圖形的分割與拼接

1、課題： 圖形的分割與拼接【專題知識點概述】本講中的知識點比較抽象，在這一講中我們主要學(xué)習(xí)幾種圖形處理方法：1、理解掌握圖形的分割；2、理解掌握圖形的拼合；3、理解圖形的剪拼； 4、利用剪拼圖形計算、解決問題.圖形的分割與拼接的概念把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，就叫做圖形的拼合將一個或者多個圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點來思考如果把一個圖形分割成若干個大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對稱點，把圖形先分少，再分多圖形中，如果

2、有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形如果是要把幾個圖形拼合成一個大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點，通過分析推理和必要的計算，確定剪拼的方法【習(xí)題精講】【例1】（難度等級 ）右圖是一個3×4的方格紙，請用四種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整【分析與解】 因為要分割成完全相同的兩塊，即大小、形狀完全相同.方格紙一共有3×4=12（個）小格，所以分成的兩塊每塊有12÷

3、;2=6（個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀完全一樣，我們從對稱線入手， 介紹一種分割技巧染色法，先選中一個小格，找它關(guān)于中心點或中心線的對稱位置，標(biāo)上相應(yīng)的符號，當(dāng)找它關(guān)于中心線的對稱位置時是一種情況，關(guān)于中心點的對稱位置是另一種情況，具體如下圖所示. 【例2】（難度等級 ）右圖是一個4×4的方格紙，請用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整【分析與解】 因為要分割成完全相同的兩塊，即大小、形狀完全相同.方格紙一共有4×4=16（個）小格，所以分成的兩塊每塊有16÷2=8（個）小格，并且這兩塊要關(guān)于中心點對稱，大小和形狀

4、完全一樣，應(yīng)用染色法，從中心點的一側(cè)入手染色，逐步推進，建議同時呈現(xiàn)六幅空的4×4格圖，不同的變化在不同的圖上同時呈現(xiàn)，如下圖所示.【例3】（難度等級 ）請把右面這個長方形沿方格線剪成形狀、大小都相同的4塊，使每一塊內(nèi)都含有“奧數(shù)讀本”這四個字中的一個，該怎么剪?【分析與解】 圖中“奧數(shù)”與“讀本”中的兩個字都是挨著的，所以肯定要在它們中間分割，因此，首先在它們中間劃出分割線，因為要將這個長方形分成大小、形狀完全相同的4塊，因為長方形是6×4的，所以分割后的每一塊都有6小塊組成，可以考慮先把長方形分成相同的兩部分，再把每一部分分成相同的兩部分，對稱分成如下圖.【例4】（難度

5、等級 ）學(xué)習(xí)與思考對小學(xué)生的發(fā)展是很重要的，學(xué)習(xí)改變命運，思考成就未來，請你將右圖分成形狀和大小都相同的四個圖形，并且使其中每個圖形都含有“學(xué)習(xí)思考”這四個字應(yīng)怎樣分? 【分析與解】看到這道題目，首先想到俄羅斯方塊，由題意可知，所分出的每一塊圖形，必須由4個小正方形組成，它的形狀不外乎如右上圖所示的五種俄羅斯方塊，這就控制了搜索的范圍根據(jù)原題中各個字的具體位置，上圖中有些圖形是必須排除的，例如，如果把圖(2)與原題右下角2×2的正方形重疊，其中“考”字出現(xiàn)了兩次，不符合題意，因此，圖(2)可以先排除掉 現(xiàn)在，再固定某一角上的一個小正方形，按其中的字來考慮如固定右上角寫有“考”的小正方

6、形來分析，只有下列4種可能出現(xiàn)的情況：【例5】（難度等級 ）圖中是由三個正三角形組成的梯形你能把它分割成4個形狀相同、面積相等的梯形嗎? 【分析與解】這道題的要點在于通過計算解決問題，要求把原來三個正三角分成四個大小、形狀都相同的四個梯形，先不考慮形狀，大小相同也就是面積相等，即把整個梯形的面積分成四份，分割后的每一個梯形占一份，可以考慮把每一個三角形的面積分成四份，再把三個正三角形中的每一個小三角形合成要求的梯形，這種類型的題目可以從中點入手，找到每個正三角形的中點并連接，如下圖.【例6】（難度等級 ）如何把圖a中的三個圖形分割成兩個相同的部分(除了沿正方形的邊進行分割外，還可沿正方形的對角

