（精選）高等代數(shù)(北大版)第3章習(xí)題參考答案

1、第三章 線性方程組1 用消元法解下列線性方程組： 解 1）對(duì)方程組得增廣矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以方程組有無(wú)窮多解，其同解方程組為，解得其中為任意常數(shù)。2）對(duì)方程組德增廣矩陣作行初等變換，有 因?yàn)椋栽匠虩o(wú)解。 3）對(duì)方程組德增廣矩陣作行初等變換，有，因?yàn)?，所以方程組有惟一解，且其解為。4）對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換，有，即原方程組德同解方程組為，由此可解得，其中是任意常數(shù)。5）對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組無(wú)解。6）對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換，有 ，即原方程組的同解方程組為，解之得，其中是任意常數(shù)。 2.把向量表成的線性組合.。解 1）設(shè)有線性關(guān)系代入所

2、給向量，可得線性方程組，解之，得 ，因此。 2）同理可得。 3.證明：如果向量組線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則向量可由線性表出.證 由題設(shè)，可以找到不全為零的數(shù)使，顯然.事實(shí)上，若，而不全為零，使成立，這與線性無(wú)關(guān)的假設(shè)矛盾，即證.故，即向量可由線性表出。4.，證明：如果，那么線性無(wú)關(guān)。證 設(shè)有線性關(guān)系，代入分量，可得方程組，由于，故齊次線性方程組只有零解，從而線性無(wú)關(guān)。5.設(shè)是互不相同的數(shù)，.證明：是線性無(wú)關(guān)的。證 設(shè)有線性關(guān)系，則， 1）當(dāng)時(shí)，方程組中的未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，且系數(shù)行列式為一個(gè)范德蒙行列式，即，所以方程組有惟一的零解，這就是說(shuō)線性無(wú)關(guān)。2）當(dāng)時(shí)，令則由上面1)的證明可知是線性

3、無(wú)關(guān)的。而是延長(zhǎng)的向量，所以也線性無(wú)關(guān)。6.設(shè)線性無(wú)關(guān)，證明也線性無(wú)關(guān)。證 設(shè)由線性關(guān)系，則。再由題設(shè)知線性無(wú)關(guān)，所以，解得，所以線性無(wú)關(guān)。7.已知的秩為，證明：中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.證 設(shè)是中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組，如果能夠證明任意一個(gè)向量都可由線性表出就可以了。事實(shí)上，向量組是線性相關(guān)的，否則原向量組的秩大于，矛盾.這說(shuō)明可由線性表出，再由的任意性，即證。8.設(shè)的秩為，是中的個(gè)向量，使得中每個(gè)向量都可被它們線性表出，證明：是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。證 由題設(shè)知與等價(jià)，所以的秩與的秩相等，且等于.又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，故而是的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。9.證明：一個(gè)向量組的任何

4、一個(gè)線性無(wú)關(guān)組都可以擴(kuò)充成一線性無(wú)關(guān)組。證 將所給向量組用（）表示，它的一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組用（）表示。若向量組（）中每一個(gè)向量都可由向量組（）線性表出，那么向量組（）就是向量組（）的極大線性無(wú)關(guān)組.否則，向量組（）至少有一個(gè)向量不能由向量組（）線性表出，此時(shí)將添加到向量組（）中去，得到向量組（），且向量組（）是線性無(wú)關(guān)的。進(jìn)而，再檢查向量組（）中向量是否皆可由向量組（）線性表出.若還不能，再把不能由向量組（）線性表出的向量添加到向量組（）中去，得到向量組（）。繼續(xù)這樣下去，因?yàn)橄蛄拷M（）的秩有限，所以只需經(jīng)過(guò)有限步后，即可得到向量組（）的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。10.設(shè)向量組為， ，。1） 證明：

5、線性無(wú)關(guān)。2） 把擴(kuò)充成一極大線性無(wú)關(guān)組。證 1）由于的對(duì)應(yīng)分量不成比例，因而線性無(wú)關(guān)。2）因?yàn)?，且由，可解得，所以線性無(wú)關(guān)。再令，代入已知向量后，由于相應(yīng)的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，因而該齊次線性方程組存在非零解，即線性相關(guān)，所以可由線性表出。這意味著就是原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。 注 此題也可將排成的矩陣，再通過(guò)列初等變換化為行階梯形或行最簡(jiǎn)形，然后得到相應(yīng)結(jié)論。11.用消元法求下列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與秩：，解 1）設(shè)對(duì)矩陣作行初等變換，可得，所以的秩為3，且即為所求極大線性無(wú)關(guān)組。3） 同理可得為所求極大線性無(wú)關(guān)組，且向量組的秩為3。12.證明：如果向量組（）可以由向量組（

6、）線性表出，那么（）的秩不超過(guò)（）的秩。證 由題設(shè)，向量組（）的極大線性無(wú)關(guān)組也可由向量組（）的極大線性無(wú)關(guān)組線性表出，即證向量組（）的秩不超過(guò)向量組（）的秩。13.設(shè)是一組維向量，已知單位向量可被它們線性表出，證明：線性無(wú)關(guān)。證 設(shè)的秩為，而的秩為。由題設(shè)及上題結(jié)果知，從而，故線性無(wú)關(guān)。14.設(shè)是一組維向量，證明：線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可被它們線性表出。證 必要性.設(shè)線性無(wú)關(guān)，但是個(gè)維向量必線性相關(guān)，于是對(duì)任意維向量，它必可由線性表出。充分性 任意維向量可由線性表出，特別單位向量可由線性表出，于是由上題結(jié)果，即證線性無(wú)關(guān)。15.證明：方程組對(duì)任何都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式

