24屆物理競(jìng)賽決賽試題

1、第 2 4屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題2007年11月寧波理論部分A, B, C三個(gè)剛性小球靜止在光滑的水 平面上.它們的質(zhì)量皆為m,用不可伸長(zhǎng)的 長(zhǎng)度皆為l的柔軟輕線相連，AB的延長(zhǎng)線與 BC的夾角o=t/3,如圖所示.在此平面內(nèi)取 正交坐標(biāo)系Oxy,原點(diǎn)。與B球所在處重合， x軸正方向和y軸正方向如圖.另一質(zhì)量也是m的剛性小球D位于y軸上，沿y軸負(fù)方向以速度V0 （如圖）與B球發(fā)生彈 性正碰，碰撞時(shí)間極短.設(shè)剛碰完后，連接 A, B, C的連線都立即斷了.求碰 后經(jīng)多少時(shí)間，D球距A, B, C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心最近.為了近距離探測(cè)太陽(yáng)并讓探測(cè)器能回到地球附近，可發(fā)射一艘以橢圓軌道繞 太

2、陽(yáng)運(yùn)行的攜帶探測(cè)器的宇宙飛船，要求其軌道與地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道在同一 平面內(nèi)，軌道的近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為 0.01AU （AU為距離的天文單位，表示 太陽(yáng)和地球之間的平均距離：1AU=1.495X1011 m）,并與地球具有相同的繞日運(yùn) 行周期（為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)地球以圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)）.試問(wèn)從地球表面應(yīng)以多大的 相對(duì)于地球的發(fā)射速度U0 （發(fā)射速度是指在關(guān)閉火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，停止對(duì)飛船加速時(shí) 飛船的速度）發(fā)射此飛船，才能使飛船在克服地球引力作用后仍在地球繞太陽(yáng)運(yùn) 行軌道附近（也就是說(shuō)克服了地球引力作用的飛船仍可看做在地球軌道上）進(jìn)入符合要求的橢圓軌道繞日運(yùn)行？已知地球半徑 Re=6.37X06m,地面處

3、的重力加 速度g=9.80 m/S2,不考慮空氣的阻力.二、如圖所示，在一個(gè)豎直放置的封閉的高為 H、內(nèi)壁橫截面積為S的絕熱氣缸 內(nèi)，有一質(zhì)量為m的絕熱活塞A把缸內(nèi)分成上、下兩部分.活塞可在缸內(nèi)貼缸 壁無(wú)摩擦地上下滑動(dòng).缸內(nèi)頂部與A之間串聯(lián)著兩個(gè)勁度系數(shù)分別為 k1和k2 （k1Wk2）的輕質(zhì)彈簧.A的上方為真空；A的下方盛有一定質(zhì)量的理想氣體.已知H系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，A所在處的高度（具下表面 與缸內(nèi)底部的距離）與兩彈簧總共的壓縮量相等 皆為hi=H/4.現(xiàn)給電爐絲R通電流對(duì)氣體加熱， 使A從高度hi開(kāi)始上升，停止加熱后系統(tǒng)達(dá)到平 衡時(shí)活塞的高度為h2=3H/4.求此過(guò)程中氣體吸收 的熱量4Q

4、.已知當(dāng)體積不變時(shí)，每摩爾該氣體 溫度每升高1K吸收的熱量為3R/2, R為普適氣 體包量.在整個(gè)過(guò)程中假設(shè)彈簧始終遵從胡克定 律.四、為了減少線路的輸電損耗，電力的遠(yuǎn)距離輸送一般采用高電壓的交流電傳輸 方式.在傳輸線路上建造一系列接地的鐵塔，把若干絕緣子連成串（稱為絕緣子 用，見(jiàn)圖甲），其上端A掛在鐵塔的橫臂上，高壓輸電線懸掛在其下端 B.絕緣 子的結(jié)構(gòu)如圖乙所示：在半徑為Ri的導(dǎo)體球外緊包一層耐高壓的半球形陶瓷絕 緣介質(zhì)，介質(zhì)外是一內(nèi)半徑為 R2的半球形導(dǎo)體球殼.已知當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼圖甲圖乙間的電壓為U時(shí)，介質(zhì)中離球心。的距離為r處的場(chǎng)強(qiáng)為E=，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向.1 .已知絕緣子 導(dǎo)體球殼

