高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、單選題1 .設(shè)函數(shù)X）= R,則 lim ：/" + "） /=（）HAtA. 0B. 1C. 2D. -12 .已知函數(shù)/） = 1一2/+工一3,求r=（）A. -1B. 5C. 4D. 33 .已知函數(shù)/（x） =（2xa），且廣= 3e,則曲線y = x）在x = 0處的切線方程為（）A. x-y + l = OB. x-y-l = OC. x-3y + l = 0D. x+3y + l = 04.若函數(shù)/（x） = 3x+（a - 2）lnx不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）1 A. 一6,B. 2,+co）C. （0,+8）D

2、. （一,2）工）5.函數(shù)）=*內(nèi)的圖象大致是（）.v6.己知函數(shù)/（x）=2a/'（g） + 1i】x,則/,）=（）A. 一。B. eC. 1D. 17 .函數(shù)），= /一31+ 4有（）A.極大值6,極小值2B.極大值2,極小值6C.極小值- 1,極大值2D.極小值2,極大值8A.ln(x +1) 一 2, x > 0,1x + + a,x<0. x的最大值為/（一1）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）B.0,16C.1一,+8D. e,+s)二、多選題9 .下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0）上單調(diào)遞增的是（A. y = 2x3 + 4x B. y = x + sin(-x

3、) C. y = log2 |a,|10 .直線），= gx +能作為下列（）函數(shù)的圖像的切線.B. /(x) = xC. f(x) = sinxD. f(x) = exC.y-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)B.函數(shù)/ CO的增區(qū)間是（-2, +s）11 .已知函數(shù)/co的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為/'（x）,如圖是函數(shù)y = 4'（x）的圖像，則下列說法正確的D. m2是函數(shù)的極小值點(diǎn)12 .已知函數(shù)y = /"）的導(dǎo)函數(shù)/'（的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）a.函數(shù)y = /（x）在區(qū)間（一3,內(nèi)單調(diào)遞增B.當(dāng)x = 2時(shí)，函數(shù) = /（）取得極小值C.函數(shù)y = /

4、（x）在區(qū)間（2,2）內(nèi)單調(diào)遞增D.當(dāng)工=3時(shí)，函數(shù)y =有極小值三、填空題13 .曲線y=+配r在點(diǎn)（1, 1）處的切線方程為.14 .函數(shù)/（x） = lnx x的單調(diào)遞增區(qū)間為.15 .若函數(shù)/（力=x（x ）2在x = 2處取得極小值，則。=.16 .已知函數(shù)/'3） = ：%-4乂%£0,加,則/。）的最小值為,最大值為.四、解答題17 .設(shè)/（x） = "lnxx + 4, （awR）,曲線y = /（x）在點(diǎn)（1J。）處的切線垂直于'軸.（1）求。的值：（2）求函數(shù)y = /（x）的單調(diào)區(qū)間.18 .已知函數(shù)/（工）=2+出工在工=1處有極值：

5、.（1）求。，b的值：（2）求函數(shù)/（力在p2上的最大值與最小值.19 .某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固 定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動(dòng)成本C（x）萬元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時(shí)，C（x） = ；Y+2x（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時(shí)，C（x） = 6x + Inx + -17 （萬元）.已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，假若該同 X學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤尸（X）（萬年）關(guān)于年產(chǎn)量X （萬件）的函數(shù)解析式：（注：年利潤=年銷售收入-固定成本- 流動(dòng)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大

6、年利潤是多少?20 .已知曲線C的方程是），=/一3/+2x.（1）求曲線在x=l處的切線方程4：（2）若l?：y = kx,且直線乙與曲線。相切于點(diǎn)（%），）'0）（改尸0），求直線6的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).21 .已知函數(shù)/'（X）= '/-?nx （zweR）2（1）當(dāng)"7 = 2 時(shí)，求函數(shù)“X）在41處的切線方程：求函數(shù)/（x）在l,e上的最大，最小值.1 、（2）若函數(shù)“X）在不,+8上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)，的取值范困：22 .已知函數(shù) / (x) = In x-xeR).上恒成立.（1）若函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求加的取值范圍;（2）證明：當(dāng)此一3時(shí)，關(guān)于

