人教版數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線知識(shí)總結(jié)

1、數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線知識(shí)歸納、復(fù)習(xí)總結(jié):名稱橢圓雙曲線圖象定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn) Fi ,F2的距離的和為常數(shù)（大于F1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 MF1|MF2 2a當(dāng)2a > 2c時(shí)，軌跡是橢圓當(dāng)2 a =2 c時(shí)，軌跡是一條線 段|FiF2當(dāng)2a < 2c時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1 ,F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于F1F2 ） 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線即MF1MF2 2a當(dāng)2a <2c時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)2 a=2c時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)2a > 2c時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn) 方程22焦點(diǎn)在x軸上時(shí)： 4 1 a2 b222焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：二2 1a b注：是根據(jù)分母

2、的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在X軸上時(shí)： 22x y .- 7T 1a b焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：22E-1a2 b2常 數(shù)a, b, c 的關(guān)系22,2a c b22,2c a b ,漸近線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)：x y c 0a b焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：Y x 八上 一0a b拋物線:圖 形1,yJlOd Oxl方 程y22 px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22 py( p 0)隹占八、(q0)2(旦0) 2(0，f)2(0,92準(zhǔn) 線x艮2x E2P y Iy 1二、知識(shí)點(diǎn)：橢圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研

3、究這三種曲線的幾何性質(zhì)1.橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(定長大于兩定點(diǎn)間的距離)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡22222.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:y_1 _y_x_1/ oh221，221(ab0)a b a b3.2: 1( a b 0) b22 X 橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程a范圍： a x a, b y b,橢圓落在xa,yb組成的矩形中.(2)對(duì)稱性：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)叫橢圓的對(duì)稱中心，簡稱中心.x軸、y軸叫橢圓的對(duì)稱軸.從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對(duì)稱 的截距.(3)頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：A ( a,0), A2(a

4、,0) , B (0, b),B2(0,b)加兩焦 Fi( c,0), F2(c,0)共有六個(gè)特殊點(diǎn) A1A2叫橢圓的長軸，B1B2叫橢圓的短軸.長分另1J為2a,2b. a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長，橢圓的頂點(diǎn)即為橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn).(4)離心率：橢圓焦距與長軸長之比 e - e ，1 (b)2 0 e 1 a . a橢圓形狀與e的關(guān)系：e 0,c0 ,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e 0時(shí)的特例 e 1, c a,橢圓變扁，直至成為極限位置線段 F1F2,此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e 1時(shí)的特例.（識(shí)記方法）（0G內(nèi)常數(shù)e就是離心率以下4-7點(diǎn)要求不高，或者不要求

5、4 .橢圓的第二定義：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)e,那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)5 .橢圓的準(zhǔn)線方程2對(duì)于x2a2 y b21 ,左準(zhǔn)線li : x2a.；右準(zhǔn)線I2 ： X c2對(duì)于y2a2 x b21,下準(zhǔn)線ii: y上準(zhǔn)線12 ： y6.橢圓的焦半徑公式:2橢圓x2a2 y b21(a0）焦半徑公式2PF1 e(x -)ca exIPF2I e(2a 、- x) a ex c其中e是離心率 其中Fi, F2分別是橢圓左右焦點(diǎn).焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式:PFiPF2a ey0a ey。其中e是離心率 其中Fi,F2分別是橢圓的

6、下上焦點(diǎn).可以記為:焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān) 左加右減，上減下加x a cos7橢圓的參數(shù)萬程（為參數(shù)）y bsin以下為橢圓重要結(jié)論：（要求記憶1、2、3條，了解4、5）222.2a c b過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為:22.橢圓X a2$ 1（a b 0）兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積2 , S F1PF2c| yP | b tanF1PF3橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).例：今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，長軸長為2a,焦距為2c,當(dāng)靜放在點(diǎn)A的小球（小球的