5、 的內(nèi)半徑R2=4.6cm,陶瓷 介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度Ek=135kV/cm .當(dāng)介質(zhì)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E> Ek時(shí)，介質(zhì)即被擊穿，失去絕緣性能.為 使絕緣子所能承受的電壓（即加在絕緣子的導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼間的電壓） 為最大， 導(dǎo)體球的半徑Ri應(yīng)取什么數(shù)值？此時(shí)，對(duì)應(yīng)的交流電壓的有效值是多少？2 . 一個(gè)鐵塔下掛有由四個(gè)絕緣子組成的絕緣子用（如圖甲），每個(gè)絕緣子 的兩導(dǎo)體間有電容Co.每個(gè)絕緣子的下部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球）對(duì)于鐵塔（即對(duì)地） 有分布電容Ci （導(dǎo)體球與鐵塔相當(dāng)于電容器的兩個(gè)導(dǎo)體極板，它們之間有一定 的電容，這種電容稱為分布電容）；每個(gè)絕緣子的上部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球殼）對(duì)高 壓輸電線有分布電容C

6、2,若高壓輸電線對(duì)地電壓的有效值為 Uo.試畫(huà)出該系統(tǒng) 等效電路圖.3 .若Co=7OpF=7>10 11 F, Ci=5pF, C2=1pF,試計(jì)算該系統(tǒng)所能承受的最 大電壓（指有效值）.五、如圖所示，G為一豎直放置的細(xì)長(zhǎng)玻璃管， 以其底端。為原點(diǎn)，建立一直角坐標(biāo)系Oxy, y 軸與玻璃管的軸線重合.在x軸上與原點(diǎn)。的距 離為d處固定放置一電荷量為Q的正點(diǎn)電荷A, 一個(gè)電荷量為q （q>0）的粒子P位于管內(nèi)，可 沿y軸無(wú)摩擦地運(yùn)動(dòng).設(shè)兩電荷之間的庫(kù)侖相互 作用力不受玻璃管的影響.1 .求放在管內(nèi)的帶電粒子P的質(zhì)量m滿足什么條件時(shí)，可以在y>0的區(qū) 域內(nèi)存在平衡位置.2 .上

7、述平衡狀態(tài)可以是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的；它依賴于粒子的質(zhì)量 m.以y （m）表示質(zhì)量為m的粒子P處于平衡位置時(shí)的y坐標(biāo).當(dāng)粒子P處于 穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，y （m）的取值區(qū)間是定平衡狀態(tài)時(shí)，y （m）的取值區(qū)間是（請(qǐng)將填空答案寫(xiě)在答 題紙上）.3 .已知質(zhì)量為mi的粒子P處于穩(wěn)定平衡位置，其y坐標(biāo)為yi.現(xiàn)給P沿y 軸一微小擾動(dòng).試證明以后的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期.4 .已知質(zhì)量為m2的粒子P的不穩(wěn)定平衡位置的y坐標(biāo)為y2,現(xiàn)設(shè)想把P 放在坐標(biāo)y3處，然后從靜止開(kāi)始釋放P.求釋放后P能到達(dá)玻璃管底部的所有可 能的y3 （只要列出y3滿足的關(guān)系式，不必求解）.六、如圖所示，一半徑為R

8、、折射 率為ng的透明球體置于折射率 no=1的空氣中，其球心位于圖中光 軸的。處，左、右球面與光軸的交 點(diǎn)為Oi與O2.球體右半球面為一 球面反射鏡，組成球形反射器.光軸上 頂點(diǎn)Oi的距離為s,由P點(diǎn)發(fā)出的光線滿足傍軸條件，不考慮在折射面上發(fā)生 的反射.1 .問(wèn)發(fā)光物點(diǎn)P經(jīng)此反射器，最后的像點(diǎn)位于何處？2 .當(dāng)P點(diǎn)沿光軸以大小為v的速度由左向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)最后的像點(diǎn) 將以怎樣的速度運(yùn)動(dòng)？并說(shuō)明當(dāng)球體的折射率 ng取何值時(shí)像點(diǎn)亦做勻速運(yùn)動(dòng).七、已知鈉原子從激發(fā)態(tài)（記做 P3/2）躍遷到基態(tài)（記做S1/2）所發(fā)出的光譜線 波長(zhǎng)九二588.9965nm.現(xiàn)有一團(tuán)鈉原子氣，其中的鈉原子做無(wú)規(guī)的熱

