。若玻璃缸壁的影響忽略不計，求缸外觀察者所到的小魚的表觀位置和橫向放大率。解：將厘米，厘米，代入球面折射的物象公式（39）得厘米（魚的表現位置仍在原處）由橫向放大率公式（314）得 316 玻璃棒一端成半球形，其曲率半徑為2厘米，將它水平地浸入折射率為1.33的水中，沿著棒的軸線離球面原點8厘米處的水中有一物體，利

43、用計算和和圖法求象的位置及橫向放大率，并作光路圖。解：已知厘米。根據球面折射的焦距公式（310）和（311）得將代入高斯公式（35）得橫向放大率公式（314）317 一物在焦距為10厘米的會聚透鏡左方6厘米處，用計算和作圖法求象的位置。解 高斯法:已知 s=-6厘米,得 牛頓法：已知f=-10厘米，厘米，運用牛頓公式（36），得由光路圖，成虛象在透鏡左方15厘米處，即在象方焦點左方25厘米處。318 有一發(fā)光點在焦距為20厘米的發(fā)散透鏡的象方焦點上，用牛頓公式和高斯公式計算并作圖求象的位置。解：高斯法：已知厘米代入公式（313），故 厘米牛頓法：已知厘米，厘米代入以式（36）故 象點在凹透鏡左

44、方10厘米處，即在的右方10厘米處。圖343中，是物點，是象點。319 薄透鏡的焦距厘米，是用折射率為1.5的玻璃制成的，求透鏡放在水中時的焦距，水的折射主為。解：將折射率厘米代入透鏡在空氣中的焦距公式（312）得將上式代入透鏡在水中的焦距公式（318）得 320 借助于薄會聚透鏡在與其距離為10厘米處得到物體的實象，透鏡的折射率，然后把物體和透鏡浸在水中，但不改變它們之間的距離，象成在距離透鏡右方60厘米處，若水的折射率，分別求透鏡的焦距。 解：已經透鏡在空氣中的焦距由（312）和（313）式確定。透鏡在水中的焦距（318）由下式確定 由上面兩式得聯立方程 解聯立方程得代入焦距公式得即 32

45、1 一凸透鏡在空氣中時焦距為40厘米，在水中時焦距為136.8厘米，問此透鏡的折射率為多少？（水的折射率為1.33）。若將此透鏡置于CS2中（CS2的折射率為1.62），其焦距又為多少？解：透鏡在空氣中（312）和水中（318）的焦距分別為式中厘米代入上面兩式得當透鏡置于CS2時的焦距將代入上式得322 有兩塊玻璃薄透鏡的兩面均為凸球面及凹球面，曲率半徑均為10厘米。一物占在主軸上距鏡20厘米處，若物和鏡均浸在水中，分別作圖和計算求象點的位置。設玻璃的折射率為1.50，水的折射率為1.33。解：若薄透鏡的兩面均為凸面時，將厘米代入薄透鏡的焦距公式（318）和物象公式（313）得 厘米厘米若薄透

46、鏡的兩面均為凹面時，將，厘米，代入薄透鏡的焦距公式（318）和物象公式（313）。得 323 會聚透鏡和發(fā)散透鏡的焦距都是10厘米，（a）與主軸成30°的一束平行入射到這個透鏡上，計算象點在何處？（b）在這兩個透鏡左方的焦平面上離主軸1厘米處各置一發(fā)光點，計算成象在何處？作出光路圖。解：（a）將厘米代入高斯公式（313）得 厘米象點在焦平面上，離主軸距離為厘米即坐標為（10，±5.8），將及厘米代入高斯公式，得發(fā)散透鏡的情況如下即坐標為（-10，±5.8），其光路圖分別如圖345（a）和(b)所示。圖中給出的是向下傾斜的光束情況。（b）將厘米及厘米代入高斯公式（3

47、13）得且有一定的傾角，這就是會聚透鏡的情況。將s=-10厘米，厘米代入高斯公式（313）得 厘米厘米坐標為（-5，±0.5） 324 極薄的表玻璃兩片，曲率半徑分別為20及25厘米，沿其邊緣膠合起來，內含空氣而成凸透鏡，將它置于水中，求其焦距為多少？得故浸入水中的空氣雙凸透鏡是發(fā)散透鏡。225 雙凸薄透鏡折射率為1.5，的一面角鍍銀，物點P在透鏡前主軸上20厘米處，求最后成象的位置并作出光路圖。解：經第一界面折射成象：將厘米代入物象公式（39）得 即折射光束為平行光束。 經第二界面（鍍銀面）反射成象：厘米再經第一界面折射成象：將厘米代入物象公式（39）得 厘米最后成象于透鏡第一界面

48、左方4厘米處。326 已知放在空氣中的玻璃半球，其曲率半徑為r,折射率為1.50，平面一邊鍍銀。如圖348所示，一物體放在曲面頂點的前面2R處，其高為h。試求：（a）由曲面所成的第一個象的位置；(b)這一光具組所成的最后的象在何處？解：（a）將（式中R>0）代入球面折射公式（39）得 即入射光束經球面折射后，成為平行光束。因為R>0，而圖中的表示的是絕對值，故圖348以+2R表示物距的絕對值。（b）平行光束經平面反射后，仍是平行光束。鏡面反射后的光線，再經球面折射，其成象位置由球面折射公式（39）確定 此時將代入上式得 即經三次成象，最后在球面頂點2R處，得到倒立的實象。327 凸

