簡化運(yùn)算的一種方法--構(gòu)造數(shù)學(xué)模型-大連教育網(wǎng)

1、簡化運(yùn)算的一種方法 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型高中數(shù)學(xué)學(xué)科論文瓦房店市第六高級中學(xué)趙紅高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中要求培養(yǎng)學(xué)生的三大能力：思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，其中之一的運(yùn)算能力是指；會(huì)根據(jù)法則、公式正確地進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)，并理解算理，但有些問題算理簡單，運(yùn)算過程相當(dāng)繁瑣。這就要根據(jù)問題的條件尋求與設(shè)計(jì)、簡捷的運(yùn)算途徑。簡化運(yùn)算的一種方法 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型包含四個(gè)方面：理解實(shí)際問題，抽象分析問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，通過實(shí)踐加以驗(yàn)證。例如：構(gòu)造方程，構(gòu)造幾何模型等都是一些常見的構(gòu)造方法。一、

2、構(gòu)造方程（組）例， 已知sincos=60/169，且/4/2，求sin和cos的值。分析：此題隱含條件sin2+cos2=1，若聯(lián)立方程組其運(yùn)算將很繁瑣，若由方程組求出sin+cos=17/13，再根據(jù)韋達(dá)定理，將求sin、cos轉(zhuǎn)化為求一元二次方程x2-17/13x+60/169=0的兩根，又/4/2，則sin12/13cos=5/13上述問題還可以根據(jù)方程組求出sin-cos=7/13，將求解sin、cos轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解：此方法還可以應(yīng)用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，根據(jù)橢圓的定義，可列出方程不難計(jì)算出(x+c) 2+y2-(x-c) 2+y2=4cx從而計(jì)算出構(gòu)造出二元方程組然后兩

3、式相加得最后兩邊平方，化簡得（a2-c2）x2+a2y2=a2 (a2-c2)此方法與教材比較更具技巧性。二、構(gòu)造幾何模型（平面幾何、立體幾何、解析幾何）1、構(gòu)造平面幾何模型我們在教學(xué)中常遇到求二元線性函數(shù)的最值問題，這類問題通常利用構(gòu)造幾何模型來解題較為簡單。根據(jù)所證不等式的特點(diǎn)，聯(lián)想到正方形的面積，于是構(gòu)造一個(gè)以a=b+10為邊長的正方形，如圖所示，不難從面積關(guān)系看出a2-2b2200成立，當(dāng)且僅當(dāng)b=10時(shí)，取等號。圖1上述問題在于構(gòu)造平面幾何模型，利用正方形面積來證明結(jié)論，有些二元線性函數(shù)的最值可構(gòu)造解幾模型。2、構(gòu)造解幾模型例2、實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2-2x+4y=0,則x-2y的

4、最大值。解將原式化為x-2y=(x2+y2)/2，由x2+y2可聯(lián)想曲線上的點(diǎn)（x,y）與(0,0)間的距離，從而將x-2y的最大值轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值|OA|。圖2此題在于構(gòu)造兩點(diǎn)間距離公式，利用平面幾何知識求解。有些無理函數(shù)的最值問題也可構(gòu)造解幾模型。在直角坐標(biāo)系mOn中，作平行線系n= -m+y，則y是直線系的縱截距，如圖3。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，縱截距，, 而直線過（1，0）時(shí)，因此所給函數(shù)的最小值為1，最大值為2。此例是構(gòu)造直線與二次曲線，并利用它們之間的關(guān)系（相切，過曲線段的端點(diǎn)等）及直線的幾何特征（縱截距）最終獲得解決。3、構(gòu)造立體模型有些幾何問題的求解可構(gòu)造如正方體

5、，長方體等特殊幾何體，利用它們的幾何性質(zhì)來求解，有時(shí)能獲得事半功倍的效果。例4 四面體SABC的三組對棱分別相等，且依次為求四面體的體積及外接球的半徑？分析：教材中有正方體截去四個(gè)角得到一個(gè)正四面體，則四面體的體積是正方體體積的1/3，受此啟發(fā)可通過構(gòu)造長方體截去四個(gè)角后得相對棱分別相等的四面體，利用長方體的體積公式解決問題。解：根據(jù)長方體相對面全等可構(gòu)造如圖4設(shè)長方體的長寬高分別為x,y,z而四面體SABC的外接球直徑是長方體對角線三、構(gòu)造實(shí)際模型此題除了用教材的證法外，還可以用構(gòu)造實(shí)際模型的方法證明，這個(gè)模型可以是：“從r+1個(gè)人中選出k個(gè)人組成一個(gè)競賽小組，共有種方法，其中含某人A的有種方法，不含A的有種方法”，即這種構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的方法還有很多，象構(gòu)造實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、不等式、恒等式等，它們都具有一定的技巧性，一般不易想到，但確實(shí)能達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，所以在高中 數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，另一方面還要培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)