9、運(yùn)動(dòng)（鈉原 子的運(yùn)動(dòng)不必考慮相對(duì)論效應(yīng)），被一束沿z軸負(fù)方向傳播的波長(zhǎng)為岸589.0080nm的激光照射.以8表示鈉原子運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向之間的夾角（如圖所示）.問(wèn)在30 < 0< 45°角度區(qū)間內(nèi)的鈉原子中速率u在什么范圍內(nèi)能 產(chǎn)生共振吸收，從S1/2態(tài)激發(fā)到P3/2態(tài)？并求共振吸收前后鈉原子速度（矢量） 變化的大小.已知鈉原子質(zhì)量為 M=3.79X10 26kg,普朗克常量h=6.626069X0 34J?s,真空中的光速 c=2.997925 X 08 m?s> 1 .第24屆生物理競(jìng)?cè)珖?guó)中學(xué)賽決賽參考解答1 .分析剛碰后各球速度的方向.由于 D與B球發(fā)生彈

10、性正碰，所以碰后 D 球的速度方向仍在y軸上；設(shè)其方向沿 y軸正方向，大小為v.由于線不可伸長(zhǎng)， 所以在D, B兩球相碰的過(guò)程中，A, C 兩球都將受到線給它們的沖量；又由于 線是柔軟的，線對(duì)A, C兩球均無(wú)垂直 于線方向的作用力，因此剛碰后，A球 的速度沿AB方向，C球的速度沿CB 方向.用8表示B球的速度方向與x軸的夾角，則各球速度方向?qū)⑷?圖所示.因 為此時(shí)連接A, B, C三球的兩根線立即斷了，所以此后各球?qū)⒆鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng).2 .研究碰撞后各球速度的大小.以 vi, V2, V3分別表示剛碰后A, B, C三 球速度的大小，如圖所示.因?yàn)榕鲎策^(guò)程中動(dòng)量守恒，所以沿 x方向有mvi mv

11、3cos +- mv2cos (=0； (1)沿y方向有mvo=mv mv2sin 0 mv3sin a. (2)根據(jù)能量守恒有2/ c、mv= mv+mv+ mv+ mv . ( 3)因?yàn)榕鲎策^(guò)程中線不可伸長(zhǎng)，B, C兩球沿BC方向的速度分量相等，A, B 兩球沿AB方向的速度分量相等，有v2cos 4vi, (4)v2cos九一(0+ 9=v3. ( 5)將而3代入，由以上各式可解得vi=vo, (6) v2=vo, v3=v0, (8) v=vo. (9)3確定剛碰完后，A， B， C 三球組成的系統(tǒng)質(zhì)心的位置和速度由于碰撞時(shí)間極短，剛碰后 A， B， C 三球組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心位置就是

12、碰撞前質(zhì)心的位置，以（xc, yc）表示此時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)，根據(jù)質(zhì)心的定義，有 xc=，（10）yc=（11）代入數(shù)據(jù)，得xc= l ，（12）yc=l （13）根據(jù)質(zhì)心速度的定義，可求得碰后質(zhì)心速度vc 的分量為vcx= ，（14）vcy= （15）由（4）（7）和（14） , （15）各式及a值可得vcx=0，（16）vcy= v0（17）4討論碰后A， B， C 三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心和 D 球的運(yùn)動(dòng)剛碰后 A， B，C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心將從坐標(biāo)（xc= 1/6, yc=l/6）處出發(fā)，沿y軸負(fù)方向以 大小為5v0/12 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而D 球則從坐標(biāo)原點(diǎn) O 出發(fā)，沿 y 軸正方向

13、以大小為v0/4 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng) A， B， C 三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心與D球是平行反向運(yùn)動(dòng)，只要D 球與 C 球不發(fā)生碰撞，則 vC， vD 不變，質(zhì)心與D 球之間的距離逐漸減少 到 y 坐標(biāo)相同處時(shí)， 它們相距最近 用 t 表示所求的時(shí)間， 則有vt=yc+vcyt（ 18） 將 vcy， v， yc 的值代入，得 t=（19）此時(shí)，D球與A, B, C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心兩者相距1/6.在求出（19）式 的過(guò)程中，假設(shè)了在t=1/4v0時(shí)間內(nèi)C球未與D球發(fā)生碰撞.下面說(shuō)明此假設(shè) 是正確的；因?yàn)閂3=vo/3,它在x方向分量的大小為vo/6.經(jīng)過(guò)t時(shí)間，它沿x 軸負(fù)方向經(jīng)過(guò)的距離為1 /8