49、透鏡焦距為10厘米，凹透鏡焦距為4厘米，兩個透鏡相距12厘米。已知物在凸透鏡左方20厘米處，計算象的位置并作光路圖。 解：利用高斯公式求兩次象第一次PQ經凸透鏡成象：已知厘米，厘米代入得厘米再經凹透鏡成象： 已知厘米（虛物），厘米，代入物象公式（313）得 328 實物與光屏間的距離為l，在中間某個位置放一個凸透鏡，可將實物的象清晰地投于屏上。將透鏡移過距離d之后，屏上又出現一個清晴的象。（a）試計算兩次象的大小之比：（b）證明透鏡的焦距為；（c）證明l不能小于透鏡焦距的四倍。解：（a）設兩次成象的象高分別為，物距和象距分別為和。由橫向放大率公式（314）得根據光路可逆原理，可知將上面兩式代入

50、前兩式得(b)將的數值代入高斯公式（313）得（c）由上式得329一棱鏡的頂角（圖351中的A角）為60°，它是由硅酸鹽火石玻璃制成，它的折射率由圖352中最上面一根曲線給出。以下的幾根曲線依次為硼火石玻璃、石英、硅冕牌玻璃、熔凝石英、螢石的折射率。如果對于4000A和7000A波長的光的入射方向是這樣的，使得每一光線都以最小偏向角通過棱鏡，試求兩出射線之間的夾角。解：查得硅酸鹽火石玻璃的折射率，由（34）及（31）兩條出射線夾角330 所示的是顯微鏡中牛頓物鏡的原理圖。在一凹面反射鏡的中心開一小孔，凹面鏡的曲率半徑為8厘米，在鏡心右側2厘米處一塊小平面鏡。若凹面鏡左方距小孔1厘米處

51、有一小物AB，長0.1厘米，試求AB經此光學系統(tǒng)后成象的位置和大小，并說明象的性質。解：AB對平面鏡所成的象在平面鏡右方3厘米處，它離凹面鏡面頂點的距離為3+2=5厘米，此即為相對于凹面鏡的物距。又已知凹面鏡的曲率半徑為8厘米，故其焦距為4厘米。將上述數據代入凹面鏡的高斯公式（38）得所以經凹面鏡成象位于凹面鏡的右方20厘米處。至于經平面鏡第一次成象的大小，為正立的長為0.1厘米的虛象，再經凹面鏡所成的象的大小可由橫向放大率的計算得到因對于凹面鏡而言，其物距s=5厘米，大于焦距，但小于曲率半徑，故最后成的象是放大倒立的實象。331 凸透鏡的主軸在水平位置，它和兩個平面鏡MN和PQ放置，MN垂直

52、于PQ、M、Q兩點均在主軸上。一個點光源S在凸透鏡光心的正上方，SO等于凸透鏡的焦距,又求S最后通過凸透鏡所成的象的位置。解：根據平面鏡成象的鏡對稱性，光源S在相互垂直的平面鏡MN和PQ中能成三個虛象。故 又故 點光源S發(fā)出的光束經平面鏡PQ反射又被平面鏡MN反射后再通過凸透鏡成的象S4的位置由（313）來確定。即象S4的位置在透鏡左方1.5處，是個實象。.332 已知置于空氣中的玻璃半球，其曲率半徑為r，折射率為1.5，平面一邊鍍銀。一物體為PQ，放在曲面頂點的前面3r處。試求：(a)由球面O所造成第一個象的位置；(b)經反射鏡所造成的位置；(c)經整個光具組成象的位置。解：（a）就球面O折

53、射而言，根據符號法則可知：將代入球面折射焦距公式（3-10）和（311）得（式中）由球面折射的物象公式（39）得故經球面O折射后成一實象于球面頂點右方9r處。注意，而圖中表示的是絕對值，故物距的絕對值為+3r。（b）就平面鏡而言，根據符號法則可知實象是對球面折射而言的，這象對平面鏡來講是會聚光束的頂點，因此它是虛物，而且虛物處于平面鏡的右方，故物距為正。由平面鏡的物象公式得由于是負的，故經平面鏡成一實象于左方8r處。（c）又成為球面O的物，因為是會聚光束的頂點，所以對O來講是虛的，且位于球面O的左方，所以物距S3是負的，即物方焦距和象方焦距分別為此時，入射光束所在的折射率為1.5，折射光束所在的折射率為1，將n和分別用1.5和1代入焦距公式可得物方焦距和象方焦距的數值。根據球面折射的物象公式（39）得由于是負的,所以經光上組最后成一實象于球面頂點左為1.4r處。圖中經O點垂直于主軸的直線代表折射球面的主平面。這樣便于作圖。333 在焦距為30厘米的凸透鏡O1前15厘米處放一物點在主軸上，在透鏡后d=15厘米處放一平面鏡O2垂直于主軸，試求象的位置。解：設物為P，就透鏡O1而言，由符號法則可知厘米（象方焦點在透鏡的右側）厘米（物在透鏡的左側）故由薄透鏡成象公式（313）得得 厘米 因為為負