7、x的不等式/（工）+（工-2），V。在答案一、單選題1 .設(shè)函數(shù)，(力=1，則 lim /0 + )/(1)=()*廿Ax'A. 0B. 1C. 2D. -1【答案】B因?yàn)?f (x) = x,6rN r /(1 + Ax)-/(1)1+A.V-l. Ax所以 lim= lim= lim =1.a1-30 Zkvx_8 Av a18 8故選：B.2 .已知函數(shù)=+x 3,求/'=()A. -1B. 5C. 4D. 3【答案】B由題意，函數(shù)/) = /一2/+% 3,貝ij/'(x) = 3/4x + l,所以/'(2) = 3x22-4x2 + 1 = 5.故答

8、案為：B.3 .已知函數(shù)/(x) =(2xa)/,且廣= 3e,則曲線y = x)在x = 0處的切線方程為()A. x-y + l = OB. x-y-l = OC. x-3y + l = 0D. x+3y + l = 0【答案】Bv f'(x) = 2ex+(2xa)ex =(2x+2a)ex ,:/'(I) = (4)e = 3e ,解得 = 1,即/(x) = (2x-l)e /(0)= -l,則/(x) = (2x+l)e= /. /'(0) = l,，曲線y = f (力在點(diǎn)x = 0處 的切線方程為y + l = lx(x0),即x y l = 0.4.若

9、函數(shù)x) = 3x + m - 2)lnx不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()1 A. -oo-B. 2,+co)C. (0,+8)D. (e,2)2)【答案】D“X)的定義域?yàn)?0,+8), f (x) = 3 + -=yx + -2t.2 ci令/ X =0解得x = %_.由于函數(shù)/(x) = 3x+(a - 2)lnx在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)，2 ci所以丁 。，解得。2.故選：D5 .函數(shù)）=M加的圖象大致是（）【答案】D因?yàn)?y="，2x,故可得)'' = /+ 1令y>。，可得令y'vO,可得x<l, ee故函數(shù)在區(qū)間(畤)上單

10、調(diào)遞減，在區(qū)間(J+8)單調(diào)遞增，(1、又因?yàn)楫?dāng)X6。,一時(shí)，/xvO,yv。，故排除A,8； k e)又X = 1時(shí)，y = o,故函數(shù)在區(qū)間(gy上有一個(gè)零點(diǎn)，故排除C故選：D.6 .已知函數(shù)/(x)=2礦(e) + lnx,則/,)=()A. 一eB. eC. 1D. 1【答案】c由題得r(X) = 2 八 e) + L. /'(e) = 2/'(e) + L/(e)=， xee所以 f(e) = 2ef,(e) + ne = 2ex(-) + = -l. e故選：C.7 .函數(shù))，=/一31+ 4有()A.極大值6,極小值2B.極大值2,極小值6C.極小值- 1,極大值

11、2D.極小值2,極大值8【答案】A令尸=3/-3 = 0,解得x = ±l,則yy'隨X的變化如下表XS，T)-1(TJ)1(1,+oc)y+00+y/62/所以，當(dāng)工=一1時(shí)，函數(shù)有極大值為6；當(dāng)x = l時(shí)，函數(shù)有極小值為2.故選:A.ln(x +1) or 2, x > 0,8 .若函數(shù)/(x) = 1 八 的最大值為/(一1),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()x + + a,x<0.11r iA. (y>,eB. 0,-C. 一,+sD. e,+s)eLe7【答案】c0.1當(dāng)x>0時(shí)，/(x) = ln(x + l)-。-2, / (x) =-a ,x

12、 + 若a40,則/(x)>0在x>0恒成立，/(x)在(0,+s),且Xf十力時(shí)，/(X)-» +qo ,二函數(shù)的最大值不可能為/(一 1),二。> 0,. 1 1當(dāng)/(x)>0時(shí)，得。<x<1,當(dāng)/(x)v0時(shí)，x>-U aa:/(X)在(0,'-1)單調(diào)遞增，在(L l,+oo)單調(diào)遞減， aa二 /()max =/(-0 = ln-6Z(-l)-2 = -ln6/ + 6Z-3, aa a當(dāng) x < 0 時(shí)，f(x) = x + - + a = 一(一x) + + a <-2 + a = /(- 1), x-x/.