14、而C 球的起始位置的 x 坐標(biāo)為1/2經(jīng)t 時(shí)間后， C球尚未到達(dá)y 軸，不會(huì)與 D 球相碰從地球表面發(fā)射宇宙飛船時(shí),必須給A _飛船以足夠大的動(dòng)能，使它在克服地球引/力作用后，仍具有合適的速度進(jìn)入繞太陽(yáng)(rsep 運(yùn)行的橢圓軌道.此時(shí)，飛船離地球已足夠遠(yuǎn)，但到太陽(yáng)的距離可視為不變，仍為 zkj/W /日地距離.飛船在地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道上進(jìn)入它的橢圓軌道，用E表示兩軌道ve - i的交點(diǎn)，如圖1所示.圖中半徑為rse的匚，/B圖1圓A是地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，太陽(yáng) S位于圓心.設(shè)橢圓B是飛船繞日運(yùn)行的 軌道，P為橢圓軌道的近日點(diǎn).由于飛船繞日運(yùn)行的周期與地球繞日運(yùn)行的周期相等，根據(jù)開(kāi)普勒第三定

15、律，橢圓的半長(zhǎng)軸a應(yīng)與日地距離rse相等，即有a=rse (1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)，軌道上任一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為 2a,由此可以斷定， 兩軌道的交點(diǎn)E必為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，E與橢圓長(zhǎng)軸和短軸的交點(diǎn) Q (即橢 圓的中心)的連線垂直于橢圓的長(zhǎng)軸.由 ESQ,可以求出半短軸b=SP)2). (2)由(1) , (2)兩式，并將 a=rse=1AU, SP=0.01AU 代入，得b=0.141AU. (3)在飛船以橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行過(guò)程中， 若以太陽(yáng)為參考系，飛船的角動(dòng)量和機(jī)械 能是守恒的.設(shè)飛船在E點(diǎn)的速度為v,在近日點(diǎn)的速度為vp,飛船的質(zhì)量為m, 太陽(yáng)的質(zhì)量為Ms,則有mvasin 依m(xù)

16、vp SP , (4)式中8為速度v的方向與E, S兩點(diǎn)連線間的夾角：sin 佑.(5)由機(jī)械能守恒，得m/ G=mv SP). (6)因地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期 T是已知的(T=365d),若地球的質(zhì)量為Me,則有 G=Me()2a. (7)解(3)(7)式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得v=29.8 km/s. (8)(8)式給出的v是飛船在E點(diǎn)相對(duì)于太陽(yáng)的速度的大小，即飛船在克服地球引 力作用后從E點(diǎn)進(jìn)入橢圓軌道時(shí)所必須具有的相對(duì)于太陽(yáng)的速度.若在 E點(diǎn)飛 船相對(duì)地球的速度為u,因地球相對(duì)于太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)速度為ve=29.8 km/s, (9)方向如圖1所示.由速度合成公式，可知V=U+Ve, ( 10)速

17、度合成的矢量圖如 圖2所示，注意到Ve與百垂直，有九 , 、u= 2vvecos(2 9) , (11)代入數(shù)據(jù)，得u=39.1 km/s. (12)u是飛船在E點(diǎn)相對(duì)于地球的速度，但不是所要求的發(fā)射速度U0.為了求得U0,可以從與地心固定連接在一起的參考系來(lái)考察飛船的運(yùn)動(dòng).因飛船相對(duì)于地球的發(fā)射速度為U0時(shí)，飛船離地心的距離等于地球半徑 Re.當(dāng)飛船相對(duì)于地球的速 度為u時(shí)，地球引力作用可以忽略.由能量守恒，有mu G=mu2. (13)地面處的重力加速度為g=G), (14)解(13) , ( 14)兩式，得uo=. (15)由(15)式及有關(guān)數(shù)據(jù)，得uo=40.7 km/s. (16)如