7、。證 充分性.由克拉默來(lái)姆法則即證。下證必要性.記，則原方程組可表示為，由題設(shè)知，任意向量都可由線性表出，因此由上題結(jié)果可知線性無(wú)關(guān)。進(jìn)而，下述線性關(guān)系，僅有惟一零解，故必須有，即證。16.已知與有相同的秩，證明：與等價(jià)。證 由于與有相同的秩，因此它們的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)必定相等.這樣的極大線性無(wú)關(guān)組也必為的極大線性無(wú)關(guān)組，從而它們有相同的極大線性無(wú)關(guān)組。另一方面，因?yàn)樗鼈兎謩e與極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)，所以它們一定等價(jià)。17.設(shè)，證明：與具有相同的秩。證 只要證明兩向量組等價(jià)即可.由題設(shè)，知可由線性表出?，F(xiàn)在把這些等式統(tǒng)統(tǒng)加起來(lái)，可得，于是，即證也可由線性表出，從而向量組與等價(jià)。18.計(jì)算

8、下列矩陣的秩：1） 2）3） 4）5）。解 1）秩為4；2）秩為3；3）秩為2；4）秩為3；5）秩為5。19.討論取什么值時(shí)，下列方程有解，并求解。1） 2） 3）解 1）因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，原方程組與方程同解，故原方程組有無(wú)窮多解，且其解為，其中為任意常數(shù)。當(dāng)時(shí)，原方程組無(wú)解。當(dāng)且時(shí)，原方程組有惟一解。且。2）因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，原方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為2與3，所以無(wú)解。當(dāng)時(shí)，的秩為2，的秩為3，故原方程組也無(wú)解。當(dāng)，且時(shí)，方程組有唯一解。3) 因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，方程組有惟一解，且為，當(dāng)時(shí)1o若，這時(shí)系數(shù)矩陣的秩為2，而它的增

9、廣矩陣的秩為3，故原方程組無(wú)解。2o若，這時(shí)增廣矩陣所以當(dāng)時(shí)，的秩為3，的秩為，原方程組無(wú)解。而當(dāng)時(shí)，原方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且其解為，其中為任意常數(shù)。20.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并用它表出全部解：1）2） 3）4）解 1）對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組的基礎(chǔ)解中含有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為，于是只要令 即得，同理，令 即得， 即得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。2）對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有因?yàn)?，所以原方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為，若令，得， ，

10、得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。 3）對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又因?yàn)樗?，方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，且原方程組的同解方程組為。于是令，可得，則即為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。4） 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換，有又應(yīng)為所以，方程組的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)大解向量，且原方程組的同解方程組為，得， ，得，則為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且該齊次線性方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。21.用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表出第1題1）、4）、6）題中線性方程組的全部解，其中 解 1）對(duì)原方程組的增廣矩

11、陣作初等行變換，可得，所以方程組有無(wú)窮多解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為，若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，且原方程組的一個(gè)特解為，故園方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。 4）對(duì)原齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無(wú)窮多解，且其基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為，若令，得，再令，得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。 6）對(duì)原方程組的增廣矩陣作初等變換，可得，所以方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M

12、的同解方程組為，若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，且原方程組的一個(gè)特解為，故原方程組的全部解為，其中為任意常數(shù)。 22.取什么值時(shí)，線性方程組有解？在有解的情形，求一般解。 解 對(duì)方程組的增廣矩陣行作初等變換：。于是，只有且時(shí)，增廣矩陣的秩與系數(shù)的秩都為2，此時(shí)原方程組有解；當(dāng)且時(shí)，原方程組都無(wú)解。當(dāng)，時(shí)，原方程組與方程組，同解，且其一般解為，其中為任意常數(shù)。23.設(shè)證明：此方程組有解的充分必要條件為，在有解的情形，求出它的一般解。證 對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換，有此時(shí)的秩為4，的秩為4的充分必要條件是，因此，原方程組有解的充分必要條件是。其次，當(dāng)時(shí)，原方程組與方

13、程組與，同解，所以它的一般解為，其中為任意常數(shù)。24.證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系。證 由于兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)是相等的，不妨設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，且與它等價(jià)，則可由線性表出，從而也是原齊次線性方程組的解。又由題設(shè)知線性無(wú)關(guān)，且可由線性表出，從而齊次線性方程組的任一個(gè)解也都可以由線性表出，即證也是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。25.設(shè)齊次方程組，的系數(shù)矩陣的秩為，證明：方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證 由于方程組的系數(shù)矩陣的秩為，所以它的基礎(chǔ)解系所含線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為。設(shè)是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則向量組，的秩仍為，且是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，同理也是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，所以與等價(jià)，再由上題即證。26.證明：如果是一線性方程組的解，那么，（其中）也是一個(gè)解。證 設(shè)線性方程組為由題設(shè)，是該方程組的個(gè)解，現(xiàn)將代入方程組，得，所以仍是方程組的一個(gè)解，即證。27.多項(xiàng)式與在取什么值時(shí)有公共根？解 因?yàn)榕c的結(jié)式為