13、 -n a + a - 3 < -2 + a => n a > - a > - 9故選：C.二、多選題9 .下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0）上單調(diào)遞增的是（A. y = 2x3 + 4x B. y = x+sin(-A) C. y = log, |D. y = 2' - 2"1【答案】ABD由奇函數(shù)定義可知，A、B、D均為奇函數(shù)，C為偶函數(shù)，所以排除C：對于選項(xiàng)A, y =6x2+4>0,所以y = 2/+4工在(0,1)上單調(diào)遞增；對于選項(xiàng)B, y = 1 - cos x > 0 ,所以y = x+sin(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

14、對于選項(xiàng)D, y' = 21 In 2 + 2-r In2 > 0 ,所以y = 2、-2-、在(0,1)上單調(diào)遞增.故選：ABD10 .直線y =+能作為下列()函數(shù)的圖像的切線.A. /(x) = B. /(x) = x4 C. f(x) = sinx D. f(x) = ex【答案】BCDf(x)=-,故/<幻=-=大，無解，故A排除:/(x) = x4,故 /(x) = 4x3 =-,故 x = 3 ,即曲線在點(diǎn) K77的切線為,，=彳工-7，。正確;2 16 J216/(x) = sinx,故/'(x) = cosx = 5，取x = g,故曲線在點(diǎn)，故x

15、 = ln2,曲線在點(diǎn)In2,7 的切線為y =彳犬+71112 +二，£)正確:22J222故選：BCD.11.己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為了'(X),如圖是函數(shù)y = 4'(M的圖像，則下列說法正確的A.函數(shù)/(x)的減區(qū)間是(-s,-2) B.函數(shù)/ Cv)的增區(qū)間是(-2, +s)C. 4-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)D. 42是函數(shù)的極小值點(diǎn)【答案】ABC當(dāng)XNO時(shí)，丁 =礦(工)之0,故尸()",函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)一2<x<0時(shí)，y = ,4'(x)<0,故/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)=-2時(shí),y = xfx) =

16、 O,故尸(2) = 0：當(dāng)xv2時(shí)，y = xfx)>0,故/'(x)vO,函數(shù)單調(diào)遞減：對比選項(xiàng)知：故ABC正確.故選：ABC.12.已知函數(shù)> = /(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(*的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是()A.函數(shù)> = /(X)在區(qū)間-3,一12;內(nèi)單調(diào)遞增B.當(dāng)工=一2時(shí)，函數(shù)y = /(x)取得極小值c.函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(2,2)內(nèi)單調(diào)遞增D.當(dāng)x = 3時(shí)，函數(shù)y = /(x)有極小值【答案】BC對于A,函數(shù)y=f(力在區(qū)間T一彳內(nèi)有增有減，故A不正確:對于B,當(dāng)犬=一2時(shí)，函數(shù)y = /(x)取得極小值，故B正確：對于C,當(dāng)犬&l

17、t;2,2)時(shí)，恒有r(x)>0,則函數(shù)y = F(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,故C正確:對于D,當(dāng)工=3時(shí)，/'(x)hO,故D不正確.故選：BC三、填空題13 .曲線在點(diǎn)(1, 1)處的切線方程為.【答案】3x-y-2 = 0yf = 2x + -9在點(diǎn)(1, 1)處的切線斜率為3,所以切線方程為3x y 2 = 0. x14 .函數(shù)/(x) = lnx - x的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】(01)函數(shù)有意義，貝必x>0 ,且：=,由/'(力。結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū).V間為(0)，故答案為(0).6若函數(shù)=在x = 2處取得極小值，則 =【答案】