18、果飛船在E點(diǎn)處以與圖示相反的方向進(jìn)入橢圓軌道，則(11)式要做相 應(yīng)的改變.此時(shí)，它應(yīng)為冗u= 2vvecos$+。)，(17)相應(yīng)計(jì)算，可得另一解u=45.0 km/s, uo=46.4 km/s. (18)如果飛船進(jìn)入橢圓軌道的地點(diǎn)改在 E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處(即地球繞日軌道與飛 船繞日軌道的另一個(gè)交點(diǎn)上)，則計(jì)算過(guò)程相同，結(jié)果不變.二、兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，作為一個(gè)彈簧來(lái)看，其勁度系數(shù)k=. (1)設(shè)活塞A下面有mol氣體.當(dāng)A的高度為h1時(shí)，氣體的壓強(qiáng)為p1,溫度為 由理想氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知p1Shi=vRT1, (2)p1S=kh1+mg. (3)對(duì)氣體加熱后，當(dāng)A的高度為h2時(shí)，設(shè)氣體

19、壓強(qiáng)為P2,溫度為T(mén)2,由理想 氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知p2Sh2=vRT2, (4)p2S=kh2+mg. (5)在A從高度h1上升到h2的過(guò)程中，氣體內(nèi)能的增量 U=vR(T2-Ti). (6)氣體對(duì)彈簧、活塞系統(tǒng)做的功W等于彈簧彈性勢(shì)能的增加和活塞重力勢(shì)能 的增加，即W=k(h h)+mg(h2 h1). (7)根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有 QMU+W. (8)由以上各式及已知數(shù)據(jù)可求得 Q=H2+mgH. (9)四、1 .根據(jù)題意，當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為 U時(shí)，在距球心r (Ri<r< R2)處，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=.(D在r=Ri,即導(dǎo)體球表面處，電場(chǎng)強(qiáng)度最大.以 E

20、 (Ri)表示此場(chǎng)強(qiáng)，有E(Ri)=.(2)因?yàn)楦鶕?jù)題意，E (Ri)的最大值不得超過(guò)Ek, R2為已知，故(2)式可寫(xiě) 為Ek= (3)或U=Ek. (4)由此可知，選擇適當(dāng)?shù)腞i值，使(R2Ri)Ri最大，就可使絕緣子的耐壓 U 為最大.不難看出，當(dāng)Ri= (5)時(shí)，U便是絕緣子能承受的電壓的最大值 Uk,由(4) , (5)兩式得Uk=, (6)代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得Uk=i55kV. (7)當(dāng)交流電壓的峰值等于Uk時(shí)，絕緣介質(zhì)即被擊穿.這時(shí)，對(duì)應(yīng)的交流電壓 的有效值Ue=ii0kV. (8)2 .系統(tǒng)的等效電路如圖所3.設(shè)中間三點(diǎn)別為Uio o o Oc c c C1IIIT工亡，CTL-

21、-T1 .絕緣子用的電勢(shì)分U2, U3,如圖所示.由等效電路可知,與每個(gè)中間點(diǎn)相連的四塊電容極板上的電荷量代數(shù)和都應(yīng)為零，即有(Ui U2)CoU1C1(Uo Ui)Co(Uo Ui)C20,(U2 U3)CoU2C1(Ui U2)Co(Uo U2)C20,(9)U3C0 U3C1(U2U3)Co (UoU3)C2 0.四上的電個(gè)絕緣子壓之和應(yīng)Uo,即(Uo-Ui)+(Ui-U2)+(U2-U3)+U3=Uo.(10)設(shè) Ui=Uo-Ui, AU2=Ui-U2, U3=U2 U3, U4=U3, (11)則可由(9)式整理得代入數(shù)據(jù)，得76AU1 70AU2 5U00,6AU1 76AU2 7

22、0AU3 5U0 0,(12)76AU1 76AU2 146AU3 75U00.解(12)式，可得 U1=0.298Uo, U2=0.252Uo, U3=0.228Uo. (13)由(10)(12)式可得 U4=U3=0.222Uo. (14)以上結(jié)果表明，各個(gè)絕緣子承受的電壓不是均勻的； 最靠近輸電線的絕緣子 承受的電壓最大，此絕緣子最容易被擊穿.當(dāng)最靠近輸電線的絕緣子承受的電壓 有效值 U1 = Ue (15)時(shí)，此絕緣子被擊穿，整個(gè)絕緣子用損壞.由(8) , (13)和(15)三式可知, 絕緣子用承受的最大電壓Uomax=369kV . (16)1 .如圖所示，位于坐標(biāo)y處的帶電粒子P受

