懸臂梁固有頻率的計(jì)算

1、懸臂梁固有頻率的計(jì)算試求在X = 0處固定、X =1處自由的等截面懸臂梁振動的固有頻率（求解前五階）解：法一：歐拉-伯努利梁理論懸臂梁的運(yùn)動微分方程為：EI 叫刀+ Jwt）二o&a懸臂梁的邊界條件為:dwcww(x=0)=0(1),£(x=0)=0(2)，x2w= 0(3), (El2- X ±:X:' X該偏微分方程的自由振動解為w（x, t）二W（x）T（t），將此解帶入懸臂梁的運(yùn)動微分方程可得到W(x)二 G cos : x C2sin : x C3cosh : x C4 sinh : x，T(t)二 Acos wt Bsin wt ；其中：4:：A

2、 2EI將邊界條件（1）、（ 2）帶入上式可得 C1+C3=0，C2 + C4=0 ；進(jìn)一步整理可得W（x） =G （cos Pxcosh 卩 x）+C2（s in Pxsi nh ®x）；再將邊界條件（3 ）、（ 4）帶入可得-C1 （cos : l cosh ：丨）- C2（sin :丨 sinh ：丨）=0 ； -Cd - sin 11 sinh ：丨）- C2（cos : l cosh ：丨）=0 要求Ci和 C2有非零解，貝尼們的系數(shù)行列式必為零，即-(cosBl+coshBl)-(sin Bl+sinhBl)-(-sin Pl+sinhPl)-(cosPl+coshPl)

3、所以得到頻率方程為.COS(:nl)COSh(:nl) =-1 .該方程的根nl表示振動系統(tǒng)的固有頻率:Wn =( :nl)2(-TA7)2,n=12滿足上式中的各'nl（n二1,2,）的值在書P443表8.4中給出,2#現(xiàn)羅列如下：1丨=1.875104,討=4.694091,'丨=7.854757, 4 10.995541，冷丨=14.1372 ；若相對于哨C2值表示為C2n，根據(jù)式中的C1"，C2可以表示為C2" = 6（冊刖）；因此 Wi(x) =C1n |(cosBn xcoshBn x) -(sin Bn x-sinh Bn x) n = 1,2

4、,.由此可得sin Enl+sinhE到懸臂梁的前五階固有頻率，分別將n=1,2,3,4,5帶入可得：1 1 12 EI 22 El 專2 El 專“ =1.875104 (4)2,2=4.694091 (4 )2,3 =7.854757 (4 )2，WW，AlZ。9955412(號)2，“14.13722(冷尸；法二、鐵摩辛柯梁梁理論1.懸臂梁的自由振動微分方程:-4.x-t2EI迤人敘翌I(lǐng) (1cwp2 I cw一：x2；t2kGjt4 =03#設(shè)方程的通解為：n兀xw(x,t)=Csincoswnt ；易知邊界條件(1)滿足此通解，將通解帶入上面的微分方程可邊界條件:w(x =0) =

5、(x =0) =0( 1)雲(yún)衛(wèi)Cxx 土ex x1=0(2)；otn2兀2/IT n2二 2§ n=1,2,3,4,5時可分別wn _ l2 -：A l2 ；當(dāng)求得固有頻率為：得到頻率方程為：4 “42n2二2r2 n2二2r2 E: 2n4二42 I2 EIwn(kGwn(1l2l2kQl4=0 ；其中，'；若轉(zhuǎn)動慣量與剪切變形的影響均忽略，上式的頻率方程簡化為#多自由度系統(tǒng)頻率的計(jì)算方法等效質(zhì)量：連續(xù)系統(tǒng)懸臂梁簡化為1.鄧克萊法5個相等的集中質(zhì)量rni = m2#鄧克萊公式為:#.3333. 31»亠l8191641l2 ft aiim*a22I | *比5 嗆

6、 ，其中 aii =, a22=, a33=, a44=, 855=,1375EI375EI125EI375EI3EImei 1m =m2 =m3 = m4 = m5 = m ；將其代入上式可求得系統(tǒng)的基頻為：w. L 2.887( )25"I ，此基頻比用伯努2 EI ；d =1.875104 ()2利-歐拉梁求得的一階固有頻率?AI偏小，誤差為17.42%，與鄧克萊法的推導(dǎo)預(yù)期相符。2瑞利法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為-13l 34l311 l37l 3375EI150 EI375 EI750 EI375 EIl38l 314 l 34l326 l3150EI375

7、EI375 EI75 EI375 EI4314 l39l327 l318 l3K =丄375EI375 EI125 EI250 EI125 EI11l34l 327 l 364 l388 l3750EI75 EI250 EI375 EI375 EI7326 l318 l 388 l3l3-375EI375 EI125 EI375 EI3EI-51779_8627932221_270004500225854181181_86279111721丄2447194500-J5750586193181181EI32221丄2447156221_2616314221產(chǎn)5493322244270009450

8、02616338279-8250018118122311814500-J575014221-825006029-1811814418 130取靜變形曲線為假設(shè)陣型，設(shè)A =(40141279 436600)T 有A MA=649418mAT KA-1122000EIaTm 餉Al328401503m275EI所以R(A)ATKA = 8.64EI at MA =汀4,R (A)二atmaatm ma8.57EIA，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻0001000m000m000m 4#2H =1.875104 (偏大，誤差為15.23%，與瑞利法的推導(dǎo)預(yù)期相符。率3里茨法系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和

9、剛度矩陣由上面給岀，設(shè)陣型為=(1 2 3 4 5)T，匸2=(13 5 7 9)T ；#則可求岀M*,K*分別為* T55m95mM =屮丁"1 屮=|95m 165m78375EIK tK 二181I357375EI57375EI181l378375EIL 181l3181I3*2將M , K代入(K w M2 .-w M=0 ；可以求得:=59.08m：3，以及A；3.53*（i）-0.578,A*(2)所以系統(tǒng)前兩階主陣型的近似為一 1.00001.00000.63031.59150.2607,A二屮 A*=0.712.1831-0.10902.7746-0.4787 _i；

10、3.3662一A(1)“ A*=0.422-0.294雅克比法-l3ml3m-.34l m11l3m7l3mT375EI150EI375EI750EI375EIl3m8l3m14l3m4l3m26l3mI50EI375EI375EI75EI375EIn 4l3m14l3m9l3m27l3m18l3m375EI375EI125EI250EI125EI11l3m4l3m27l3m64l3m88l3m750EI75EI250EI375EI375EI7l3m26l3m18l3m88l3ml3m375EI375EI125EI375EI3EI一動力矩陣為由雅可比法求解其特征值和特征向量為：其固有頻率-000 1018.700）啟0052.70訃二0陣型為Ym3001000000 一158.112.930I0I0I0-0