7、形進行分割)【分析與解】要把圖形分成兩個相同的部分，首先要保證分得的兩部分面積相同，其次要保證分得的兩部分形狀相同，從面積入手進行分割會使問題更容易解決第一個圖形一共有6個小正方形，2個三角形，要分割成兩塊完全相同的部分，每一部分都要有3個正方形、1個三角形，這樣很容易就可以解決這個問題了；同樣，對第二個圖形，一共有7個正方形，2個三角形，因為正方形的個數(shù)是奇數(shù)，所以，肯定有一個正方形被分成相同的兩塊，對于這個圖形，我們很容易看出有一個正方形的位置很特殊，在最中間，所以考慮將它分成兩部分，由對稱的原則，從對角線分開；第三個圖形更復(fù)雜一些，一共有6個正方形，6個三角形，分成的兩塊每一塊都要有3個

8、正方形、3個三角形，因為最上面的兩個三角形組合成了一個大的三角形，所以右下方的兩個三角形不能分開，再根據(jù)對稱的原則，就容易解決這個問題了，具體分法見下圖 【例7】（難度等級 ）下圖是由18個小正方形組成的圖形，請你把它分成6個完全相同的圖形【分析與解】 通過計算，18÷6=3，說明基本形狀是有三個小正方形組成，三個正方形有兩種形式： 與，通過觀察，上面的圖形具有對稱性，不可能分成6個，是由6結(jié)合染色法，如下圖.【例8】（難度等級 ）把右圖剪成形狀、大小相等的8個小圖形，怎么剪?作出分出的小圖形【分析與解】總格數(shù)為12，用總格數(shù)除以8，得到每個小圖形應(yīng)該是一個半小正方形，根據(jù)平均一個小

9、圖形的格數(shù)作圖，如右圖.【例9】（難度等級 ）用同樣大小的四塊等腰直角三角板，能否拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一個平行四邊形五種圖形?若能，畫出示意圖【分析與解】能用四塊同樣大小的等腰直角三角板拼出一個三角形、一個正方形、一個長方形、一個梯形、一個平行四邊形五種圖形建議用等腰直角三角板，把不同的邊進行重合，不要漏掉旋轉(zhuǎn)重合，或者準(zhǔn)備一些等腰直角三角形的紙片，由學(xué)生拼接后貼到黑板上，具體拼法如圖所示【例10】（難度等級 ）下面哪些圖形自身用4次就能拼成一個正方形？【分析與解】用4塊圖（4）和圖（5）那樣的圖形顯然能夠拼成一個大正方形其實用圖（1）、圖（2）、圖（3）也能拼成

10、一個大正方形，拼法見下圖【例11】（難度等級 ）將方格紙剪成面積是4的圖形，形狀只有七種，如下圖所示其中有哪幾種可以拼成面積是16的正方形?【分析與解】 面積是16的正方形，其邊長等于4，用圖形(5)和(7)顯然能拼成邊長是4的正方形(如左下圖所示)用圖形(1)、(2)和(6)也能拼成邊長為4的正方形(如右下圖所示)通過觀察與試驗，無法用所給圖中的(3)和(4)拼成題目要求的正方形因此，用所給圖中的七種圖形，共可以拼成5種面積是16的正方形【例12】（難度等級 ）試用圖a中的8個相等的直角三角形，拼成圖b中的空心正八邊形和圖c中的空心正八角星【分析與解】 把一個直角三角形的斜邊與另一個直角三角

11、形的一條直角邊重合，同時，斜邊上的一個銳角頂點與直角頂點重合，像這樣依次擺放下去，便可得空心正八邊形若把一個直角三角形的斜邊與另一個直角三角形的直角邊的一部分重合，但頂點均不重合，依次擺放下去，便可由這八個相等的直角三角形組成空心正八角星【例13】（難度等級 ）將右圖分成4個形狀、大小都相同的圖形，然后拼成一個正方形【分析與解】 經(jīng)過計數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，圖形是由16個完全一樣的正方形組成，所以拼成的正方形每排都有4個這樣的小正方形，共有4排把大圖形分成完全一樣的4個圖形，每個圖形的面積都是小正方形的4倍現(xiàn)在來考慮形狀由于這個圖形具有對稱的特點，很容易想到先將它分成兩個完全一樣的圖形，只要沿大圖形中間