7、半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線l擊出，經(jīng)橢圓壁反彈后再回到A,若l與橢圓長軸的夾角為銳角,則小球經(jīng)過的路程是(D )1.準(zhǔn)線到中心的距離為 a_ ,焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）p c(a-c) (a+c) D.4a4 .橢圓的的內(nèi)外部：(1)點(diǎn)P(Xo,yo)在橢圓2X2a2y21(ab0）的內(nèi)部2 X02a2y01b2.(2)點(diǎn)P(Xo,yo)在橢圓2X2a2y21(ab0）的外部2 Xo2a2y01b2.5 .橢圓的切線方程：(2)(3)22橢圓x2y2a b22過橢圓x2y2a2b222橢圓X2y2a b1(a b1外一點(diǎn)1(a b0）上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程是 x2x “02y

8、1. a bP（Xo, y0）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是否 嗎a b0）與直線Ax By C 0相切的條件是1.A 2 22, 2A a B b（小于F1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)8 .雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)的軌跡叫雙曲線即MF1 |MF2| 2a這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距離較長， 則所畫出的雙曲線的開口較開闊(兩條平行線)兩定點(diǎn)間距離較短(大于定差)，則所畫出的雙曲線的開口較狹窄(兩條射線) 雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān)9 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)：(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在 x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種：焦點(diǎn)

9、在x軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:22x2 y2r1(a 0, b 0)；a2b2焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2y_2ax2,-21(a 0, b 0)b2(2) a,b,c有關(guān)系式 c2 a2 b2成立，且 a 0,b 0,c 0其中a與b的大小關(guān)系：可以為a b, a b, a b10.焦點(diǎn)的位置：從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母x2、y2項(xiàng)的分母的大小來確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置，即x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 x軸上；y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 y軸上 11.雙曲線的幾何性質(zhì)：(1)范圍、對(duì)

10、稱性22由標(biāo)準(zhǔn)方程 J y- 1,從橫的方向來看，直線 x=-a, x=a之間沒有圖象，從縱的方向來 a2 b2看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心(2)頂點(diǎn)頂點(diǎn)：A(a,0),A2 a,0 ,特殊點(diǎn)：B(Qb), B20, b實(shí)軸：A1A2長為2a, a叫做半實(shí)軸長 虛軸：B1B2長為2b , b叫做虛半軸長雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異（3）漸近線22b過雙曲線二X_ 1的漸近線y bx (- y 0) a ba a b（4）離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比e 2c

11、 £,叫做雙曲線的離心率 范圍：e 12a a雙曲線形狀與e的關(guān)系：k -ac2 a2a2ve 1 , e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊12.等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y X；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率e J213 .共漸近線的雙曲線系2222如果雙曲線與與y-1有公共漸近線，可設(shè)為 x-ya ba b以下14-17點(diǎn)要求不高，或者不要求14 .雙曲線的第二定義：C .到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之

12、比為常數(shù) e -（c a 0）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線其a中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線常數(shù)e是雙曲線的離心率.15 .雙曲線的準(zhǔn)線方程:22對(duì)于4 冬 1來說，a b相對(duì)于左焦點(diǎn)F（ c,0）對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線11 : x2,相對(duì)于右焦點(diǎn)CF2（c,0）對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線12 ：X22對(duì)于 一 xy 1來說，相對(duì)于上焦點(diǎn)F1（0, c）對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線11 : y a b2;相對(duì)于下焦點(diǎn)c2aF2(0,c)對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線12 ： yc16.雙曲線的焦半徑(了解)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：|MF1|MF21 a aex。ex。(F1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn))焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：I

13、MF1Iaeyo |(F1,F2分別是下、上焦點(diǎn))lMF2|aey。Fl,F2的連線段，叫做雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點(diǎn) M與雙曲線焦點(diǎn)17.雙曲線的焦點(diǎn)弦:定義：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦焦點(diǎn)弦公式：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)： 當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)， 過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：AB 2a e(x1 x2) |AB|2a e(x1 x2)AB2a e(yi 的)AB2a e(yi y?)18.雙曲線的重要結(jié)論：(識(shí)記(1) - (4)點(diǎn)，了解(5)點(diǎn))(1)雙曲線焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距)pb2