23、 到庫(kù)侖力Fe為斥力，其y分量為FEy=ksin0=k, （1）式中r為P到A的距離，8為r與x軸的火 角.可以看出，F(xiàn)Ey與y有關(guān)：當(dāng)y較小時(shí)，（1） 式分子中的y起主要作用，F(xiàn)Ey隨y的增大而增大； 當(dāng)y較大時(shí)，（1）式分母中的y起主要作用，F(xiàn)Ey 隨y的增大而減小.可見(jiàn)，F(xiàn)Ey在隨y由小變大的 過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)極大值.通過(guò)數(shù)值計(jì)算法，可求得 FEy隨y變化的情況.令=y/d,得Fe尸k ,（1+ 2嚴(yán)）.（2）當(dāng) 取不同數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的 （1+ 2廠3/2的值不同.經(jīng)數(shù)值計(jì)算，整理出的 數(shù)據(jù)如表1所示.表10.100 0.500 0.600 0.650 0.700 0.707 0.710

24、0.750 0.800（1+ 2）3/20.0985 0.356 0.378 0.382 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)=0.707,即y=y0=0.707d （3）時(shí)，庫(kù)侖力的y分量有極大值，此極大值為FEymax=0.385k.（4）由于帶電粒子P在豎直方向除了受到豎直向上的 FEy作用外，還受到豎直向 下的重力mg作用.只有當(dāng)重力的大小 mg與庫(kù)侖力的y分量相等時(shí)，P才能平 衡.當(dāng)P所受的重力mg大于FEymax時(shí)，P不可能達(dá)到平衡.故質(zhì)量為 m的粒子 存在平衡位置的條件是mg& FEymax.由（4）式得m< k.(5)2

25、. y(m)>0.707d; 0<y(m)& 0.707d.3 .根據(jù)題意，當(dāng)粒子P靜止在丫二十處時(shí)，處于穩(wěn)定平衡位置，故有k-Qqy1 3 -mig=0. (6)(d2 yT設(shè)想給粒子P沿y軸的一小擾動(dòng) y,則P在y方向所受的合力為Fy=FEymig=k mg 由于Ay為一小量，可進(jìn)行近似處理，忽略高階小量，有Fy=k+2yi y3/2) mig =k)3/2)(1-)-mig =k)3/2)+k)3/2)- kAy,(d2+y)5/2)- mig.注意到(6)式，得Fy=d2),(d2+y)yi)Ay. (8)I3y=yi是粒子P的穩(wěn)定平衡位置，故yi>0.707

26、d, 2y-d2>0.由(8)式可 知，粒子P在y方向受到合力具有恢復(fù)力的性質(zhì)，故在其穩(wěn)定平衡位置附近的微 小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；具圓頻率為cD=-d2),(d2+y)yi)g), (9)周期為T(mén)=2 4yi,(2y d2)g). (i0)4.粒子P處在重力場(chǎng)中，具有重力勢(shì)能；它又處在點(diǎn)電荷A的靜電場(chǎng)中，具有靜電勢(shì)能.當(dāng)P的坐標(biāo)為y時(shí)，其重力勢(shì)能Wg=m2gy,式中取坐標(biāo)原點(diǎn)O處的重力勢(shì)能為零；靜電勢(shì)能WE=k.粒子的總勢(shì)能W=Wg+WE=m2gy+k. ( ii)勢(shì)能也與P的y坐標(biāo)有關(guān)：當(dāng)y較小時(shí)，靜電勢(shì)能起主要作用，當(dāng)y較大時(shí), 重力勢(shì)能起主要作用.在P的穩(wěn)定平衡位置處，勢(shì)能具有極小值；

27、在 P的不穩(wěn) 定平衡位置處，勢(shì)能具有極大值.根據(jù)題意， y=y2處是質(zhì)量為m2的粒子的不穩(wěn) 定平衡位置，故y=y2處，勢(shì)能具有極大值，即W(y2)=Wmax=m2gy2+k) (12)當(dāng)粒子 P 的坐標(biāo)為y3 時(shí)，粒子的勢(shì)能為W(y3)=m2gy3+k) 當(dāng)y3<y2時(shí)，不論y3取何值，粒子從靜止釋放都能到達(dá)管底.若y3>y2,粒子從靜止釋放能夠到達(dá)管底，則有W；y3)>W(y2).所以，y3 滿足的關(guān)系式為w<y2; (13)或者y3 >y2 且 m2gy3+k) > m2gy2+k). (14)附：( 1)式可表示為Fe尸ksin 0=kcos2 Osi