18、2 求導(dǎo)函數(shù)可得/'(x) = 3/-4x + /,所以/'(2) = 12-8 + /=0,解得。=2 或。=6, 當(dāng)。=2時(shí)，ffM = 3x2 -8x + 4 = (x-2)(3x- 2),函數(shù)在x = 2處取得極小值，符合題意:當(dāng)。=6時(shí)，/'(x) = 3/-24x + 36 = 3(x 2)(x 6),函數(shù)在x = 2處取得極大值，不符合題意，不符合題意，所以4 = 2.16.已知函數(shù)/'(x) = Jx-sinx,X£0,4,則/(X)的最小值為,最大值為.【答案】*f11v /(x) = x-sinx,xeO, j (x) =cosx,

19、x e 0,/r, 22則當(dāng)o<x<£時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)gvxv;r時(shí)，/(x)>0,所以/0）在0,£上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)x =工時(shí)，/（X）nnn =- 3336又/(0) = 0J=,所以/*)皿=9 乙乙故答案為：/吟 四、解答題17 .設(shè)/(x) = lnx-x + 4, ( aeR ),曲線y = /(x)在點(diǎn)處的切線垂直于>軸.（1）求。的值:（2）求函數(shù)），= /（X）的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）4 = 1： （2） /（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+8）.（1）由于/ （x）=

20、63; 1，依題意/（1） = ； -1 = 4 1 = 0,解得“ = 1.11（2）由（1）知/（x） = lnx-x + 4（x>0）,/'（工）=一一1 = -（x>0）,所以/（x）在（0,1）上遞增,在 X X（1,口）上遞增.也即/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，收）,18 .已知函數(shù)"X）= ax2 +lnx在x = 1處有極值；.（1）求4泊的值：（2）求函數(shù)/（外在2上的最大值與最小值.【答案】（1）= » = 1； （2）最大值為2 ln2，最小值為5（1）由題可知，f（x） = ax +bnx, f （x）的定義

21、域?yàn)椋?,+8）,，/'(x) = lax + (x>0), x由于/(式)在x = l處有極值;,/ (1) = 67+/?/?!f(i) = 2a + b = 01a =即彳22a+ b = 0解得：a = , b = -,2(2)由(1)可知"x)=Jx2-inx,其定義域是(0,+s),八 x)=T=(工1)X令r（x）=O,而x>0,解得X = l，由尸（x）<。，得ovxvl：由/'（x）>0,得X>1,八2) = 2 ln2,則在區(qū)間J，2上，x,/（x）的變化情況表如下:X£ 2分）1(L2)2廣（X）0+ ln

22、2 8單調(diào)遞減£ 2單調(diào)遞增2-ln2可得/'(<="1)=由于 /("6) = 2 ln2-(g + ln2)>0,則/(2)>/出所以/（x）m”=/（2） = 2 ln2,，函數(shù)/（x）在區(qū)間；,2上的最大值為2 山2,最小值為;.19 .某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本C（x）萬元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時(shí)，C（x） = -x2+2x （萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時(shí)，C（x） = 6x + lnx + -17 （萬元）.已知每件產(chǎn)品售

23、價(jià)為6元，假若該同X學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤PW （萬年）關(guān)于年產(chǎn)量X （萬件）的函數(shù)解析式：（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時(shí)，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（取/=20）.【答案】（1）P。）=r + 4x 2,0 < x < 7 315 - / fix, x 2 7x（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大利潤為11萬元（1）產(chǎn)品售價(jià)為6元，則萬件產(chǎn)品銷售收入為6x萬元.依題意得，當(dāng)0cx<7時(shí)，p（x） = 6x-x2 -2x-2 = -x2 +4x-2,當(dāng)xN7時(shí)