14、c(2)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長度為:(3)兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積S F1PF2b2 cotF1PF2(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是b.(5)雙曲線的切線方程：1(a 0,b 0)上一點(diǎn)P(Xo,y0)處的切線方程是 = _y02yl.a b2(2) 過雙曲線1 1外一點(diǎn)P(Xo, yo)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是X02Xy02y1.ab22(3)雙曲線x2 1 1與直線Ax By C 0相切的條件是A2a2 B2b2 c2. a b19拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線20.拋物線的準(zhǔn)線

15、方程：y2 2px(p 0),焦點(diǎn)：(匕0),準(zhǔn)線l ： x 衛(wèi)22(2) x2 2 py( p 0),焦點(diǎn)：(0,-p)，準(zhǔn)線 l : y-p22 y22px(p 0),焦點(diǎn)：(-,0),準(zhǔn)線 l ： x -22(4) x2 2py(p 0),焦點(diǎn)：(0, B),準(zhǔn)線 l： y p22相同點(diǎn)：(1)拋物線都過原點(diǎn)；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與1焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的1,即42p _p42不同點(diǎn)：(1)圖形關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)，X為一次項(xiàng)，Y為二次項(xiàng)，方程右端為2px、左端為y2 ;圖形關(guān)于丫軸對(duì)稱時(shí)，X為二次項(xiàng)，丫為一次項(xiàng)，方程

16、右端為2py ,左端為x2 (2)開口方向在X軸(或Y軸)正向時(shí)，焦點(diǎn)在 X軸(或Y軸)的正半軸上，方程右端取正號(hào)； 開口在X軸(或Y軸)負(fù)向時(shí)，焦點(diǎn)在 X軸(或Y軸)負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號(hào)21 .拋物線的幾何性質(zhì)(1)范圍因?yàn)閜>0,由方程y2 2px p 0可知，這條拋物線上的點(diǎn) M的坐標(biāo)(x, y)滿足不等式x>0,所以這條拋物線在 y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(2)對(duì)稱性以一y代y,方程y2 2 Pxp 0不變，所以這條拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸.(3)頂點(diǎn)2拋物線和匕的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的

17、頂點(diǎn).在方程y 2 px p 0中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0,因此拋物線y2 2px p 0的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).(4)離心率拋物線上的點(diǎn) M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知，e=1.22拋物線的焦半徑公式：(畫圖即可)拋物線 y2 2px( p 0) , PFppx0 x022拋物線y22px(p 0), PF拋物線 x2 2py(p 0), PFy。x0y0拋物線x2相交(兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn));相離(無公共點(diǎn))；相切(一個(gè)公共點(diǎn))2py(p 0) , PFy0 y°2223.直線與拋物線:(1)位置關(guān)系：將l:y kx b 代入 C：

18、Ax2 Cy2 Dx Ey F 0,消去 y,得到關(guān)于x的二次方程ax2 bx c 0(*)若 0,相交； 0,相切； 0,相離綜上，得:聯(lián)立y 2 c 0 ,得關(guān)于x的方程ax2 bx c 0 y 2px當(dāng)a 0 (二次項(xiàng)系數(shù)為零)，唯一一個(gè)公共點(diǎn)(交點(diǎn))當(dāng)a 0 ,則若 0 ,兩個(gè)公共點(diǎn)(交點(diǎn))0 , 一個(gè)公共點(diǎn)(切點(diǎn))0 ,無公共點(diǎn)(相離)(2)相交弦長：弦長公式：d(3)焦點(diǎn)弦公式：拋物線 y2 2 Px(p 0) |AB| P (x x2)(識(shí)記)拋物線 y2 2px(p 0), AB p (x1 x2)拋物線 x2 2py(p 0), AB p (y1 y2)拋物線 x22py(p 0) , AB p (y1 y2)(4)通徑：定義：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦通徑：d 2p通徑是所有焦點(diǎn)弦(經(jīng)過焦點(diǎn)的弦簡稱焦點(diǎn)弦)中最短的弦.(5)若已知過焦點(diǎn)的直線傾斜角(識(shí)記這條結(jié)論)I / P、則 y k(x 2)y2 2px2 2p y Tp20yi y2yi y22Pk2Pyiy24p22I24P22P sin結(jié)論1. AByiy2isin2P sin2結(jié)論2.S a