【高中數(shù)學(xué)】函數(shù)的性質(zhì)（二）ppt課件

1、三三. .函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性如果函數(shù)如果函數(shù)y yf f( (x x) )對于定義域內(nèi)任意的對于定義域內(nèi)任意的x x，存，存在一個不等于在一個不等于0 0的常數(shù)的常數(shù)T T，使得，使得f f( (x xT T) )f(x)f(x)恒成立，則稱函數(shù)恒成立，則稱函數(shù)f(x)f(x)是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，T T是它是它的一個周期的一個周期. .一般情況下，如果一般情況下，如果T T是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的周期，則的周期，則kT(kNkT(kN) )也是也是f(xf(x) )的周期的周期. .天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：

2、175569632【例題講解】天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696322ax xxf 11log)(2111 x011log2 xx 11x 11log211log)2(11log)2(22 xxxf)1(log11log)(22 xxxf例例3.3.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,x,都有都有f(xf(xm)m)f(x),f(x),求證求證:2m:2m是是f(x)f(x)的一個周期的一個周期. .證明：因為證明：因為f(xf(xm)m)f(x)f(x)所以，所以，f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm f(xf

3、(xm)m) f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .例例4.4.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,x,都有都有f(xf(xm)m)f(xf(xm),m),求證求證:2m:2m是是f(x)f(x)的一個周的一個周期期. . 證明：因為證明：因為f(xf(xm)m)f(xf(xm)m)令令x xm mt t，則，則x xm mt t2m2m于是于是f(tf(t2m)2m)f(t)f(t)對于對于tRtR恒成立，恒成立，所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .例例5.5.已知函數(shù)已知函

4、數(shù)f(x)f(x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,x,都有都有f(xf(xm)m)x(f1)x(f1, ,求證求證:2m:2m是是f(x)f(x)的一個周期的一個周期. .證明：由已知證明：由已知f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm 1( )11()1( )1( )1()11( )f xf xmf xf xf xmf x f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以2m2m為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .例例6.6.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,x,都有都有f(xf(xm)m) , ,求證求證:4m:4m是是f(x)f(x)的一個周期的一個周期. .)x

5、(f1)x(f11( )11()11( )1( )1()( )11( )f xf xmf xf xf xmf xf x )m2x(f1證明：由已知證明：由已知f(xf(x2m)2m)f(xf(xm)m)mm 于是于是f(xf(x4m) 4m) f(x)f(x)所以所以f(x)f(x)是以是以4m4m為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). .例例7.7.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,x,都有都有f(af(ax)x)f(af(ax)x)且且f(bf(bx)x)f(bf(bx),x),求證求證:2|a:2|ab|b|是是f(x)f(x)的一個周期的一個周期.(ab).(ab)證

6、明：不妨設(shè)證明：不妨設(shè)a ab b于是于是f(xf(x2(a2(ab)b)f(af(a(x(xa a2b)2b) f(af(a(x(xa a2b)2b)f(2bf(2bx)x) f(bf(b(x(xb)b)f(bf(b(x(xb) b) f(x)f(x) 2(a 2(ab)b)是是f(x)f(x)的一個周期的一個周期當(dāng)當(dāng)a ab b時同理可得時同理可得所以，所以，2|a2|ab|b|是是f(x)f(x)的周期的周期例例8.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)的定義域為的定義域為N，且對任意正，且對任意正整數(shù)整數(shù)x，都有，都有f(x)f(x1)f(x1)若若f(0)2004，求，求f(2004)解：因為解：

7、因為f(x)f(x1)f(x1)所以所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得兩式相加得0f(x1)f(x2)即：即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以是以6為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)20046334 f(2004)f(0)2004 )Z(,34 14),24()Z(14 14,4)(mmmxmxmmmxmxxf，例例10.10.已知對于任意已知對于任意a a，bRbR，有，有f(af(ab)b)f(af(ab)b)2f(a)f(b)2f(a)f(b)，且，且f(x)0f(x)0求證：求證：f(x)f(x)是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)若存在正整數(shù)m m使得使得f(m)

8、f(m)0 0，求滿足，求滿足f(xf(xT)T)f(x)f(x)的一個的一個T T值值(T0) (T0) 證明：令證明：令a ab b0 0得，得，f(0)f(0)1(f(0)1(f(0)0 0舍去舍去) )又令又令a a0 0，得，得f(b)f(b)f(f(b)b)，即，即f(x)f(x)f(f(x)x)所以，所以，f(x)f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)令令a ax xm m，b bm m得得f(xf(x2m)2m)f(x)f(x)2f(x2f(xm)f(m)m)f(m)0 0所以所以f(xf(x2m)2m)f(x)f(x)于是于是f(xf(x4m)4m)f(xf(x2m)2m)2m2m= =f

9、(xf(x2m) 2m) f(x) f(x) 即即T T4m(4m(周期函數(shù)周期函數(shù)) )例例11.11.數(shù)列數(shù)列aan n 中，中，a a1 1a a，a a2 2b b，且且a an n2 2a an n1 1a an n(nN(nN) ) 求求a a100100； 求求S S100100. . 解：由已知解：由已知a a1 1a a，a a2 2b b，所以所以a a3 3b ba a，a a4 4a a，a a5 5b b，a a6 6a ab b，a a7 7a a，a a8 8b b，由此可知，由此可知，aan n 是以是以6 6為周期的周期數(shù)列，為周期的周期數(shù)列，于是于是a a1

10、00100a a6 616164 4a a4 4a a又注意到又注意到a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 60 0 S S100100a a1 1a a2 2a a3 3a a9696a a9797a a9898a a9999a a100100 0 0a a9797a a9898a a9999a a100100 a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4 a ab b(b(ba)a)( (a)a)例例12.12.對每一個實數(shù)對對每一個實數(shù)對x,y,x,y,函數(shù)函數(shù)f(t)f(t)滿足滿足f(xf(xy)y)f(x)f(x)f(y)f(y)xyxy1,1,