24、，（x） = 6.v-（6.v + ln.v +17）-2 = 15-In.v，XX1 、一一廠 +4x-2,0<x<7,、3 P(X)= j3：15 lux, x 2 7Lx(2)當(dāng)0cx<7時(shí)，/?(x) = -(x-6)2 +10 ,，當(dāng)x = 6時(shí)，(x)的最大值為P(6) = 10 (萬元)，/1 / /-X當(dāng) x 2 7 時(shí)，p(x) = 15 - In x - 一 /. “(X)= - + =XX 廠 廠,當(dāng)7«xv/時(shí)，P（x）單調(diào)遞增，當(dāng)xN/,p（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x = /時(shí)，"（X）取最大值（/）= 15-1/一1 = 11 （萬元）

25、,vll>10,當(dāng)x = 1 -20時(shí)，P取得最大值11萬元,即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大利潤為11萬元.20.已知曲線C的方程是丁 = /一3/+2工.（1）求曲線在X=1處的切線方程4：（2）若，2：y =依，且直線，2與曲線C相切于點(diǎn)（%，%）（%相0），求直線12的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).1（3 3）【答案】（1） x+y-l = 0： （2）直線。的方程為），=一一x，切點(diǎn)坐標(biāo)為.412 X J（1） V y = x3-3x2 + 2x,： y =3a2 - 6x + 2 ,:.y|v=1 =3xl-6xl + 2 = -l,i的斜率為一1，且過點(diǎn)。,0

26、）,，直線4的方程為y = 3-1）,即x+y l =。：（2）直線右過原點(diǎn)，則攵=1（%。），由點(diǎn)（同,為）在曲線C上, %得.V（）=玉）-3%+ 2玉），-=玉；_ 3% + 2,X。又y=3x?-6x + 2,所以k = 3x：-6%+ 2 , 3%6/ + 2 =包=玉；一34+ 2 ,整理得2片3% =0, Ao3311 X。W 0 , X。=,此時(shí) = & = - I，1(3 3、，直線。的方程為y = 切點(diǎn)坐標(biāo)為.42 8；21.已知函數(shù)/'(X)= '/?Inx (meR)2(1)當(dāng)"7 = 2 時(shí), 求函數(shù)/(X)在處的切線方程：求函數(shù)/(

27、X)在1,6上的最大，最小值.1 )(2)若函數(shù)/(X)在不,+8上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍： .27【答案】(1)2x + 2y -3 = 0：函數(shù)/")在1©上的最大值為：/一2,最小值為l ln2：(2)T；./、w£/ 、1 ) Cl2 r2 (X + y/2)(x - y/2) I "? = 2 時(shí)，/(x) = _r _ 2In x = / (x) = x_ _ =2xxx當(dāng)x=l 時(shí)，/(l) = lxl2-21nl = 1,/(l)=+=-1，221所以函數(shù)/(X)在戶1處的切線的斜率為-1，因此切線方程為：y -1 (x -1) =&

28、gt; 2x + 2y - 3 = 0 ；因?yàn)閤el,e,所以當(dāng)無以1,&時(shí)，/'(x)v0,函數(shù)/(Q單調(diào)遞減, 當(dāng)xelJIe時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/")單調(diào)遞增，所以當(dāng)xel,e時(shí)，函數(shù)”X)有極小值/(") = gx(艱-21n應(yīng)= l ln2,而/= lx-21nl = 1,/(2) =，/-21116 = 1-2 = 1(/一4)， 222222所以函數(shù)/(X)在1,“上的最大值為:/一2,最小值為1ln2;(2) /(回二3/一?nx=/(x) = x1因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在5，+°°上單調(diào)遞增，所以/ (x) = x-竺之。在!，+8八寸恒成立， x L2 )1 ) 1即機(jī)在xe 3,+s時(shí)恒成立，設(shè)g(x) = Y, xe 5,+s因?yàn)楫?dāng)1,+s2時(shí)，