28、n 0,式中8為P, A之間的連線和x軸的夾角.由上式可知，帶電粒子P在0=0, 2時(shí)，F(xiàn)Ey=0.在0& 0<乂2區(qū)間，隨著8的增大，sinB是遞增函數(shù)，cos28是遞 減函數(shù).在此區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)Ey必存在一個(gè)極大值FEymax;用數(shù)值法求解，可求得極 大值所對(duì)應(yīng)得角度 缸 經(jīng)數(shù)個(gè)計(jì)算整理出的數(shù)據(jù)如表 2所示.表2&rad 0.010 0.4640.5400.5760.611 0.615 0.6170.6440.675cos2 Osin 9 0.029 0.3670.3780.3830.385 0.385 0.3850.3840.381由表中數(shù)值可知，當(dāng) 9=63Q0.61

29、5rad (即35.26 )時(shí)，F(xiàn)Ey取極大值2FEymax=kcos 60sin 也=0.385k.帶電粒子P在豎直方向上還受到重力G的作用，其方向與FEy相反.故帶電 粒子 P 受到的合力2F=FEy G=kcos Osin 0- mg.當(dāng)F=0,即Fe尸G時(shí)，P處于平衡狀態(tài).由此可見(jiàn)，當(dāng)帶電粒子的質(zhì)量m< =時(shí)，可以在 y 軸上找到平衡點(diǎn)六、1單球面折射成像公式可寫(xiě)成+二, (1)式中s為物距，s'為像距，r為球面半徑，n和n分別為入射光和折射光所在 介質(zhì)的折射率.在本題中，物點(diǎn)P經(jīng)反射器的成像過(guò)程是：先經(jīng)過(guò)左球面折射成像(第一次 成像)；再經(jīng)右球面反射成像(第二次成像)；

30、最后再經(jīng)左球面折射成像(第三 次成像).(1)第一次成像.令si和si分別表示物距和像距.因si=s, n=no=1, n=ng, r=R,有+二, (2)即s i=. (3)(2)第二次成像.用s2表示物距，s2表示像距，有+= . (4)!3s2=2Rsi, r=R,由(3) , (4)兩式得s 2=. (5)(3)第三次成像.用s3表示物距，s 3表示像距，有+=. (6)因 s3=2Rs2, no=i, r= -R,由(5) , (6)兩式得s 3=. (7)2.以v表示像的速度，則 s314( s As) ng(s As) 4RR (4s /s 4R)Rv t t 2ng(s As)

31、 4(s As) ng R 4R 2ngs 4s ng R 4R(8)n2R2As/At g_ 2 人 _ .(2ngs 4s ngR 4R) As(2ng 4)(2 ngs 4s ngR 4R)由于$很小，分母中含有 s的項(xiàng)可以略去，因而有v = R2,(2ngs- 4s+ngR 4R)2). (9)根據(jù)題意，P從左向右運(yùn)動(dòng)，速度大小為v,則有v= . (10)由此可得，像的速度v = R2v,(2ngs 4s+ngR4R)2). (11)可見(jiàn)，像的速度與s有關(guān)，一般不做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而做變速直線運(yùn)動(dòng).當(dāng)n=2（ 12）時(shí)，（11）式分母括號(hào)中的頭兩項(xiàng)相消，v將與s無(wú)關(guān).這表明像也將做勻 速直線運(yùn)動(dòng)；而且（11）式變?yōu)関=v,即像的速度和P的速度大小相等.七、解法一根據(jù)已知條件，射向鈉原子的激光的頻率v= （ 1）對(duì)運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向的夾角為a速率為u的鈉原子，由于多普勒效應(yīng), 它接收的激光頻率v=v（1+cos 肌改用波長(zhǎng)表示，有X=. （3）發(fā)生共振吸收時(shí)，應(yīng)有人=2o,即=R. （4）解（ 4）式，得ucos 佐c； （5）代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得ucos （=5.85 X03