11、若若f(f(2)=2)=2,2,試求滿足試求滿足f(a)f(a)a a的所有整數(shù)的所有整數(shù)a.a.解：令解：令x xy y0 0，得，得f(0)f(0)1 1再令再令x xy y1 1，得，得f(f(2)2)2f(2f(1)1)2 2，又，又f(f(2)2)2 2所以所以f(f(1)1)2 2又令又令x x1 1，y y1 1，可得，可得f f1 1令令x xy y1 1得得f f2f2f1 11 14 4令令y y1 1，得，得f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2即即f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2 當(dāng)當(dāng)x x取任意正整數(shù)時，取任意正整數(shù)時，f(xf(x1)1)f

12、(x)f(x)0 0又又f f1 10 0所以所以f(x)f(x)0 0于是于是f(xf(x1)1)f(x)f(x)x x2 2x x1 1即對任意大于即對任意大于1 1的正整數(shù)的正整數(shù)t t，f(t)f(t)t t在中，令在中，令x x3 3，得，得f(f(3)3)1 1，進一步可得進一步可得f(f(4)4)1 1注意到注意到f(x)f(x)f(xf(x1)1)(x(x2)2)所以當(dāng)所以當(dāng)xx4 4時，時，f(x)f(x)f(xf(x1)1)0 0即即f(x)f(x)f(xf(x1)1)f(xf(x2)2)f(f(4)4)1 1所以所以xx4 4時，時，f(x)f(x)x x綜上所述，滿足綜

13、上所述，滿足f(a)f(a)a a的整數(shù)只有的整數(shù)只有a a1 1或或a a2 2例例13.13.設(shè)設(shè)f f( (x x) )是一個從實數(shù)集是一個從實數(shù)集R R到到R R的一個映射的一個映射, ,對于對于任意的實數(shù)任意的實數(shù)x x, ,都有都有| |f f( (x x)|1,)|1,并且并且 f(x)+f(x)+)71x(f)61x(f)4213x(f求證求證: :f f( (x x) )是周期函數(shù)是周期函數(shù). . 1376()()()424242f xf xf x)426x(f)4213x(f)x(f)427x(f證明：由已知證明：由已知f(x)+f(x)+所以所以19124942()().

14、()()42424242f xf xf xf x42497()( )()() 424242f xf xf xf x即（1）714943()()()()42424242f xf xf xf x同理可得)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f4249712 ()( )()()424242f xf xf xf x由（）（ ）可得431442()()()()424242428442.()()4242f xf xf xf xf xf x (2)(2)于是于是f(xf(x1)1)f(x)f(x)f(xf(x2)2)f(xf(x1)1)，記這個差為記這個差為d d同理同理f(xf(x3)

15、3)f(xf(x2)2)f(xf(x2)2)f(xf(x1)1)d d f(x f(xn n1)1)f(xf(xn)n)f(xf(xn)n)f(xf(xn n1)1) f(xf(x1)1)f(x)f(x)d d即是說數(shù)列即是說數(shù)列f(xf(xn)n)是一個以是一個以f(x)f(x)為首項，為首項，d d為公為公差的等差數(shù)列差的等差數(shù)列因此因此f(xf(xn)n)f(x)f(x)ndndf(x)f(x)nf(xnf(x1)1)f(x)f(x)對所有的自然數(shù)對所有的自然數(shù)n n成立，而對于成立，而對于xRxR，|f(x)|1|f(x)|1，即即f(x)f(x)有界，故只有有界，故只有f(xf(x1

16、)1)f(x)f(x)0 0即即f(xf(x1)1)f(x) xRf(x) xR所以所以f(x)f(x)是周期為是周期為1 1的周期函數(shù)的周期函數(shù). .1.數(shù)列數(shù)列an中，中，a1a，a2b，且，且an2an1an(nN)求求a100；求；求S100.解：由已知解：由已知a1a，a2b，所以，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，由此可知，an是以是以6為周期的周期數(shù)列，為周期的周期數(shù)列，于是于是a100a6164a4a又注意到又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 a

17、b(ba)(a) 2ba2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )的定義域為的定義域為N N，且對任意正整數(shù)，且對任意正整數(shù)x x，都有都有f f( (x x) )f f( (x x1)1)f f( (x x1)1)若若f f(0)(0)20042004，求，求f f(2004)(2004)解：因為解：因為f f( (x x) )f f( (x x1)1)f f( (x x1)1)所以所以f f( (x x1)1)f f( (x x) )f f( (x x2)2)兩式相加得兩式相加得0 0f f( (x x1)1)f(xf(x2)2)即：即：f f( (x x3)3)f f( (x x)

18、 ) f f( (x x6)6)f f( (x x) )練習(xí).1.數(shù)列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100. 2.已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1) ,f(0)2004，求f(2004) 3.函數(shù)f(x) 是定義域為R且以2為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x0,2時，f(x)=|x-1|；當(dāng)x2k,2k+2( kZ)時，求f(x)的解析式，并證明f(x)是偶函數(shù)。xxxf 121)(251)5()5( fg132)(xxxf232527練習(xí)練習(xí)1已知函數(shù)已知函數(shù) ，函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與的圖像與y=f -1(x+1)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則對稱，則g(11)的值為：的值為： A B1 C D 2已知定義在已知定義在R上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)的反函數(shù)為的反函數(shù)為f -1(x)，且函數(shù)且函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)為的反函數(shù)為y= f -1(x+1)。若。若f(1)=3999