12、的那條豎線剪開即可，其中上面的一個如圖1，再想辦法把已經(jīng)分成的兩個圖形各分成兩個形狀、大小都相同的圖形即可下面以上面的圖為例，繼續(xù)探討分割的辦法如果把上圖中每個小正方形的邊長看作1個單位，那么這個圖形中的最長邊有4個單位，其次為3；顯然，要把它分成完全一樣的兩個圖形，每個圖形的最長邊只能為3，如圖2；用同樣的方法，可以將與上面的圖形完全一樣的下面的一個圖形分成兩個形狀、大小都相同的圖形，如右下圖 圖1 圖2 【例14】（難度等級 ）試將一個正方形分成相同的四塊，然后用這四塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形【分析與解】要用分成的四塊組成三角形，那么剪成得圖形一定是三角形，這樣平均分成四等分，當(dāng)然

13、這種分法有好幾種組成圖形的時候我們可以換位思考，看如何將三角形、平行四邊形、梯形分成大小相等的三角形如圖【例15】（難度等級 ）試將任意一個三角形分成三塊，然后拼成一個長方形【分析與解】（方法一）三角形與長方形的不同在于：角、邊的個數(shù)不同，把三角形變?yōu)樗倪呅?，需要加一個角，加一條邊，而且長方形四個角都是直角，自然能想到在三角形中做兩條垂線，并且過三角形兩條邊的中點，這樣才能拼出一個長方形，如左下圖.（方法二）因為由平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形很簡單，所以只需要把三角形先分割、拼湊成平行四邊形，作三角形的中位線，旋轉(zhuǎn)180°即可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，然后拼成長方形，如右下圖.【例16】（難度等級

14、 ）試將任意一個矩形分成三塊，然后拼成一個三角形【分析與解】（方法一）我們應(yīng)該首先考慮三角形與矩形的圖形差異，三角形有三個角、三條邊，所以需要把長方形的兩個角變?yōu)橐粋€角，可以講長方形的兩個角剪掉，拼在兩邊，如左下圖.（方法二）在長方形兩邊割三角形，向上旋轉(zhuǎn)180°，即可拼成三角形,如右下圖.【例17】（難度等級 ）將右圖分成兩塊，然后拼成一個正方形【分析與解】圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，那么拼成的正方形的邊長應(yīng)該是4。因為圖形是缺角長方形，長為6，寬為3，應(yīng)將寬加1，長減去2便可得一個正方形，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3，向上平移使

15、寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移使長為4）。如下圖. 【例18】（難度等級 ）如圖所示，四個等腰直角三角形和一個正方形，已知正方形的面積是4平方厘米，長方形ABCD的面積是多少平方厘米？【分析與解】取AB、CD AE的中點，BC的三等分點進行連接，可以把長方形分割成如下圖所示，由于取得點都是等分點，分割后7個小正方形的面積都是4平方厘米，10個小等腰直角三角形的面積都是2平方厘米，可以看出長方形ABCD 的面積等于：7×4+10×2=48（平方厘米）【例19】（難度等級 ）如何把一個長20厘米、寬12厘米的長方形切成兩塊，拼成一個長16厘米、寬15厘米的新長方形【分析與解】因為原長方形比新長方形的長多4厘米，新長方形比原長方形的寬多3厘米，因此我們把原長方形分成20個長4厘米，寬3厘米的小長方形因為新長方形的長為16厘米，所以原長方形的長應(yīng)減少一個小長方形，而新長方形的寬為15厘米，所以原長方形的寬應(yīng)增加一個小長方形可以沿對角線的方向，把它切成k階梯狀的兩塊，并使他們的形狀和大小完全相同，然后把它們相互錯位交在一起，即白色部分往上爬了一個